II. Revenons à notre énoncé général
Pour établir la passivité du système (8), il suffît de prouver que le système formé par les groupes
équivaut numériquement à un autre système, résolu par rapport aux dérivées des ordres i, 2, ,.., ^ de w, ç, Or, il résulte de l'alinéa I
qu'en considérant «, v, ..., ^, jK, ... et les dérivées dont il s'agit comme autant de variables indépendantes distinctes [et assujettissant î/, V, ..., ^, J', ... à rester suffisamment voisins des valeurs (5)], les svstèmes (lo) et (i i) admettent les mêmes solutions numériques. On peut dès lors, dans la démonstration qui nous reste à faire, substituer aux groupes (19) les groupes respectifs
(20) S', S", ..., S^ér).
Cela posé, on observera que, pour avoir le groupe S(/^-) (A^ = i, 2, ...,g), il suffit de considérer le système
(21) û.c«j.S... /l = O, Q.c«j?... /2 = O, . . . , ^x^y?... fm = O,
et d'y attribuer successivement à a, p, ... les divers systèmes de valeurs entières, positives ou nulles, qui vérifient la relation
Comme on l'aperçoit sans peine, le système (21), composé de m équations, est linéaire par rapport aux m dérivées semblables
celles-ci y ont pour coefficients les éléments du déterminant différentiel
qu'on suppose différent de zéro, et les autres termes ne contiennent, avec «, v^ ..., x^y, ..., que des dérivées de ?/, ^, ... d'ordre inférieur à a-|-[^+...; la résolution du système (21) par rapport aux dérivées (22) fournit donc pour ces dernières des expressions ne contenant, avec M, v^ ..., x^ j', ..., que des dérivées d'ordre inférieur à
a-j-[j-|- Il en résulte évidemment que les groupes (20) sont
successivement résolubles par rapport aux dérivées des ordres i,
2, . .., fr.
119. Les mêmes choses étant posées qu'au début du numéro précédent, le système différentiel S', formé des groupes (6), (7), etc. y admet un groupe dUntégrales, et un seul, vérifiant les
conditions initiales
U=Uo \
pour X — xq — y
ro
De la relation établie plus haut entre les systèmes S' etT' (n^ 118, 1) il résulte, en effet, que les groupes d'intégrales vérifiant les conditions initiales imposées par notre énoncé sont les mêmes pour ces deux systèmes. Or, le système T' ou (8), étant passif, admet un pareil groupe d'intégrales, et un seul : il en est donc de même du système S'.
