II. Si la fonction

est développable à partir des valeurs

(27) Mo, Po, ..-, ^0, JKO, ...,

considérées comme initiales, et si les fonctions

développahles à partir de x^, y^, ..., ont pour valeurs initiales respectives

Mo, ('Oî ' • '1

on a V identité

. ., ^, JK, .

..;[m — ■j(^, jK, .

..,^, JK, .

•■Il

-4-w(^, JK, .

OÙ

désignent certaines fonctions développables, les premières à

partir de Wo? ^m •••? "^05 JKo? •••5 fci dernière à partir de Xn, y^

EfTectivement, si l'on pose

la substitution à u, r, ... de leurs valeurs tirées de ces formules transforme F(«, r, . . ., x, y, . . .) en une fonction

(30) ou

développable (n° 59) à partir des valeurs

(3i) o, o, ..., xo, yo, ...

des variables

Si l'on ordonne par rapport à U, V, ... le développement de la fonction (3o), et qu'on désigne par iii{x^ jr, . . .) le terme indépendant de ces variables, développable à partir de Xq, yo? • • -5 un groupement convenable des termes restants nous donnera, pour (3o), l'expression

(33) AV-\-MV -h...-^oi(x,y, ...),

où A, M, ... désignent certaines fonctions des variables (82) développables à partir des valeurs (3i). Finalement, si, dans l'expression (33), identiquement égale à (3o), on remplace U, V, ... par les premiers membres des formules respectives (29), on régénère évidemment la fonction (26), et celle-ci prend, dès lors, la forme assignée par l'énoncé.