PRÉFACE. XIX

Vers la même époque, l'étude de la forme canonique que j'ai nommée orthonome (^), comprenant comme cas particulier celle que j'avais considérée antérieurement, me conduisit à généraliser le théorème d'existence relatif à cette dernière : ainsi qu'on le verra dans le cours de cet Ouvrage, la définition de la forme orthonome et ses propriétés ont pour base essentielle la considération des cotes, qui m'a été, dans toutes mes recherches, d'une utilité capitale.

Tout récemment enfin, j'ai pu établir des théorèmes d'existence se rapportant à des formes plus générales encore, et obtenir en même temps, pour les conditions d'intégrabilité, une règle notablement plus avantageuse (^). Deux exemples bien simples suffiront à donner une idée de ce double progrès.

Supposons d'abord qu'un système différentiel, impliquant une fonction inconnue, w, des variables indépendantes^, y, . . ., ait pour premiers membres toutes les dérivées d'ordre m de w, les seconds membres ne contenant, avec les variables x^ y^ . . . , que l'inconnue u et ses dérivées d'ordre inférieur à m. Pour former les conditions d'iniégrabilité d'un pareil système, il suffit, d'après la règle simplifiée à laquelle j'ai fait allusion, d'adjoindre aux équations qui le composent celles qui s'en déduisent par des différentiations premières, et d'opérer, dans le système résultant, l'élimination des dérivées d'ordres m et m -f- I . Or, il fallait, d'après l'ancienne, adjoindre aux équations proposées toutes celles qui s'en déduisent par des

une question fondamentale du Calcul intégral^ i'" Partie {Acta niathematica, t. XXIII, 1899).

(1) Sur une question fondamentale du Calcul intégral, •2'^ et 3" Parties.

(') Sur l'existence, dans certains systèmes différentiels, des intégrales répondant à des conditions initiales données {Annales de l'École Normale, 1904). — Sur les conditions d'iniégrabilité complète de certains systèmes différentiels [Annales de l'Ecole Normale, 1907).

XX PREFACE

différentiations d'ordres i, 2, ..., m, et opérer ensuite Télimination des dérivées d'ordres m, m-hi, ..., im : on se trouvait ainsi conduit, par un calcul beaucoup plus long, à un ensemble de conditions dont un grand nombre étaient superflues.

Supposons maintenant que, dans l'équation aux dérivées partielles

d^ u ^f du du du d^ u^

dxdy ^ \ ' ^' ' dœ dy da.'' dy'

OÙ u désigne une fonction inconnue des deux variables indépendantes X et y, il s'agisse de déterminer un ensemble de conditions suffisantes pour l'existence d'une intégrale ordinaire répondant à des conditions initiales données, de la forme

M=i9(j) pour ^ = ^0,

du

— =^{a^) pour 7=7o.

En désignant par A et B les dérivées partielles du second

membre / relatives à -p^ et ^ respectivement, et par Ao, B^

les valeurs numériques initiales de A, B, on a successivemertt assigné comme condition suffisante à l'existence de l'intégrale : i^ La nullité identique des deux fonctions A et B. [Ce résultat se trouve contenu, comme cas particulier, dans les recherches publiées par M. Méray en 1890 avec ma collaboration (^ ).]

(1) L'équation , ,, d^u ^/ au du\

se ramène en effet au systènne différentiel du premier ordre

du . du'y .( du ,

dy ^ âx -^ \ '-^ ' ' dx ^

2^ La nullité identique de l'une ou de l'autre des fonctions A, B. [C'est là une application particulière des recherches que j'ai publiées en ICS93 ('), ou de celles qui ont paru peu après sur les systèmes orthonomes.]

3° La simple inégalité numérique

mod(A,BJ<^.

[C'est là une application particulière de mes recherches les plus récentes (-).]

lequel est immédiat, sem,i-régulier et passif. {Voir à ce sujet le Mémoire déjà cité de MM. Méray et Riquier.)

Dans un Mémoire célèbre publié en 1890 {^Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et sur la méthode des approximations successives {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4* série, t. V)], M. Emile Picard considère cette même équation (i'), et il démontre, par la méthode des approjtimations successives, dont il est l'auteur, l'existence de

l'intégrale u déterminée par la double condition que w et — ■ prennent sur

une courbe donnée G des valeurs données. En raison de la forme choisie pour les conditions initiales, ce résultat nous semble devoir être rapproché, non du précédent, mais plutôt de celui qu'on obtient par l'application du théorème de M™*= de Kowalevsky à l'équation aux dérivées partielles du second ordre : si l'on désigne en effet par x — g{y) l'équation de la courbe G, qu'on effectue sur l'équation (1') le changement de variables

et qu on résolve 1. équation transformée par rapport a -r—q^ on se trouve ramené à intégrer cette dernière avec des conditions initiales de la forme

(•) Annales de l'École Normale, 1893.

(2) Annales de l'École Normale, 1904. Je dois ajouter que, dans une Note

PREFACE

On peut juger, par ce simple rapprochement, de l'extension progressivement donnée aux théorèmes d'existence.

Une dernière étude à laquelle conduisent naturellement les précédentes consiste à comparer, dans deux formes complètement intégrables provenant d'un même système différentiel, le nombre et la nature des éléments arbitraires que comportent les conditions initiales : les quelques résultats intéressants que m'a semblé fournir cette comparaison ont fait l'objet d'un Mémoire publié en 1902 ( ').

Toutes les questions générales que je viens d'indiquer sommairement se trouvent exposées en détail dans les Chapitres V, VI, VU, IX, X et XIV du présent Ouvrage. Diverses particularités intéressantes sont à signaler dans le cas où les conditions initiales du système donné présentent la disposition que j'ai qualifiée de régulière (^) : elles font l'objet du Chapitre XII. Le lecteur trouvera enfin dans le Chapitre XI, à titre d'application, l'étude de deux systèmes particuliers d'équations aux dérivées partielles : Tun se rapporte à la théorie des déformations finies d'un milieu continu dans l'espace à n dimensions, l'autre à la détermination des systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales à n variables (^).

communiquée à l'Académie des Sciences le 2 novembre 1897, M. Goursat avait indiqué comme condition suffisante pour l'existence de l'intégrale la nullité numérique de l'une ou l'autre des valeurs initiales Aq, Bq.

(') Sar le degré de généralité d'un système différentiel quelconque {Acta mathematica, t. XXV).

(2) Sur les systèmes différentiels réguliers {Annales de la Faculté des Sciences de Marseille, t. XIV, fasc. 4).

(3) Sur l'intégration d'un système d'équations aux dérivées partielles auquel conduit l'étude des déformations finies d'un milieu continu {Annales de l'Ecole Normale, igoS).

Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles auxquels conduisent : 1° l'étude des déformations finies d'un milieu continu dans l'espace à n dimensions ; 1" la détermination des systèmes de coordonnées