XII. Soient

£ une constante positive moindre que- (c'est-à-dire moindre que le

quotient de i par le nombre des catégories d'inconnues du système

donné); [ji une constante positive quelconque;

*^i fti è\i bit •••? ôk"— n

K'", g"\ ff"i g"i, ..., ^i^i

les entiers définis dans ce qui précède (XI);

iv', (ï/j w^'^ trois fonctions inconnues de la variable indépendante t. Si l^ on pose

z = t -^ ff' w' -^ S^'i

~dt dw" dt dw" ~~dt

-^ dt^'

Sw'-

dt^"-'

le système différentiel

ixe(z)

~diy

~~dV^

admet un groupe d'intégrales satisfaisant aux conditions initiales

dw' dt

dw" dt

dw" ~dt

Les dérivées restantes de ces intégrales ont dUiilleurs, pour t^= o^ des valeurs initiales essentiellement positives (^).

(') Dans l'étude qu'il a publiée avec notre collaboration sur une certaine classe de systèmes partiels du premier ordre {voir la Préface du présent Ouvrage), M. Méray considère l'équation différentielle

di

lie{aw-^ ^t)

dt 1— ee(awH-p^)

où t désigne une variable indépendante, w une fonction inconnue de cette variable^

e(^) la composante -, et a, ,3, a, e quatre constantes positives, la dernière

essentiellement plus petite que i, les trois autres quelconques; cette équation admet

une intégrale satisfaisant à la condition initiale

w =^ Q pour ^ = 0,

et ayant des dérivées de tous ordres à valeurs initiales positives (Méray, Leçons nouvelles, etc., i" Partie, p, 33o).

SYSTÈMES ORTIIONOMES. 243

D'abord, l'existence d'un groupe d'intégrales répondant aux conditions initiales (21) résulte immédiatement de l'alinéa IX. D'un autre côté, si l'on développe 0(5) par la formule

dt^"

iw'"

et que, après avoir remplacé z par le second membre de (19), on ordonne le résultat par rapport aux puissances de

dw' d^'—^ w'

dw"

on voit immédiatement que les valeurs initiales de la fonction ainsi obtenue et de ses dérivées partielles de tous ordres sont essentiellement positives. Il en est de même de la fonction — ^^ , . > que l'on

peut, à cause de £ <C -> développer suivant la formule

par suite, enfin, du produit

second membre commun aux équations du système (20). Les valeurs initiales des dérivées principales de nos intégrales jouissent donc, elles aussi, de la propriété énoncée : car l'attribution aux quantités

^, w' , w'\ w'" des cotes respectives

met tout d'abord en évidence la nature orthonome du système (20), et, cela étant, on aperçoit sans peine que le calcul des valeurs initiales des dérivées principales, efl'ectué de proche en proche pour les classes successives à l'aide des relations du système (20) prolongé, conduit nécessairement à des résultats tous positifs.

Nous désignerons par W(^), W''(/), W"'(^) les intégrales considérées du système (20).

CIIAPITHK VII.

Nous ferons, en outre, observer ce qui suit : Si l'on nomme e'^, e'^, . . ., s", , s'o, • • -, £,', s'o, . tives (en nombre limité) vérifiant les relations

des quantités posi-

le système (20) entraîne évidemment comme conséquence

dt^'

dt^

dt^

^ ^ ' dt^"^ 2 ^ ' d&

dt^'

— idem,

d^' w"' . , — , ,.,„ = idem.

dt^

D'ailleurs, le système (20) entraînant aussi comme conséquences les relations

dt^"

si, dans l'une quelconque des équations (22), on remplace telle ou telle des sommes

d^" iv" d^" w"

dt'^"

par la quantité „ It ^^■> ^"^ tombe encore sur une conséquence

de (20).

XIII. Aux variables indépendantes et aux fonctions inconnues.

SYSTÈMES ORTHONOMES. 1^5

du système (5), faisons correspondre autant de quantités positives,

que nous nommerons, pour abréger, leurs /?o;V/5 respectifs; considérant ensuite une dérivée d'ordre k d'une inconnue, appelons /?ofâ^5 de cette dérivée le quotient obtenu en divisant le poids de la fonction à laquelle elle appartient par ceux des k variables de différentiation ; désignons enfin d'une manière générale par cp, . . . les poids respectifs des quantités t, ....

Cela posé, considérons une équation, conséquence de (20), subsis-

et remplaçons-y la somme z par la

tant entre z.

somme

~dW

dt^' dt^" ' dt^'"

JKo)-t-...^-?^

dt^'

qui peut figurer dans

substituons, d'autre part, à la dérivée

divers termes de l'équation considérée, divers produits obtenus chacun en multipliant l'une quelconque des dérivées dominantes de U', U', . . . par son poids; efl'ectuons, enfin, des substitutions analogues pour

chacune des dérivées , ,.„ et pour chacune des dérivées — , ..,„ : la dl*^ ' dt*^

relation résultante sera, comme il est bien facile de s'en rendre

compte, identiquement vérifiée pour

u" = 'yr ^r'[^{x-x,)-^r^{y-

D-'^^'T W"[^(.r-.ro)-f-T](y-

u"' = u'"ï'" W" [ ^ (:r — :ro ) H- T) {y -

^"'^Y'rW"\\{x-x,) + r^{y-

-JKo)+.

il suffit, pour le voir, d'observer qu'en vertu des formules (28), toute inconnue ou dérivée de première catégorie, multipliée par son poids, s'obtient en remplaçant, dans la fonction W(^) ou dans sa dérivée d'ordre égal, la variable t par la somme

^(^7 — a?„)-^r,(JK— ro)

î>..|6 CHAPITRE VII.

puis de faire une remarque analogue relativement aux inconnues ou dérivées de deuxième ou de troisième catégorie.

Prenons maintenant, dans le système (S), une équation quelconque, (0); et désignons par p\ p\ p" les nombres respectifs (^o) des dérivées dominantes de première, deuxième, troisième catégorie qui figurent dans son second membre; par

ces dérivées respectives; par

leurs poids respectifs; par P le premier membre de (ô), et par w le poids de P. Si l'entier/?' n'est pas nul, on remplacera l'ensemble des termes en ï^', , P.,, . . . , Pj,, qui figurent dans le second membre de (0) par

si p' est nul, on remplacera cet ensemble absent par — — ; — ^, » On

effectuera des substitutions analogues pour les termes enP'(, P'^, . . . , Pp, et pour les termes en B'^', Wl^ . . . , P^,'- qui figurent dans le second membre de (6). Quant au terme indépendant des dérivées dominantes, on le remplacera par jjl 0(^5). On remplacera enfin le premier membre P

par ctP, et l'on multipliera les deux membres par -• L'équation finalement obtenue, ((0)), ne différera alors de (0) que par les coefficients, fonctions de x^ y^ . . . , t, . . . , qui figurent dans le second membre. A chaque équation du système (53) on fera correspondre de même une équation telle que ((0)); on obtiendra finalement un système, ((S)), ne différant de {^) que par les coefficients des seconds membres, et identiquement vérifié par la substitution aux inconnues des seconds membres de (28), c'est-à-dire de fonctions qui, elles et toutes leurs dérivées secondaires ^ prennent en Xq^ yo, ... des valeurs initiales nulles, tandis que leurs dérivées res-

SYSTÈMKS ORTIIONOMES. I^J

tantes y prennent toutes des valeurs initiales positives (XII). Chacun des nouveaux coefficients s'obtient d'ailleurs en faisant le produit de S(s) par quelque constante positive, et y ajoutant parfois le pro-

duit de ., ^ — par quelque autre constante positive. La première

de ces deux constantes, qui seule est importante à considérer, et que nous nommerons, pour abréger, caractéristique du coefficient, dépend de e ou de ji. suivant que le coefficient où elle figure multiplie ou non quelque dérivée dominante. Son produit par 0(5) est identique au coefficient de ((vi)) dont il s'agit, ou l'admet pour majorante relativement aux valeurs Xq, yo, • • ., o, ... de x, y^ • • •? f?

Il importe de remarquer que, dans les seconds membres du système ((^)) que nous venons de former, les caractéristiques dépendant de £ sont de degré zéro par rapport à l^ ensemble des quantités

Effectivement, le poids d'une dérivée quelconque est, d'après notre définition, un produit de puissances, positives ou négatives, de ces quantités, et le degré de ce produit visiblement égal et de signe contraire à la cote première de la dérivée considérée ; dès lors, les dérivées dominantes qui figurent dans une équation quelconque de ((^)) ont pour poids respectifs des produits qui sont tous de degré — (A H- i), en sorte que, après réduction à l'unité du coefficient du premier membre, les caractéristiques dépendant de e sont de degré zéro par rapport à l'ensemble des quantités (24).

Il est bon de remarquer aussi qu'en augmentant, s'il le faut, d'un même entier négatif convenablement choisi les cotes premières, y', y, y"^, des fonctions inconnues (augmentation évidemment permise, parce que, après elle comme avant, la définition de l'orthonomie reste applicable au système proposé S), les poids cp, . . . des diverses quantités f , . . . seront tous de degré supérieur à zéro par rapport à r ensemble des quantités (24). Effectivement, parmi les cotes premières des diverses quantités f, . . . , la plus grande algébriquement est A, d'où résulte que, parmi les cotps premières changées de signes, la plus petite algébriquement est — A : il suffit donc que l'on ait — A >► o, ou A << o. C'est ce que nous supposerons désormais.

XIV . Si, par un choix convenable de la constante t i moindre

'lia CHAPITRE VII.

que ] et des constantes (24), on peut faire en sorte que, dans les

seconds membres de ((S)), les caractéristiques dépendant de z soient respectivement supérieures aux modules des valeurs numériques initiales que prennent, dans les seconds membres de (î5), les coefficients des dérivées dominantes, on peut, en laissant à e sa valeur, multipliant les quantités (24) par un même nombre convenablement choisi, et prenant pour ^ une valeur convenablement choisie, faire en sorte que les coefficients des seconds m,embres de ((S)) (nous voulons dire les coefficients des dérivées dominantes et les termes indépendants de ces dérivées) soient respectivement majorants pour les coefficients correspondants des seconds membres de (^).

Efï'ectivement, supposons que, par un choix convenable de s et des constantes (24), les caractéristiques dépendant de £ dans les seconds membres de ((^)) soient respectivement supérieures aux modules des valeurs numériques initiales que prennent, dans les seconds membres de (Ô), les coefficients des dérivées dominantes, et désignons par M, . . . les caractéristiques dont il s'agit. D'autre part, soit r une constante positive satisfaisant à la double condition : i" d'être inférieure à des rayons de convergence simultanés des coefficients des seconds membres de (^), quand on suppose ces coefficients développés à partir des valeurs initiales des quantités dont ils dépendent; 2^ d'être assez petite pour que, en remplaçant dans les développements des coefficients des dérivées dominantes les coefficients numériques par leurs modules et les accroissements par /-, les sommes ainsi obtenues soient respectivement inférieures aux caractéristiques M, ... (la chose est évidemment possible, puisque, dans ces développements, les termes constants ont des modules respectivement inférieurs aux constantes M, . . .). La constante r étant ainsi fixée, multiplions les nombres (24) par une constante positive telle que les nouvelles valeurs de ^, t], . . . , '^, . . . soient toutes supérieures à - [ce qui est possible, puisque ^, 7^, . . . , ce, . . . ont des degrés positifs par rapport à l'ensemble des quantités (24)], et remplaçons désormais les constantes {2/\) par les produits ainsi obtenus: une pareille multiplication ne change pas les valeurs des caractéristiques dépendant de £, parce que chacune de ces caractéristiques est de degré zéro par

SYSTÈMES ORTHONOMES. ^49

rapport à l'ensemble des quantités (24), et, en conséquence, la double condition à laquelle nous avons assujetti r ne cesse pas d'être vérifiée. Soient alors w le poids maximum des premiers membres du système (Ô) [ou ((^))]j et N une constante positive supérieure à toutes celles qu'on obtient lorsque, après avoir développé à partir des valeurs initiales des quantités qui y figurent les termes indépendants des dérivées dominantes dans les seconds membres de (S), on remplace dans ces développements les coefficients numériques par leurs modules et les accroissements par /-. Cela étant, si l'on prend \i >> Nw,

toute caractéristique dépendant de pi., étant au moins égale à —, sera, par suite, supérieure à N.

Dans ces conditions, on voit sans peine que les coefficients du système (5) admettent comme majorantes, par rapport aux valeurs Xq, y-Q^ . . . , o, . . . de ^, j^, . . ., t, . . . , les coefficients correspondants du système ((6))-

XV. Si, par un choix convenable de la constante s (moindre que ô ) ^^ d^^ constantes (24), on peut faire en sorte que, dans les seconds membres de ((S)), les caractéristiques dépendant de s soient respectivement supérieures aux modules des valeurs numériques initiales que prennent, dans les seconds membres de (S), les coefficients des dérivées dominantes, les développements spécifiés à V alinéa X sont nécessairement convergents.

En rapprochant de notre hypothèse actuelle les conclusions de l'alinéa précédent, on voit que la constante e, les constantes (24) et la constante a peuvent être déterminées de telle façon que les coefficients des seconds membres de ((S)) soient respectivement majorants pour ceux de (S). Cela fait, rappelons-nous que les valeurs initiales imposées dans le système (15) aux inconnues et à leurs dérivées paramétriques de tous ordres sont nulles, tandis que les valeurs initiales prises par les intégrales efi'ectives dont nous avons constaté l'existence dans le système ((^)) et parleurs dérivées paramétriques sont positives ou nulles.

Observons maintenant que, dans les deux systèmes

(S) prolongé, ((S)) prolongé,

•;t5o CHAPITRE VII.

les relations se correspondent chacune à chacune. Considérons alors deux relations correspondantes. Dans la première [celle qui provient de (Ô) prolongé], le premier membre est une certaine dérivée principale des intégrales hypothétiques de (6), et le second membre une somme de produits pouvant contenir comme facteurs quatre sortes de quantités, savoir : certains entiers positifs; certains coefficients des seconds membres de (^); certaines dérivées partielles de ces coefficients; enfin, certaines dérivées, principales ou paramétriques, des intégrales hypothétiques de (S). Si de cette relation [provenant de (S) prolongé] on passe à la relation correspondante [provenant de ((S)j prolongé], cette dernière est composée exactement de la même façon avec les dérivées principales ou paramétriques des intégrales efî'ectives de ((6)), les entiers positifs dont nous venons de parler, les majorantes des coefficients de (^), et les dérivées partielles de ces majorantes.

Cela étant, considérons, dans (xi) prolongé, les groupes successifs

dont il est question à l'alinéa X, et, dans ((^)) prolongé, les groupes cori^espon clan Is,

((t))A-Hi, ((t))A+2, ....

En partageant chacun de ces groupes en sous-groupes successifs d'après les classes croissantes des premiers membi^es (n" 106), nous aurons en définitive, dans (6) prolongé, les groupes

et, dans ((^)) prolongé, les groupes correspondants

Si, dans les deux groupes

on remplace par les valeurs initiales qui leur conviennent respectivement de part et d'autre les variables, les inconnues, et leurs dérivées paramétriques, chacun des groupes résultants, à l'aide desquels on cherche à déterminer de part et d'autre les valeurs initiales des déri-

SYSTÈMES ORTHONOMES. 25 [

vées principales de classe minima, a pour premiers membres (sans omission ni répétition) les dérivées principales de cette classe; quant aux seconds membres, ils ont pris des valeurs numériques connues, et Ton voit, d'après ce qui a été dit plus haut, que ceux du deuxième groupe sont positifs et respectivement supérieurs aux modules de ceux du premier groupe.

Gela étant, considérons les groupes

et, dans ces deux groupes, remplaçons les variables, les inconnues, et leurs dérivées paramétriques par les valeurs initiales qui leur correspondent respectivement de part et d'autre, puis les dérivées principales de classe minima par les valeurs numériques respectivement obtenues comme il vient d'être dit. Chacun des groupes résultants, à laide desquels on cherche à déterminer de part et d'autre les valeurs numériques initiales des dérivées principales de la classe suivante, a pour premiers membres les dérivées principales de cette classe ; quant aux seconds membres, ils ont pris des valeurs numériques connues, et l'on voit, d'après ce qui a été dit plus haut, que ceux du deuxième groupe sont positifs et respectivement supérieurs aux modules de «eux du premier groupe.

En poursuivant ce raisonnement de proche en proche pour les dérivées principales de classe indéfiniment croissante, et nous reportant à ce qui a été dit plus haut sur les valeurs initiales des inconnues et de leurs dérivées paramétriques, on voit que les développements (bien déterminés) construits à l'aide des valeurs initiales données et de celles que fournit la résolution successive des groupes (26) ou (26), ont des coefficients dont les modules sont respectivement inférieurs aux coefficients correspondants (positifs) des développements des intégrales effectives de ((S)) : par suite, ils sont, comme ces derniers, néces-

sairement convergents.

XVr. On peut, par un choix convenable de la constante t

( moindre que - ) et des constantes {1/^)^ faire. en sorte que, dans les

seconds membres de ((^)), les caractéristiques dépendant de s soient respectivement supérieures aux modules des valeurs numériques initiales que prennent, dans les seconds membres de (^), les coefficients des dérivées dominantes.

Soient, en effet :

P le plus grand des modules initiaux que prennent, dans les seconds membres de (S), les coefficients des dérivées dominantes;

Q un entier positif supérieur à la plus grande valeur que puisse atteindre, pour une équation quelconque du système (55), le nombre des dérivées dominantes figurant au second membre ;

735 j hi ' ' "> jp l^s plus petites valeurs et J3, J/,, . . ., J^ les plus grandes valeurs que puissent respectivement atteindre les cotes troisième, quatrième, ..., /?'^'"'' des diverses dérivées dominantes.

Désignant, comme au début de l'alinéa XIII, par

les poids des variables indépendantes et des fonctions inconnues, et,

en outre, par

p quantités positives dont les valeurs vont être fixées dans un instant, nous déterminerons les quantités (24) en fonctions de 8^, 62, . . . , 0^ par les conditions : 1° que le poids d'une variable indépendante soit un produit de puissances de 9,, 82, . . ., ^p d'exposants respectivement égaux aux cotes première, seconde, ..., y?'^"'^ (Je cette variable; 2° que le poids d'une fonction inconnue soit le quotient de i par des puissances de 9|, 9o, . . ., 9^;, d'exposants respectivement égaux aux cotes première, seconde, . . . , yo'^"^*^ de la fonction inconnue considérée. Le poids d'une dérivée de fonction inconnue aura alors pour valeur le quotient de i par des puissances de 9,, 92, . . , 9^ d'exposants respectivement égaux aux cotes première, seconde, . . . ,/>"^^'"^de la dérivée dont il s'agit.

Gela étant, et la constante £ ayant une valeur moindre que ^^ on donnera à 9< une valeur quelconque (i par exemple), et l'on déterminera successivement les quantités 9^,, 9p,, . . ., 93, 9^ de manière à vérifier les inégalités

fi ^ PQ .

1 e,,i>^eW/';

SYSTÈMES ORTHONOMES. 253

63 > ^^{*-J^,,,Qh-h:

Si l'on considère maintenant une équation quelconque du système ((^))î chacune des dérivées dominantes figurant au second membre a nécessairement, outre une cote première égale à celle ( A + 1) du premier membre : soit une cote seconde inférieure à celle du premier membre ; soit une cote seconde égale à celle du premier membre, avec une cote troisième inférieure ; etc.; soit des cotes seconde, troisième, ..., {p — 2)'^'"^ respectivement égales à celles du premier membre, avec une cote (/> — i)'^™^ inférieure; soit, enfin, des cotes seconde, troisième, . . ., (/> — 2)'^'"*', (p — i )*''"'*' respectivement égales à celles du premier membre, avec une cote p'^""^ inférieure. Gomme les quantités 9o, 63, . . ., 8^ sont toutes supérieures à i , les caractéristiques dépendant de £ ont donc, suivant le cas, une valeur supérieure à l'une ou à l'autre des quantités

elles sont donc toutes supérieures à P.

XVII. Le simple rapprochement des alinéas XV et XVI suffit à prouver l'exactitude de notre énoncé général (formulé au début du f)résent numéro 114).