Si le système
OU
désignent deux groupes d'indéterminées, admet quelque solution numérique,
/ ^0, JKo, . . . ,
à partir de laquelle ses premiers membres soient tous développables, on peut, sous le bénéfice d'une certaine restriction qui sera formulée plus loin, lui substituer un système de même forme jouissant de la double propriété : \° d'admettre, à V intérieur d'un domaine suffisamment petit de centre (wo, t^o? •••, «^0? JKo, •••)' les mêmes solutions numériques que (i); 2° de comprendre deux groupes d'équations, dont le premier soit résoluble, à partir des valeurs (2), par rapport à certaines variables convenablement choisies du groupe «, v^ . . ., tandis que les équations restantes ne contiennent que les seules variables du groupe x^ y^
298 CHAPITRE Vlir.
Soit n le nombre des variables du groupe a, v^
Si les dérivées premières de/,, y*o, . . ., /,i par rapport à «, v^ ... sont toutes identiquement nulles, les équations (i) ne contiennent que les seules variables x^ J% • • • (n" 9i), et la proposition est vraie d'elle-même, avec cette circonstance particulière que le premier des deux groupes d'équations spécifiés par notre énoncé n'existe pas.
Abstraction faite de ce cas singulier, il arrive nécessairement de deux choses l'une :
Ou bien il existe n des fonctions
(3) fu /2, ..., /m
dont le déterminant différentiel relatif à «, v^ ... n'est pas identiquement nul ;
Ou bien, ]x désignant un certain entier moindre que az, il existe jji des fonctions (3) dont les déterminants différentiels relatifs à w, i^, ... ne sont pas tous identiquement nuls, tandis qu'au contraire l'adjonction aux ui fonctions dont il s'agit de l'une quelconque des fonctions restantes (s'il j en a) fournit un système dont les déterminants différentiels relatifs à «, (', ... sont tous identiquement nuls.
En désignant donc par ix un entier, soit inférieur, soit égal à n^ on peut répartir les équations du système ( i ) en deux groupes,
\ f\x{u, V, ...,^,JK, ...) = O
et
( /m {u,v, . ..,^,JK, ...) =0,
jouissant respectivement des propriétés suivantes :
I" Dans le système (4), les déterminants différentiels (d'ordre a) relatifs à w, p, ... ne sont pas tous identiquement nuls; nous supposerons en outre, ce qui n'arrive pas nécessairement, que V un au moins de ces déterminants différentiels a une valeur initiale différente de zéro.
2" Dans le système (5), les premiers membres satisfont, en vertu
de 126 (Z? OU C), à des Identités de la forme
(/[l.+ l = F(jL+,(/,,/2, ...,/[X, ^,JK, •..).
( /m = Fm (/1./2, . . . ,/|x, ^, JK, . . .)•
Finalement donc, le système proposé (i) peut être remplacé par le système numériquement équivalent
/o ( M, p, . . . , a-, JK, . . . ) = o, )
Fm <^o, g, ...,o, a7,jK, •-.)
qui jouit bien des propriétés spécifiées par l'énoncé.
142. Désignons par w, c^", ... diverses fonctions inconnues, en nombre az, des variables indépendantes .r, y, ..., et proposons-nous d'intégrer le système difTérentiel d'ordre zéro
fu{u,v, ...,a7,j, ...) = o,
dont les premiers membres, développables à partir de certaines valeurs initiales de w, v^ . .., x^y^ ..., s'annulent numériquement pour ces valeurs.
Au système proposé (6) nous substituerons, comme au numéro précédent, et sous le bénéfice des mêmes restrictions, un système numériquement équivalent,
tel : i" que le groupe R soit résoluble par rapport à certaines variables, convenablement choisies, du groupe «, ^, ... ; 2" que le groupe T contienne exclusivement les variables ^, y, .... Gela étant, deux cas sont à distinguer :
1. Les écjualions du groupe T ne se réduisent pas toutes à des identités.
Le système proposé (6) n'admet alors aucun groupe d'intégrales :
3oo CHAPITRE VIII. — FONCTIONS IMPLICITES.
caria substitution de pareilles intégrales à u^ v^ ... clans le système S, numériquement équivalent à (6), doit transformer chaque relation de S en une identité ayant lieu quels que soient x^ y, ....
IL Les équations du groupe T se réduisent toutes à des identités.
En désignant par [ji(^/i) le nombre des équations du groupe R, on peut à ce dernier substituer un système numériquement équivalent, résolu par rapport à ^ fonctions inconnues convenablement choisies, u' . v'j ..., qui se trouveront exprimées à l'aide de ^, JK. ... et des n — [i. inconnues restantes w'', ç"^ .... Si l'on convient alors de restreindre le champ de variation de ^,7, • . ., u', p', . . ., u"^ v" ^ ... à un certain domaine autour des valeurs numériques initiales de ces quantités, on pourra, dans ces limites, disposer arbitrairement des fonctions inconnues u!' ^ v" ^ ... ; on aura ainsi, pour le système proposé, une infinité de groupes d'intégrales si |jl est <^ n, et un seul groupe si |ji = n.
SYSTÈMES PLUS GENERAUX : PROPOSITIONS PRELIMINAIRES. 3o 1
SIMPLIFICATION ET EXTENSION DES RESULTATS OBTENUS SUR LES SYSTÈMES ORTHONOMES : PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES.
Corrélation multiplicatoire entre les systèmes différentiels.
143. Considérons deux systèmes différentiels, S, T, impliquant les mêmes fonctions inconnues w, t^, . . . des mêmes variables oC, y, ... ; sur chacune des équations de S exécutons, suivant la règle des fonctions composées, toutes les différent! ations possibles des ordres o, i , 2, ..., m, puis opérons de même sur T; assimilons enfin, dans toutes ces relations, les variables cc^ y, . . ., les inconnues u, ç^ . . . et leurs dérivées à autant de variables indépendantes distinctes. Gela étant, si les deux systèmes S, T sont en corrélation multiplicatoire (n° 122), les deux systèmes cjui s'en déduisent respectivement par toutes les différentiations possibles des ordres o, i, 2, ..., m jouissent de la même propriété.
Notre proposition étant vraie d'elle-même pour m^ o (puisque la conclusion est alors identique à l'hypothèse), il suffît de faire voir qu'en la supposant vraie pour une valeur quelconque de m, elle l'est encore pour la valeur suivante m. -]- i .
A cet effet, nommons S' et T' les groupes respectivement déduits de S et T par toutes les différentiations possibles du premier ordre ; S'^ et T" les groupes respectivement déduits de S et T par toutes les différentiations possibles du second ordre; et ainsi de suite. On suppose que chacun des deux systèmes
(2) (T,T', ...,T(rri))
est une combinaison multiplicatoire de l'autre, et il s'agit de prouver
que la même chose a lieu pour les deux systèmes
(3) (S, S', ...,S(-^S(-+lO,
que le système (4), par exemple, est une combinaison multiplicatoire du système (3).
Effectivement, le système (4) se compose du système (2) et du groupe T^'^'^'^ Or, toute équation du système (2), étant, d'après l'hypothèse, une combinaison multiplicatoire de (1), est, par là même, une combinaison multiplicatoire de (3).
Considérons maintenant une équation quelconque du groupe T^'""^'^, ou, ce qui revient au même, une équation quelconque déduite de T^'"^ par différentiation première. En désignant par
Li = o, L2=o, ..., L/. = o
les équations du système (i), et par
Al, A2, ..., Aa-
des multiplicateurs convenablement choisis, toute équation du groupe T^'"^ est de la forme
AiLi-h A2L2-+-- • •+ A^L/,= o.
En la différentiant par rapport à une variable quelconque, x par exemple, l'équation résultante peut s'écrire sous la forme
Q^(Ai).L,4-i2.c(A2).L2 + ...+ Ûx(AA-).L/,
-+-Ai.Q.^(Li)-+-A2.0^(L2)+...-r-A/,.0,,(U) = o,
OÙ le symbole 0^ désigne une différentiation première relative à x exécutée suivant la règle des fonctions composées. Cela étant, il suffit d'observer que les équations
Li = o, L2 = o, ..., L/,= o,
appartiennent toutes au système (3).
144. Dans un système différentiel quelconque, attribuons à chacune des variables indépendantes et des fonctions inconnues une cote
SYSTÈMES PLUS GENERAUX : PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. 3o3
unique (n° 102), les cotes des diverses variables indépendantes étant toutes égales à i , et celles des diverses fonctions inconnues étant quelconques (positives, nulles ou négatives). Relativement à un pareil système, nous adopterons, une fois pour toutes, les conventions d'écriture suivantes. Le système différentiel étant désigné par une lettre majuscule, S :
i*" La notation 5^ (lettre minuscule affectée de l'indice G) désignera V ensemble des équations qui, dans le système S {^îion prolongé)^ possèdent une cote égale à l^ entier {algébrique) G.
2" La notation S^ (lettre majuscule affectée de l'indice G, qui y figure, comme dans i", en bas et à droite) désignera l'ensemble des équations qui, dans le système S prolongé (n° 99), possèdent une cote égale à G.
3" La notation '*^'S (lettre majuscule affectée de l'indice G, qui y figure entre parenthèses en haut et à gauche) désignera V ensemble des équations qui, dans le système S prolongé, possèdent une cote inférieure ou égale à G.
i4o. Soient S et T deux systèmes différentiels impliquant les mêmes fonctions inconnues des mêmes variables indépendantes. Attribuant aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à i, et aux fonctions inconnues des cotes respectives quelconques, désignons par S et A les cotes respectivement minima et maxima des relations figurant dans les deux systèmes, puis par G un entier algébrique quelconque (au moins égal à ô).
Gela étant, pour que les systèmes
