Soient

( fmiu, V, . ., ^,7, ...) = 0

m équations simultanées entre les diverses variables

dont les premières, ;/, c, . . ., sont en nombre m comme les équations. Supposons que les premiers membres, /, , /a? • -^ fm^ soient tous développables (n" 76) à partir des valeurs particulières

(ie w, r, . . ., :r, j-, . . ., ^/ s^ annulent pour les valeurs en question; supposons en outre que le déterminant différentiel,

des m premiers membres par rapport aux m variables w, i', ... ne s^ annule pas pour les valeurs (24). Cela étant :

1° Le système des équations proposées (28) est identiquement vérifié par la substitution à u^v^ ... d'un certain groupe de fonctions de œ^ y, ...,

développables à partir des valeurs Xq^ y^^ ..., et ayant pour valeurs initiales respectives Uq, Cq, —

2° Si l'on considère, en même temps que le système proposé (23), le système des formules

(25) j ç cp(a7, r, ...).= o.

toute équation du système (aS) peut se déduire du système (26) en ajoutant membre à membre les diverses équations (aS), préalablement multipliées par certaines fonctions de u, v, ..., x, y, ... développables à partir des valeurs (24); et toute équation du système (2^) peut se déduire semblablement du système (aS).

I. Supposons pour un instant que le système (23) soit, comme il est dit dans la première partie de notre énoncé, identiquement vérifié par la substitution à u, v, . . . d'un groupe de fonctions de ^, y, ... développables à partir de Xq^ y^, ... et s'y réduisant respectivement

à Uqj ^'o, Après cette substitution, les premiers membres de (23)

deviennent des fonctions composées de x^ y, ..., développables à partir de Xq, j'^, . . ., et auxquelles s'appliquent les règles de dilTérentiation exposées aux n"^ 62 et 64 ; ces fonctions sont d'ailleurs identiquement nulles. En conséquence, les fonctions substituées à u^ v, ..., et que, pour plus de simplicité, nous désignerons aussi par u^ v, ..., satisfont non seulement aux équations (23), mais encore à toutes celles qui s'en déduisent par différentiations, et notamment au système S' considéré plus haut (n"M18 et 119).

Réciproquement, si, dans le système S', on considère, conformément à ce qui a été dit au n" 119, le groupe (unique) d'intégrales répondant aux conditions initiales

ç = i^o pour ;r — a7o= j — 7o = . • .= o,

ces intégrales satisfont, comme nous allons le voir, au système proposé (23).

RfFeclivement, le système S' se composant des groupes (6), (7), etc. du n" 118, on voit qu'après la substitution à Uj ^, . . . des intégrales

dont il s'agit, les fonctions composées

/,„(m, p, ..., :r, jk, ...)

ont leurs diverses dérivées premières toutes identiquement nulles : ces fonctions se réduisent donc à des constantes (n" 94). D'ailleurs, quand ^, JK? • • • prennent à la fois leurs valeurs initiales Xq^ jKo? • • -7 les intégrales fi, r, . . . prennent respectivement aussi leurs valeurs initiales Uq, {^q, ..., et, par suite, les fonctions composées prennent respectivement les valeurs

/i ("0, ^0, .. ., iï-o, Jo, •••).

toutes nulles par hypothèse : les constantes dont nous avons parlé sont donc nulles, c'est-à-dire que les équations (23) sont identiquement vérifiées.

Ainsi se trouve établie la première partie de notre énoncé.