II) (T', T", ..., T

peut se déduire de l'autre en ajoutant membre à membre les équations de cet autre préalablement multipliées par des facteurs convenablement choisis; les facteurs dont il s'agit sont d'ailleurs des expressions entières par rapport aux dérivées d'ordres I, 2, ..., g — I de w, (^, . . . , et les coefficients de ces expressions certaines fonctions développables à partir des valeurs (5).

Tout d'abord, le point que nous avons en vue est vrai pour les systèmes S', T^ En efi'et, puisque les fonctions

respectivement substituées à

du dv

dx dx

du dv

transforment en identités (quels que soient w, ^, . . . , x^ y^ . . . ) les équations (6), (7), etc., on aura, en considérant par exemple la première des équations (6), l'identité

du dv dx '

dx du '^ dv "^ ' '

si donc, dans l'équation dont il s'agit, on remplace le terme y^ par

cette dernière expression, qui lui est identiquement égale en w, i, ... , x^ >', . . . , elle prendra la forme

du \dx ^"y ^ Ov \dx -7 ^ ''•

En opérant de même sur chacune des équations (6), (7), elc, le système S' prendra la forme

i du \dx ^V dv \dx ^•"' ^ '''

(|3) -' du

[ à/,„ /du

Cela posé, désignons par q le nombre des équations contenues dans l'un quelconque des deux systèmes S', T' (ce nombre est égal au produit de m par le nombre des variables du groupe oo^ y^ • • •)' ^^ soient

(i4) Fi=o, F2 = o, ..., F^ = o,

les équations de ces deux systèmes respectifs. La simple inspection des groupes (12), (i3), etc. nous montre qu'on a identiquement

(en u, i',..., ^, jK, ...)

; F2 = '^2,1 Hl + ^2,2 H2 + • • •+ '^^2,(7 H^î

^<7,2 Ha-f-. . .-t- kg^qWq,

011 les \ désignent certaines fonctions de m^ ^', . . . , a?, y, . . . ; le déterminant formé par ces dernières est d'ailleurs identiquement égal à une puissance entière et positive de A(w, (^, . . . , ^, y, . . .), et, par suite, difterent de zéro, en sorte que les formules (16) sont résolubles par rapport à H, , H2, . . . , H^. Cela étant, il résulte tout d'abord des identités (16), sous la forme où elles sont écrites^ que chaque équation du système S' peut se déduire du système T' en ajoutant membre à membre les équations de ce dernier, préalablement multipliées par certaines fonctions de m, v^ . - . , x^ y^. . . développables à partir des valeurs (5); et il résulte de ces mêmes identités, résolues par rapport à H,, H2, . . ., Hy, que chaque équation de T' peut se déduire semblablement de S'.

Convenons maintenant d'une notation destinée à simplifier l'écriture.

Étant donnée une expression /, qui contient 11^ r. . . . , x^ y^ . . . , et des dérivées d'ordres quelconques de «, r, . . . , nous désignerons par le symbole 0^«y?.,. f le résultat obtenu en exécutant sury, conformément à. la règle des fonctions composées, une dérivation d'ordre« partiels a, p, ... par rapport k œ, y, ... respectivement : ce résultat est, comme on sait (n" 68), indépendant de l'ordre des dérivations.

Gela posé, une équation quelconque du système (11) est de la forme

et il résulte de ce qui vient d'être démontré sur S^ et T' qu'en désignant par |JL,, JJI2, . . . , [t-q certaines fonctions de u, ç^ . . . ^ x, y, . . . développables à partir des valeurs (5), l'équation (17) peut s'écrire

(18) Q.^a^?...([JLiFi-|- [JI2 F2 -+-... -^- l^g^q) = O.

Or, en développant, conformément aux règles de différentiation d'une somme et d'un produit, le premier membre de Ja relation (18), on tombe évidemment sur une somme de termes dont chacun est de la forme

Q.^a/^?/ . . . |jL,. X Q^'y."yV> ... F,, ( r ^ r ^ ^, a' -+- a" = a, [3' + [3" = |3, . . ) ; d'ailleurs, la relation

Qx'^"y?" . . . F,. = O

appartient au système (10), et le facteur O^^y?' U;. est une expression entière par rapport aux dérivées d'ordres i, 2, ..., g- — i de u^ v, ..., les coefficients de l'expression dont il s'agit étant, comme ix^, développables à partir des valeurs (5). Chaque relation du système (11) peut donc se déduire du système (10) de la manière indiquée au début du présent alinéa I; et la réciproque est vraie, en vertu d'un raisonnement semblable.