III. Si Inéquation
dont on suppose le premier membre développahle à partir des valeurs initiales (27), est identiquement vérifiée par la substitution à u^ v^ ... des fonctions
u(a7,j, ...), ?(^,rj •••)^
développables à partir de Xq^ y^^ . . . et ayant pour valeurs initiales respectives Wo? ^'o? • • 1 ^H^ peut se déduire du système
en ajoutant membre à membre les équations de ce dernier, préalablement multipliées par certaines fonctions de w, v^ ..., x^y^ ... développables à partir des valeurs (27).
Car la fonction to(;r,jK, . . .), qui figure dans ridentité (28), doit alors s'annuler identiquement.
IV. Il nous est facile maintenant d'établir la seconde partie de notre énoncé général.
Soient, en effet,
U = u(a7, JK, ..•),
les intégrales du système S' qui satisfont aux conditions initiales
V =n>o > pour x — Xo = y—yo =
(n" 119). Puisque ces intégrales vérifient identiquement, en vertu de l'alinéa I, les équations (23), il résulte de l'alinéa III qu'on a identiquement en u, V, . . ., x^ y^ . . .
/i =(w — ■j)Xi +((^ — cp)f^i +...,
OU
désignent m- fonctions convenablement choisies de 11,
développables à partir des valeurs {9.4), que nous considérons comme initiales. Je dis que le déterminant formé par ces m- fonctions prend, pour les valeurs (24), une valeur numérique essentiellement différente de zéro.
Calculons, en effet, la valeur initiale du déterminant différentiel de /<, /27 • • -7 /m par rapport aux m variables u, (^, .... En ajant recours aux notations que définissent les formules (29), les formules (34) peuvent s'écrire
f, =1, U + Ki v+...,
fm= X,„U -h [X,„V4-.. .,
et la première, différentiée par rapport à la variable w, nous donne
du Ou
du
du
du
or, les quantités U, V, ... ayant des valeurs initiales nulles, on peut, pour calculer la valeur initiale de 'Jl, faire abstraction, dans le second membre, des termes
du
du
c'est-à-dire opérer comme si les facteurs X,, jjl,, ... étaient des constantes; une remarque analogue est applicable à tous les éléments du déterminant A(;^, i', ..., x^ y^ . . .), et, dès lors, la valeur initiale de A s'obtiendra en multipliant la valeur initiale du déterminant
Xi !^i X2 i-to
par celle du déterminant
cHApnni: viii.
du du âi> dv
La valeur initiale du déterminant (35) est donc égale à celle du déterminant A, par suite essentiellement ^o; en conséquence, ce même déterminant (35) ne s'annule pas non plus pour les valeurs de «, v^ . . . , 57, y, ... suffisamment voisines des valeurs (5^4)? et, dans ces limites, les relations (34) sont résolubles par rapport à a — u.
Cela étant, si l'on considère les identités (34), en premier lieu sous la forme même où elles sont écrites, et en second lieu après leur
résolution par rapport aux différences u l'un quelconque des deux systèmes
on voit que
fn
et
peut se déduire de l'autre comme l'indique notre énoncé.
121. Lorsque le système (23), considéré au numéro précédent, satisfait à toutes les conditions qui s'y trouvent énoncées, nous dirons qu'il est résoluble par rapport aux variables u^ v^ ... à partir des valeurs numériques (24).
On observera que les dérivées de tous ordres des fonctions de x^ j>', ... obtenues à l'aide de cette résolution peuvent, par la considération des systèmes successifs S', S", S"^, ... (n*' H8), s'exprimer à l'aide de ^, jk, ... et des fonctions elles-mêmes.
122. Considérons, entre des variables 5, t^ ..., qu'on regarde comme indépendantes, deux systèmes de relations dont les premiers membres (après réduction des seconds à zéro) soient tous développables à partir de certaines valeurs numériques ^05 ^o? •••? qu'on regarde comme initiales : cela posé, nous dirons que le second système est une combinaison multiplicatoire du premier, si chacune de ses équations peut s'obtenir en ajoutant membre à membre celles
FONCTIONS IMPLICITES. 'J- ï
du premier, préalablement multipliées par certaines fonctions de 5, /, . . . développables à partir de ^o, ^o, Si chacun des deux systèmes proposés est une combinaison multiplicatoire de l'autre, les systèmes seront dits être en corrélation multiplicatoire.
Etant donnés, entre les variables 5, ^, ..., trois systèmes de relations, si le dernier est une combinaison multiplicatoire du second, et le second une combinaison multiplicatoire du premier (dans le voisinage des mêmes valeurs initiales), le dernier est aussi, comme on le voit sans peine, une combinaison multiplicatoire du premier. Par suite, si deux systèmes, successivement comparés à un même troisième, sont avec lui en corrélation multiplicatoire, ils jouissent L'un par rapport à l'autre de cette même propriété.
Lorsque deux systèmes sont en corrélation multiplicatoire, ils admettent évidemment, dans un voisinage suffisamment rapproché des valeurs initiales, les mêmes solutions numériques par rapport aux variables qui s'y trouvent engagées.
Les définitions posées ci-dessus permettent d'exprimer comme il suit la dernière partie de l'énoncé du n" 120 :
Lorsqu^ un système est résoluble, conformément au principe i:énéral des fonctions implicites, à partir de certaines valeurs numériques des indéterminées qui s'y trouvent engagées (n" 121), // est en corrélation multiplicatoire avec le système des formules de résolution. Il en résulte, notamment, que, dans un voisinage suffisamment rapproché des valeurs initiales, les deux systèmes admettent les mêmes solutions numériques (^).
(') La dernière partie de notre énoncé du n° 120 est susceptible d'une généralisation parfois utile. Désignons toujours par
w, p, ... et X, y, ...
deux groupes de variables, dont les premières, w, v, ..., soîit en nombre m, et considérons un système d'équations
\ fm {u,v, ....X, y, ...) = o,
dont les premiers membres soient tous développables à partir de certaines valeurs
