OS, (C)T

(n'* 144) soient en corrélation multiplicatoire quel que soit G, il suffit que cela ait lieu pour

Désignons, en effet, par X la différence (positive ou nulle) A — 0, et par

les ensembles de relations respectivement déduits de

Si , tv.

si-'\

JA+A-l)

3o4 CHAPITRE IX.

(n" 144) à l'aide de toutes les différentiations possibles de l'ordre n ; désignons en outre par k un entier positif quelconque, et, donnant à C la valeur A -(- A* ou 8 + X -[- A", considérons le Tableau

Pour former, à l'aide du Tableau ci-dessus, les systèmes respectifs

(ô)S (5-1-1) s (S+X)S (ô+X+DQ (6+X+A-)S

il suffit d'en extraire les portions respectivement obtenues en prenant sur sa gauche les

I, -2, ..., X-hl, X -i- 2, ..., X + A+i

premières colonnes verticales. On voit en outre qu'en effectuant sur les équations (5+X)5 toutes les différentiations possibles des ordres o, i, 2, . . ., A, on obtient (S+X+A)S.

Les mêmes remarques sont applicables au Tableau

, f, ,(X) /X-i-l) jl+k)

fg, «g, . . . , îg , îg , . . . , îg ,

*û+X' '^o+X' • • • ' ^Ô-hX

et aux systèmes

Cela étant, puisque les systèmes

sont, par hypothèse, en corrélation multiplicatoire, les systèmes

jouissent de la même propriété (n° 143).

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. 3o5

146. Les mêmes notations étant adoptées qu' au numéro précédent, si f on suppose que, pour

G = 8, 0 -f- 1, . . ., A, les deux systèmes

soient en corrélation multiplicatoire, la même chose a lieu, quel que soit G, pour les deux systèmes

Il suffît, en vertu du numéro précédent, de vérifier l'exactitude de notre conclusion pour C=o, û + i, ..., A.

Pour G=o, elle résulte immédiatement de l'hypothèse, puisque les deux systèmes ^^^S, ^^^T se déduisent respectivement des Tableaux (5) et (6) en prenant sur leur gauche la première colonne.

Pour G = 0 -j- I , on remarquera, d'une part, qu'en vertu de notre hypothèse, combinée avec la proposition du n*" 143, les deux systèmes

sont en corrélation multiplicatoire ; d'autre part, qu'en vertu de notre hypothèse, les deux systèmes

jouissent de la même propriété. Les systèmes ^^+^^S, (5+i)X, respectivement déduits des Tableaux (5) et (6) en prenant sur leur gauche les deux premières colonnes, ont donc entre eux la corrélation voulue.

Pour G = 0 -h 2, on observera de même que les trois systèmes

sont respectivement en corrélation multiplicatoire avec les trois sys- R 20

3o() CIIAI'ITUR IX.

lèmes

Cû' 'û+r '0+2)' Les systèmes

respectivement déduits des Tableaux (5) et (6) en prenant sur leur gauche les trois premières colonnes, ont donc entre eux la corrélation voulue.

Pour G = 0 + 3, on observera que les quatre systèmes

sont respectivement en corrélation multiplicatoire avec les quatre systèmes

Et ainsi de suite jusques et y compris G = 0 + ). = A.

147. Gonsidérons actuellement un système différentiel, S, satisfaisant aux trois conditions A, B, C formulées ci-après :

A. Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et les seconds membres sont indépendants de toute dérivée principale.

B. En attribuant, dans toutes les équations du système, aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à i^ et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités [inconnues ou dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant.

SYSTÈMES PLUS GÉNÉUAUX : PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. Soj

Désignons maintenant par 5 la cote minima des équations de S, par A leur cote maxima, par S un entier (algébrique) déterminé, au moins égal à A, et, des groupes

(n" 144), extrayons respectivement des groupes, (7) ^g' h-hi' •••' ^0'

possédant la double propriété de se composer d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dérivées principales de cotes

8, ô-f-i, ..., e, et de contenir les groupes

(n'^ 144) (la chose est possible, dans tous les cas, d'une manière au moins, et, dans l'immense majorité des cas, de plusieurs manières). Cela étant, nous adjoindrons aux hypothèses A et B, déjà énoncées, l'hypothèse suivante :

C. Il existe quelque suite, (7), remplissant les conditions cidessus indiquées, et telle que les groupes t^, ^6+1, ••., ^0 soient successivement résolubles par rapport aux dérivées principales de cotes û, ô + I, . . ., 0.

En d'autres termes, nous supposons que le déterminant différentiel de l'ensemble de ces groupes par rapport aux dérivées dont il s'agit n'est pas identiquement nul, et nous nous astreignons à ne considérer les diverses quantités dont il dépend que dans les limites où sa valeur numérique reste différente de zéro.

Toutes ces conditions étant supposées satisfaites, il est clair que la résolution successive des groupes (7), effectuée par rapport aux dérivées principales de cotes S, o -j- i, . . ., 0, fournira pour chacune d'elles une expression à la fois indépendante et de toute dérivée principale quelle qu'elle soit, et de toute dérivée paramétrique ou fonction inconnue dont la cote surpasserait celle du premier membre correspondant. En outre, les divers groupes (8), qui, par hypothèse,

3o8 CHAPITRE IX.

figurent dans (7), ne contenant dans leurs seconds membres aucune dérivée principale, ne peuvent manquer de figurer tels quHls sont dans les formules de résolution, en sorte que ces dernières comprennent nécessairement toutes les équations du système S. Nous désignerons alors par

les formules de résolution dont il s'agit, par W un système extrait de (9) sous la seule condition de contenir les groupes (8), et par G un entier algébrique quelconque (au moins égal à û). Cela étant, les deux systèmes

(OS, (C)w (n° 144) sont en corrélation muUiplicatoire quel que soit G. T. Soient

une fonction développable à partir des valeurs

considérées comme initiales ;

(lO - C(^-..), <t,...), ...

des fonctions développables à partir de tQ, ... et ayant pour valeurs initiales respectives Zq, Sq^ . . . ; li(t, . . .) la fonction composée

obtenue par la combinaison des fonctions (10) et (11), et développable, comme les fonctions (11), à partir de to, ..., en vertu du n" 59.

Gela étant, si l'on considère les deux équations

V{z,s, .., t. ...)=o, V une quelconque d^ entre elles est une combinaison multiplica-

toire de V autre et des relations

Il suffit, pour s'en convaincre, de se reporter à l'alinéa II du n" 120.

II. Désignant par G un entier algébrique inférieur à 0 (et au moins égal à 8), remplaçons dans le groupe ^c+, (entier par rapport aux dérivées principales) les dérivées principales de cote inférieure à C 4- I par leurs valeurs tirées de

et nommons 0^+1 le groupe résultant. Gela étant, V un quelconque des deux groupes

est une combinaison multiplie atoire de Vautre et du système (12). Car si, dans ces deux groupes, on considère deux relations correspondantes, il résulte immédiatement de l'alinéa I que l'une quelconque d'entre elles est une combinaison multiplicatoire de l'autre et du système (12).