Soient

(36) ti, ^2, •••, tn

n variables indépendantes, jji un entier moindre que «, et

/l (^l5 ^25 • • •• tn)-,

|jL fonctions des variables dont il s'agit : si, avec les fonctions (S^),

initiales de w, v^ ..., a;, y, ...; supposons, en outre, que les m premières d'entre elles, celles du groupe (i'), soient, à partir des valeurs initiales dont il s'agit, résolubles, conformément au principe général des fonctions implicites, par rapport aux m variables u, v, .... Si Ton considère maintenant les m formules de résolution

la substitution à m, v, ... des fonctions u(a7, y, ...), ©(a?, y, ...). ... dans les équations restantes, celles du groupe (2'), en transforme les premiers membres, /m+iJ •••> ^^ certaines fonctions de x, y, ..., développables, en vertu du principe général des fonctions composées, à partir des valeurs initiales de ces dernières variables : soient

.^,s \ Fm+.(^. r» ...) = o,

les équations ainsi obtenues.

Je dis que les systèmes [(i'), (2')] et [(3'), (4')] sont en corrélation multiplicatoire.

Si l'on se reporte, en effet, à l'alinéa IV du n° 120, on a les identités

OÙ les ra^ multiplicateurs des m différences u — u, (> — 9, ... forment un déterminant à valeur initiale non nulle; et, si l'on se reporte à l'alinéa II du même numéro, on a les identités

En vertu de la remarque faite sur les multiplicateurs qui figurent dans (5), les relations (5) et (6') sont résolubles, conformément à l'algorithme de Cramer, par rapport à

M — u, t' — cp, ..., F,„^„ ....

Cela étant, si l'on considère les identités (5') et (6'), en premier lieu sous la

FONCTIONS IMPLICITES. iy3

on construit une fonction composée,

(38) F(/i,/2, ...,/;x)=/(^l, h, ..., tn),

de telle façon que les règles générales relatives à la composition des fonctions olotropes soient applicables, les déterminants différentiels des \K H- I fonctions (3r) et (38), pris par rapport à |jl -f- i quelconques des variables (36), sont tous identiquement nuls.

Considérons, par exemple, le déterminant différentiel relatif aux |jL+i variables ;,, ^o, ..., ^jx+t- L'algorithme des fonctions composées, appliqué au calcul des dérivées premières de la fonction (38), donne

àf dt,

dt.

^F dfy

àf du d¥ df àf àt.

^ à^ àf ^ à/-2 àt, ^^'

, àF df

àF àf^ "^ àf^ du'

,^àF df àf^ àh

àf

d¥ df,

, àF àf ^

àF àf^ àf^ àt^^i

àf àt^^y

àf àt^+i

Il résulte de ces relations que, dans le déterminant considéré, les éléments d'une certaine file sont exprimables par une même fonction linéaire et homogène des éléments de même rang des files parallèles : ce déterminant est donc identiquement nul.

forme même où elles sont écrites, et en second lieu après la résolution indiquée, on voit que l'un quelconque des deux systèmes

[(!'), (2')] et [(3'), (/,')]

est une combinaison multiplicatoire de l'autre. On peut remarquer que les deux systèmes

sont, eux aussi, en corrélation multiplicatoire. Car, les systèmes (i) et (3) jouissant de cette propriété, les relations (6) peuvent s'écrire sous la forme

fn, + l= L„ + i,i/i+ L^^, 2/2 + ...+ L^^,^^/^+ F„,^,,

or, si on les considère, en premier lieu sous cette forme même, et en second lieu

après leur résolution par rapport à K^,^,, ..., on voit que (2') est une combinaison

multiplicatoire de [(i'), (4')] et (4') une combinaisoa multiplicStaire de [(1'), ( 2')].