Soient

m fonctions des diverses variables

dont les premières, u^ c, ..., sont en nombre m comme les fonctions. Supposons que les fonctions (4) soient toutes développables (n*' 76) à partir des valeurs particulières

(5) Wo, t^o, ..., ^0, ro, •••

de w, r, . . . , .r, y, . . . , et qu'en outre le déterminant différentiel, A ( w, i^, . . . , ^, y, . . . j, de ces m fonctions par rapport aux m variables «, ç^, ... ne s'évanouisse pas pour les valeurs (5).

Cela étant, considérons le système diflerenliel du premier ordre

{ dj\ Ou ^ ùfx ôv ^ ^Ë^^o du ôx Ov Ox ' ' ' dx '

(6) ' Ou Ox Ov Ox '*' Ox

àfm àjl ^ Ofm 0V ^ ^ àjjn ^ ^ ,

t Ou Ox Ov Ox ' ' ' Ox '

cHU'rmE VIII.

du dfi ôv ôfi

dy ' ôv dy ' ' cl y

à/, du

du df, dv df. dy dv dy ' ' ' dy

dfm du df,„ dv ^ df,n

du dy dv dy * ' ' r)y

dont les premiers membres se déduisent des expressions (4) en y considérant u^ v,.., comme des fonctions indéterminées de :r, y, . . ., et elTectiiant sur elles, conformément à Ja règle des fonctions composées, toutes les diflerentiations premières possibles. Le déterminant A(w, r, .. ., x^y^ ...) étant, par hypothèse, difterent de zéro pour les valeurs (5), Test, par là même, pour toutes valeurs de u^ <^ . . • 7 ^1 y- ' • • suffisamment voisines de ces dernières; et, dans ces limites, l'algorithme de Cramer sera applicable aux groupes (6), (7), etc., qui seront résolubles, le premier par rapport aux m

dérivées

du dv dx' dx

le second par rapport aux m dérivées

du dv dy' dy'

et ainsi de siiite. En effectuant ces résolutions, on est conduit à un système différentiel total du premier ordre (n" 116),

dont les seconds membres sont des fonctions connues de «, (^, • • . , ^, j-, .... Je dis que ce système, (8), est passif .

Pour l'établir, on pourrait se borner à faire voir, conformément aux indications du n*^ 116, que l'élimination des dérivées premières et secondes, effectuée entre les équations (8) et celles qu'on en déduit par toutes les différentiations possibles du premier ordre.

FONCTIONS IMPLICITES. ^Sq

conduit à des identités : mais il est aussi simple, dans le cas actuel, de faire voir, plus généralement, que l'élimination des dérivées des ordres i, 2,..., »•, effectuée entre les équations (8) et celles qu'on en déduit par toutes les difFérentiations possibles des ordres i, 2, . . ., g — I, conduit, quel que soit ^^ à des identités. C'est ce que nous allons établir.

I. Considérant le système du premier ordre, S^, formé par les groupes (6), (7), etc., nommons S'^ le système du second ordre déduit de S' par toutes les difierentiations possibles du premier ordre ; S"' le système du troisième ordre déduit de S' par toutes les diff"éj:'entiations possibles du second ordre; et ainsi de suite indéfiniment. Considérant, d'autre part, le système du premier ordre, (8), déduit de S' par résolution, écrivons-le sous la forme

du dv

(9) \ au - dv

Ur = o, — — Vy = O'

et nommons T' le système (9); T'^ le système du second ordre déduit de T' par toutes les dilTérentiations possibles du premier ordre; "V" le système du troisième ordre déduit de T' par toutes les difierentiations possibles du second ordre; et ainsi de suite indéfiniment. 11 est clair qu'en désignant par g un entier positif arbitraire, les premiers membres de S^^^ et T^^^ sont des expressions entières par rapport aux dérivées d'ordres i , 2, . . . , ^ de ;/, ç^, . . . , et que les coefficients de ces expressions entières sont développables, comme les fonctions (4), à partir des valeurs (5).

Je dis que V un quelconque des deux systèmes