CHAPITRE VII. — SYSTÈMES ORTHONOMES

115. Théorème d'existence. — Tout système orthonome passif est complètement intégrable, c'est-à-dire admet un groupe [unique) d intégrales ordinaires répondant à des données initiales arbitrairement choisies.

C'est ce qui résulte du simple rapprochement des n°^ 108 (in fine) et J14.

Propositions fondamentales. '

116. On appelle système adéquations différentielles totales un système du premier ordre résolu par rapport à toutes les dérivées premières des fonctions inconnues ; ces dérivées se trouvent ainsi exprimées à l'aide des variables indépendantes, ^, jk, . . . , et des fonctions inconnues, w, v^ .... En désignant donc par U^;, V^;, . - . , Uj, Vj, . . . des composantes données, le type d'un pareil système sera

(0 \ àu .. . , dp ^. .

la détermination initiale de chaque inconnue s'y réduisant à une simple constante schématique, les conditions initiales (n" 90) seront de la forme

(a) ) V =Çq \ pour 37 — a7o = jK— JKo = -. .= o,

OÙ Xq, j'o7 • • • ? Uoi ^0) • • • désignent les valeurs numériques initiales des variables et des inconnues.

Le système est d'ailleurs visiblement orthonome (n" 104) : il suffît, pour s'en convaincre, d'attribuer aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à i, et aux fonctions inconnues des cotes respectives toutes nulles; la cote (unique) de chaque dérivée se trouvera ainsi être égale à son ordre. Dans le cas d'une seule

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variable indépendante, le système est forcément passif (n° 110). S'il y en a plus d'une, les inconnues y ont pour dérivées cardinales celles d'entre leurs dérivées secondes qui intéressent deux variables indépendantes distinctes, et il est nécessaire et suffisant, pour la passivité, que l'élimination des dérivées premières et secondes de w, p, . . . (toutes principales) entre les équations (i) et celles qu'on en déduit par toutes les diflerentiations premières possibles conduise à des identités, c'est-à-dire à des relations qui soient vérifiées pour toutes valeurs numériques de x^ y, ..., w, r, ... (n° 112); à chaque dérivée cardinale correspond ainsi une condition de passivité; par

exemple, à la dérivée cardinale t — — correspond, comme on le voit

par un calcul très simple, la condition

— T -t- — ; Uy-1- — r — V y -t- . . . — — — t— — - — \J X ^r — ^ — V x^^ ....

dy du -^ dv ^ dx du dv

Cela étant, le théorème général que nous avons établi sur l'existence des intégrales dans les systèmes orthonomes (n" 115) nous fournit la conséquence particulière suivante :

En désignant par ^o, JKo, • • -^ "o? ^^'o? • • • d^-^ valeurs numériques arbitrairement choisies dans les limites d'olotropie communes à tous les seconds membres, le système (i), supposé passif , admet un groupe {unique) d^ intégrales répondant aux conditions initiales (2).

Nous allons appliquer ce principe à un système particulier dont la considération nous sera plus loin fort utile.

117. Nous poserons tout d'abord la définition suivante : Considérant un système de fonctions,

/ Fi (X, Y, Z, ...,T), (.. ^ F2 (X, Y, Z, ..., T),

en nombre au plus égal à celui des variables X, Y, Z, . . ., T, nous nommerons déterminant différentiel de ces m fonctions par rapport à m variables désignées le déterminant (au signe près) qui a pour éléments les dérivées premières des m fonctions par rapport

aux m variables donl il s'agit; ce déterminant ne peut manquer d*être olotrope dans les limites où les fonctions (3) le sont ellesmêmes (n" 61, I).

Pour avoir les divers déterminants différentiels du système de ces fonctions, il suffit donc de former le Tableau

dFi

dF,

lY'

~dZ' "

•' âT'

dF,

dF,

ÔF,

dX'

ÔY'

-ÔZ' "

'' dT'

àF„, ÔX'

àF,n

àF,n ÔZ' "

•' dT

(qui contient m lignes et au moins m colonnes), et d'en extraire de toutes les manières possibles m colonnes.