IV. Revenons à notre énoncé général

Le système S faisant partie de W, le système '^'S fait partie de '*'*W, et, par suite, en est une combinaison multiplicatoire.

Réciproquement, désignons par ^ et T les systèmes respectifs (9) et (7). Le système W faisant partie de W, le système <^*W fait partie de '^'W, et, par suite, en est une combinaison multiplicatoire. D'ailleurs, les systèmes ^ et T satisfaisant, en vertu de l'alinéa III, à toutes les conditions requises par notre énoncé du n° 146, l'un quelconque des deux systèmes ^^'W, '^T, le premier, par exemple, *^*^, est une combinaison multiplicatoire de l'autre, '*^*T. Enfin, *^'T comprend manifestement les mêmes équations que ^^^S. On voit donc, de proche en proche, que '^'VV est une combinaison multiplicatoire de (^'S.

148. Il nous faut, avant de poursuivre, dire quelques mots du changement des variables indépendantes : nous nous bornerons au cas où le changement est linéaire.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il y ait trois variables indépendantes, a.', jK, z-) et soient x' ^ y', z' trois nouvelles variables liées aux anciennes par un groupe de trois relations, linéaires par rapport aux six quantités : ces trois relations, supposées indifféremment résolubles par rapport à x, y, z et par rapport à x\ y', z' ^ établissent, entre l'espace [[jc, y, z]l et l'espace r[^', jk', 2']], une correspondance point par point. Soient

deux points correspondants de ces deux espaces : si, dans une fonc-

lion de x^ y, z développable à partir de ^05 JKo, ^o, on remplace les trois variables par leurs valeurs en x' ^ y ^ z' tirées des formules de transformation, il résulte du principe général des fonctions composées qu'on obtient une fonction de x\ y\ z' développable à partir de •^05 y'ai ^0* Réciproquement. Il est clair, d'ailleurs, que si, après avoir ainsi transformé une fonction, on exécute sur le résultat la transformation inverse, on retombe sur la fonction d'où l'on était parti, et que les deux fonctions déduites l'une de l'autre par ce mécanisme prennent, en deux points correspondants, la même valeur numérique. Gela étant, proposons-nous de rechercher par quelles relations se trouvent liées, en ces deux mêmes points, les valeurs des dérivées de tous ordres des deux fonctions.

I. Expressions des dérivées anciennes à l'aide des dérivées nouvelles.

Pour former de semblables expressions, supposons les formules de transformation résolues par rapport aux variables nouvelles, et soient

!a7'= aia7 H- p,jK-+- Yi-s -hXi, z' = y.^x -+- ^zy -^ Y3- ^ ^3 les formules de résolution. En désignant par

u{x,y,z) et

deux fonctions déduites l'une de l'autre, la relation

u{oc,y,z) = u'(x',y,z')

est une identité en x, jk, z quand on remplace dans son second membre ^', y', 2' par les valeurs tirées des formules (19). On peut donc, pour calculer les dérivées successives de u{x^y^ z)^ opérer sur u' {x', y', 5'), à condition d'j considérer x' ^ y', z' comme des fonctions de .r, y, z définies par (19); l'algorithme des fonctions composées suffit, dès lors, à nous fournir les relations cherchées, et l'on voit immédiatement que les anciennes dérivées de l'ordre k sont des fonctions linéaires et homogènes des dérivées nouvelles du

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : PROPOSITIONS PRELIMINAIRES. 3l3

même ordre, les coefficients de ces fonctions linéaires étant euxmêmes des fonctions entières et homogènes de degré k des éléments du déterminant

ai !3i Yi (20) as ^2 T2

Enfin, si l'on considère les éléments du déterminant (20) et les dérivées nouvelles de l'ordre k comme autant de variables indépendantes distinctes, toute dérivée ancienne de l'ordre A", considérée comme une fonction de ces variables, n'est susceptible que d'une seule expression. Choisissons, en efi'et, pour les éléments du déterminant (20), des valeurs numériques quelconques (sous la seule restriction qu'elles n'annulent pas ce déterminant), puis, pour les dérivées nouvelles de l'ordre /r, des valeurs numériques entièrement arbitraires : il existe une infinité de fonctions de x' ^ y', z' dont les dérivées de l'ordre k prennent, pour quelque système de valeurs numériques, x[^, y^^ z'q, des variables, les valeurs assignées d'avance. Considérons alors une fonction déterminée satisfaisant à cette condition, et effectuons sur elle la transformation (19) : nous obtiendrons ainsi une fonction déterminée de ^, y^ s, dont les dérivées de l'ordre k prendront dès lors, pour les valeurs Xq, y-Q^ Zq de x^ y, z qui correspondent à x'^, y'^, s^, des valeurs numériques déterminées. Deux expressions d'une même dérivée ancienne de l'ordre k seront donc numériquement égales entre elles pour les valeurs particulières assignées d'avance aux quantités qui y figurent, d'où résulte, à cause de l'arbitraire qui préside au choix de ces valeurs, qu'elles sont identiquement égales entre elles.

II. Expression des dérivées nouvelles à l'aide des dérivées anciennes.

On raisonnera de même, mais en sens inverse. On supposera les formules de transformation résolues par rapport aux variables anciennes,

/ :r = a',ar'^-|3;y-+-Y'lV-^X',,

( z =a'3a7'+P'3jK'-4-Y'3^'+X'3,

cnAlMTUE l\.

et l'on verra que chaque dérivée nouvelle de l'ordre k admet une expression (unique) linéaire et homogène par rapport aux dérivées anciennes du même ordre, et ayant pour coefficients des fonctions entières et homogènes de degré k des éléments du déterminant

III. Si Von considère, d^ une part, les formules, G^, qui expriment les dérivées anciennes de l'ordre k à l'aide des déri- K'ées nouvelles du même ordre (I), d'autre part, les formules, G'^^, qui expriment les dérivées nouvelles de Vordre k à V aide des dérivées anciennes du même ordre (II), V un quelconque de ces deux groupes de formules se déduit de Vautre par une simple résolution.

Considérons, en effet, une transformation linéaire déterminée. Nos deux groupes d'équations sont évidemment réduits ( n" 128), puisqu'ils sont résolus. L'un quelconque d'entre eux est d'ailleurs une conséquence numérique de l'autre : le second, par exemple, est une conséquence numérique du premier. Effectivement, une solution numérique quelconque du groupe G/t s'ohtient en choisissant arbitrairement les valeurs numériques des dérivées nouvelles de l'ordre /f, et calculant les valeurs numériques correspondantes que ce groupe assigne aux dérivées anciennes. Or, considérons une fonction de x' ^ y' ^ z' dont les dérivées de l'ordre k prennent, pour quelque système de valeurs numériques, x'^., jkJ,, ^J,, des variables, les valeurs choisies d'avance, et effectuons sur elle la transformation (19) : nous obtiendrons ainsi une fonction de x^ y, z dont les dérivées de l'ordre k prendront, pour les valeurs numériques, ^0? y 01 ^0-1 ^l^i correspondent à ^'0, Jk'û, z'^^ les valeurs numériques correspondantes fournies parG^. Les valeurs numériques associées des dérivées de l'ordre A', tant anciennes que nouvelles, ne peuvent d'ailleurs manquer de vérifier aussi le groupe GJ^ , puisque, nonobstant l'arbitraire qui a présidé au choix des dernières, elles se rapportent respectivement à deux fonctions transformées l'une de l'autre. Ainsi, GJ^ est une conséquence numérique de G^, et l'on établirait de même la réciproque.

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : PROPOSITIONS PRELIMINAIRES. 3l5

Enfin, ces deux groupes réduits, étant numériquement équivalents, sont résolubles par rapport aux mêmes groupes de variables (n" 133). Le groupe G^ est donc, comme GJ^, résoluble par rapport aux dérivées nouvelles de l'ordre A", et cette résolution fait retomber sur GJ. ; réciproquement.

IV. Si l'on considère deux fonctions, V une de x, y, z, Vautre de x' , y' , z' , se déduisant V une de Vautre par transformation linéaire, et si, dans les formules Gk {ou GJ^), on remplace les dérivées d'ordre k respectivement anciennes et nouvelles par celles de ces deux fonctions respectives, les formules résultante^, eu égard aux relations (19) ou (21), qui lient les anciennes variables aux nouvelles, sont des identités, soit en x,y, z, soit en x' ^ y' ^ z' .

Car, avant qu'on tienne compte des relations (19) ou (21), les deux membres d'une même relation G^ (ou Gy^ ) prennent la même valeur numérique en deux points correspondants des espaces M^, y, z^ et [^2/,^^'', ^'] ; ils deviennent donc, ensuite, identiquement égaux entre eux.

V. Dans un système différentiel quelconque. S, effectuons un changement linéaire des variables indépendantes, c'est-à-dire remplaçons les anciennes, x^ y^ . . . , par leurs expressions linéaires à l'aide des nouvelles, x\ y', . . ., puis les dérivées anciennes d'ordres 1,2,... des inconnues par leurs expressions à l'aide des dérivées nouvelles des mêmes ordres ; et soit S' le système différentiel résultant de cette transformation.

Cela étant, à tout groupe d'intégrales de S correspond un groupe d'intégrales de S', et réciproquement.

Effectivement, les relations de S deviennent, par la substitution aux inconnues d'un groupe quelconque d'intégrales, autant d'identités en :r, jK, . • . , et ensuite, si l'on remplace <r, jk, • • • par leurs valeurs en fonctions de :r', jk', . . ., autant d'identités en x\ y\ . . ., ce qui revient à dire, en vertu de IV, que le système S' est identiquement vérifié par les fonctions transformées des intégrales de S.

Réciproquement.

Il est d'ailleurs manifeste que les groupes correspondants d'inté-

3l6 CHAPITRE IX.

gralcs sont en même temps ordinaires ou non (n" 98) dajis les deux systèmes.

149. Aux conventions d'écritures posées plus haut (n° 144) nous adjoindrons désormais la suivante :

Si sur un système différentiel (ou sur une fonction composée différentielle) on effectue un changement linéaire et homogène des variables indépendantes, le nouveau système (ou la nouvelle fonction) obtenu par Vapplication pure et simple des formules de la transformation sera désigné par la même notation, mise deux fois entre crochets ( ').

Supposons, notamment, qu'il s'agisse d'un système, S, où les variables indépendantes aient été affectées de cotes respectives toutes égales à i et les fonctions inconnues de cotes respectives quelconques; puis que, sur le système S, on effectue le changement de variables dont il s'agit, en attribuant de même aux nouvelles variables des cotes respectives toutes égales à i, et en conservant aux fonctions inconnues les cotes respectives qu'elles avaient avant la transformation. Cela étant, la notation MS]], par exemple, désignera, parmi les relations appartenant au système transformé nS] I ou s'en déduisant par de simples différentiations d'ordres quelconques (relatives aux nouvelles variables), l'ensemble de celles dont la cote ne surpasse pas G; la notation r[*^'S]| désignera le groupe obtenu en considérant, parmi les relations qui appartiennent au système primitif S ou qui s'en déduisent par de simples différentiations d'ordres quelconques (relatives aux anciennes variables), l'ensemble de celles dont la cote ne surpasse pas C, et en effectuant sur elles le changement de variables ; etc.

150. Si deux systèmes différentiels, S,T, impliquant les mêmes fonctions inconnues des mêmes variables indépendantes, sont en

(*) Nous nous sommes déjà servi de doubles crochets pour désigner l'espace à la considération duquel on est conduit par celle de variables réelles ou imaginaires en nombre quelconque : mais il n'y a pas de confusion possible entre les deux choses.

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. 3iy

corrélation multiplicatoire, les deux systèmes qui s'en déduisent respectiven\ent par un même changement de variables linéaire et homogène jouissent aussi de cette propriété.

Effectivement, si l'on désigne par

Li = G, L2 = 0, . . . , L^ = o

les équations de S, il résulte de la corrélation supposée entre S et T que toute équation de T est de la forme

Al Li -I- Aj L2 -H . . • -+- A^ L^ = o,

où A|, Ao, . . ., Ao- sont des multiplicateurs convenablement choisis. Après le changement de variables, cette équation prendra donc la forme

[[Al]] [[Li]] + [[A2]] [[L2]] +. . .+ [[A^]] [[L^]] = G.

Ainsi, toute équation de [T] est une combinaison multiplicatoire de MS] |, et l'on prouverait de même la réciproque.

loi. SoientS et T deux systèmes différentiels impliquant les mêmes fonctions inconnues des mêmes variables indépendantes.

Considérant les équations du système S, effectuons sur elles toutes les différentiations des ordres o, i, 2, . . ., m, puis, sur le système résultant, un changement de variables linéaire et homogène.

Considérant à leur tour les équations du système T, opérons dans l'ordre inverse, c'est-à-dire effectuons d abord sur elles le changement de variables dont il s'agit, puis, sur les équations résultantes, toutes les différentiations des ordres o^ i, 2, ..., jn (relativement aux nouvelles variables).

Cela étant, si les deux systèmes S, T sont en corrélation multiplicatoire, les deux systèmes qui s'en déduisent respecti^^ement par les deux suites d'opérations ci- dessus définies jouissent aussi de cette propriété.

3l8 CHAPITRE IX.

1. Etant donnée une relation différentielle, effectuons sur elle toutes les différentiations premières, puis sur les équations résultantes un changement de variables linéaire et homogène. Renversons maintenant l'ordre des deux opérations, c'est-à-dire effectuons d'abord sur la relation proposée le changement de variables dont il s'agit, puis sur l'équation transformée toutes les différentiations premières (relativement aux variables nouvelles). Je dis que les deux systèmes ainsi obtenus (dans lesquels il est inutile de comprendre l'équation transformée elle-même) sont en corrélation multipUcatoire (le passage de l'un à l'autre s'effectuant à l'aide de multiplicateurs constants).

Supposons, pour fixer les idées, qu'il j ait trois variables indépendantes, et que les anciennes, x^ y, -s, soient liées aux nouvelles, x'^ y' ^ z\ par les relations

(•22) j y= ^2^+ Psr + T^^'

Soit, d'autre part,

la relation différentielle proposée entre les inconnues «, .... Soit, enfin,

^"^^^ ôx(f dv'' dzi' ~ 2j

dxé' dy'^ dz'' ~ 2u ^'''^'''■' dx'P' ôy''i' dz''

la formule qui exprime la dérivée ancienne -t , . , . à l'aide des dé-

rivées nouvelles du même ordre : dans le second membre de cette formule, la sommation doit être étendue à toutes les valeurs des entiers /?', q\ ;-' pour lesquelles on a

et Kp'^q'^r' désigne une fonction entière et homogène, de degré g -\- h -\- A", des coefficients de la transformation.

Effectuons d'abord sur l'équation proposée (28) les différentia-

SYSTÈMES PLIS GÉNÉRAUX : PKOPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. Sig

lions premières relatives à x^ y, z^ puis sur les trois équations résultantes la transformation (22). En posant, pour abréger,

^ff+h-^k II

UffJi,h,

dxs dyi^ dzi^ ^

vient, par les difFérentiations,

t^F d^ du d¥ à^ff+^^+h+fcu

dx du dx dugji^k dxéf-^^ dy'^ dz

^ dF dF du ^ dF ^^^(a+d+a,^ ^

■ '^ ' dy ^ dû d^^"'~^ dugj,^/, dxif dyi^-^^ dz^ "^ °'

dF dF du dF ds^h+[k+\) u ^

dz du dz ' " dug^h^ii dxS dy'^ dz^'-^^ • • - —

D autre part, la lormule qui exprime la dérivée ancienne , , . , ,

à l'aide des dérivées nouvelles du même ordre peut s'écrire

c^iff-hD-i-h-hk n dUff^h.k àugji^k- àugjij, àug^h,k

= «1 —7-7 H «2 — 3-^ ^ «3 — -ri— ->

ôxs-^'^ dyi^ dzi^ dx dx' dy'

ou, si l'on a égard à la formule (24),

dxff^^ dyf^ dz''^ ~ Zd ' '''''^''''' y^ dx'i>'-^^ dy'9' dz'''' "^ ^^ dx'p' dy'v'^^ dz''^

dp'-hq'-i-ir'-hl) Il \

"^ ^^ dx'p' dy'9' dz''-'-^^) ' et l'on aura, par un calcul semblable,

dxFôyà^T^ — 2L /^''•S''''"' [J'^ dx'P'-^^ dy'i' dz'»"' ~^ ^^ dx' p' dy'^'^^ dz'f'

■^ ^^ dx'Pdy'i'dz''-'^'^) '

(ig->t-hMk-{-\) Il -^-^ / d^P'-^^''-^^'^''' U ^p'-^Ui +\)-\-r'

',7','-' Ti

dx(f ôyi' dz'^^^ ^ ' ' ' ' \ ' dx'P'^^ dy'<l' dz'f' ' ' dx' p' dy''l'^^ dz''''

dx'p' dy'l' dz'

les sommations des seconds membres étant étendues aux mêmes valeurs de/?', q' , /'que précédemment. Celaétant, la transformation (2 2),

appliquée aux formules (26), donnera

ÔF ( du du du\

(^F ^ ^ ( d^p'-^'^^-^i'+i'' u du^^h,k^ '' ''' ''' \' dx'p'-^^ dy'i' dz'r

^ dx'P' dy'v'-^^ âz'r'

dF ^ dy-^

dF /„ du ^ du „ du\ duK^^dx'-^^^ôy'^^^dz')^'"

^p'-hq'-hir'+l) Il

■^ ^' dx'P' dy'9' dz'r'+i

àF ^ ^ ( ^ d^p'^^^-^i'-^r' ^ du^,n,/c 2d '^"'^"'^'" Y' dx'p'^^ dyV dz'r'

^ dl>'-^^9'-^^)+r' n ~^ ' ^ dx'P' dy'l'^^ ôz'f

dF [ du du du \

dP'-^l'-^^r'+\) Il

dl-^

^' dx'P' dyi' dz'r'+\

()F ^ ^ f dip'+i)-i-q'-hf a

du^.,n,icZL^ ''^''''" V' dx'p'-^^ dy'i' dz'r'

()p'-^{q'-hl)-hr' Il

^''' dx'p' dy'1'-^^ dz'r'

~^ '^ dx'P' dy'i' dz'r'^'^

formules dans lesquelles^, jk, z^ Ug^h.k^ ... doivent être remplacés par leurs valeurs provenant de la transformation.

Opérons maintenant dans l'ordre inverse, c'est-à-dire etï'ectuons sur l'équation proposée (28) la transformation (22), puis sur l'équation transformée les différenliations premières relatives à x' ^ y' ^ z' . Il vient ainsi

j dF dx dF dy dF dz dF du dx dx' dy dx' ' dz dx' du Ox'

dF -^^ , d^P'-^^^^'l'^f" Il

dF dx

/ Ox dy

dF dx dx dz'

dF dy ^ dF dz dy dy' ' dz dy'

dx'p'^^ dy'v' dz''

dF du du dy dP'+W-^^'>-^r' Il

dx' P' dy'i'-^^ dz''

dF dz dz dz'

dF dy dy dz'

^F yA,

/,,/, ^ '' ''' '' dx'P' dy'l' dz''"-^^

dF du du dz dP'-^<l^^r'-^\)ll

formules dans lesquelles x^y^ z^ ^^s.h.k-, • - • doivent encore être remplacés par leurs valeurs provenant de la transformation.

Cela étant, il suffît, pour obtenir la première formule (2^), de multiplier les équations (26) respectivement par les constantes ^,, ^>

àz ôx'

dx' dx'

et d'ajouter membre à membre en tenant compte des relations

àx

dy dx'

dz dx''

dx dx'

dy dx'

dx 'dx'

dz dF

Un calcul semblable ferait retomber sur la deuxième formule (2^), ,puis sur la troisième.

Inversement, il suffît, pour obtenir la première formule (26), de multiplier les équations (27) respectivement par a, , a^, as, et d'ajouter membre à membre en tenant compte des relations

+ ar

ày

dy'

dz'

[On obtiendra semblablement la deuxième et la troisième formule (26).

(') Il suffit, pour obtenir ces relations, de considérer, dans les formules (22), ^x, y, z comme fonctions de x'^ y', z', et de difl'érentier par rapport à x'. (-) Comme on a, en vertu de (22),

où A désigne le déterminant

Tî

fii

II. La proposition formulée au début du présent numéro loi est vraie pour m = o.

C'est ce qui a été démontré au n" loO.

III. Si la proposition formulée au début du présent n° 151 est vraie pour une valeur de m, elle l 'est pour lavaleur suivante m-\-i.

Considérons successivement les cinq suites d'opérations définies ci-après :

Première suite. — Effectuer sur S toutes les différentiations des ordres o, i , 2, . . ., m, /?2 + i , puis sur le système résultant un changement de variables linéaire et homogène.

Deuxième suite. — Effectuer sur S toutes les différentiations des ordres o, i, 2, . . ., m, sur le système résultant toutes les différentiations des ordres o, i, et sur le système obtenu en dernier lieu le changement de variables.

Troisième suite. — Effectuer sur S toutes les différentiations des ordres o, i, 2, . . ., m, sur le système résultant le changement de variables, et sur le système obtenu en dernier lieu toutes les différentiations des ordres o, i .

Quatrième suite. — Effectuer sur T le changement de variables, sur le système résultant toutes les différentiations des ordres o, i, 2, .. ., m, et sur le système obtenu en dernier lieu toutes les différentiations des ordres o, i .

Cinquième suite. — Effectuer sur T le changement de variables, et sur le système résultant toutes les différentiations des ordres o, i, 2, . . ., m, m 4- i .

les coefficients respectifs de ses éléments, on a aussi

ôx A,

Ox' ~ A '

dx A2 'dy' ~ 1'

dx A3

dz' ~ A

dy B, dx' ~ A '

ày __ B,

dy' A '

ày B3

dz' A

dz r,

dx' "' A '

dz r2

dy' ~ A '

dz Tj dz' ~ A

d'où l'on déduit les relations (28).

Des cinq systèmes différentiels respectivement obtenus par ces cinq suites d'opérations, le premier est visiblement identique au deuxième.

Si, au système

déduit de S par toutes les différentiations des ordres

on applique les conclusions de l'alinéa I, on voit que le deuxième de nos cinq systèmes est en corrélation multiplicatoire avec le troisième.

Considérons maintenant la troisième et la quatrième des cinq suites d'opérations décrites ci-dessus, et, pour les comparer entre elles, faisons d'abord abstraction, dans chacune, de la dernière partie, qui consiste à effectuer sur le système qu'on vient d'obtenir toutes les différentiations des ordres o, i. Il résulte alors de ce qui est admis pour la valeur m que les deux systèmes, Q, R, respectivement obtenus avant cette dernière partie de l'opération, sont en corrélation multiplicatoire, puis, du n'' 143, que les deux systèmes respectivement déduits de Q et R par toutes les différentiations des ordres o, i jouissent de la même propriété.

Enfin, le quatrième de nos cinq systèmes différentiels est visiblement identique au cinquième.

De ces comparaisons, faites de proche en proche, il résulte, en définitive, que le premier et le cinquième système sont en corrélation multiplicatoire : c'est ce qu'il s'agissait de prouver.

IV. Le simple rapprochement des alinéas 11 et 111 suffit à établir l'exactitude de notre énoncé.

152. Supposons actuellement que, dans deux systèmes différentiels, S et T, on ait attribué aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à i, et aux fonctions inconnues des cotes respectives quelconques ; désignons alors par 8 la cote minima des relations figurant dans les deux systèmes, par A leur cote maxima, et par G un entier algébrique quelconque (au moins égal à 8); reportons-nous enfin aux conventions des n"' 141 et 149.

3a4 CHAPITRE IX.

Cela étant, pour que les systèmes

[[(CiS]], '^'[[T]]

soient en corrélation multiplicatoire quel que soit C, il suffit que cela ait lieu pour

Désignons, en effet, par \ la différence (positive ou nulle) A — o, par

les ensembles de relations respectivement déduits de

à l'aide de toutes les différentiations possibles de l'ordre ai, et par k un entier positif quelconque; puis, donnant à G la valeur o H- ). 4- A*, considérons le Tableau

! \ [[^6.).]], [[4.),]], •■■, [[4'lx]]-

Pour former, à l'aide du Tableau ci-dessus, les systèmes

il suffît d'en extraire les portions respectives obtenues en prenant sur sa gauche les

I, 2, ..., À-hl, Xh-2, ..., XH-/fH-I

premières colonnes verticales. On voit en outre que, pour obtenir r|-(6+X+Ar)5]1 il suffit d'effectuer sur (S+>)S toutes les différentiations des ordres o, i, 2, ..., /r (relatives aux anciennes variables), puis sur le système résultant le changement de variables linéaire et homogène.

Les systèmes se formeronl de la même manière à l'aide du Tableau

I [Ml [[n]]\ •... [Mf\ [[n]f^'\ ..., [Mf^'\

On voit en outre que, pour obtenir "^'"^ ([T]], il suffît d'effectuer sur ''^"^T[T]] toutes les différentiations des ordres o, i, 2, ..., k (relatives aux nouvelles variables).

Gela étant, puisque les systèmes

sont, par hypothèse, en corrélation multiplicatoire, les systèmes qui s'en déduisent respectivement par toutes les différentiations des ordres o, i, 2, ..., k sont eux-mêmes en corrélation multiplicatoire (n'' 143). Or, en effectuant ces différentiations sur * '^ 1 [T] l, on obtient, comme nous venons de le dire, *^^ ^ T [T] 1 '• le système 04-/.^ r[T] se trouve donc en corrélation multiplicatoire avec celui qu'on obtient en transformant d'abord ^^'''^^S, et effectuant ensuite sur le système transformé toutes les différentiations des ordres o, i, 2, . . ., A\ D'ailleurs, en vertu du n° 151, le système obtenu en dernier lieu est, à son tour, en corrélation multiplicatoire avec celui qui provient de l'interversion des deux opérations précédentes, c'est-à-dire avec celui qui provient : 1^ des différentiations des ordres o, i , 2, . . ., /c exécutées sur (S+X)^ . 3^ de la transformation exécutée sur le système résultant. Or, comme nous l'avons dit plus haut, on tombe, en opérant de celte dernière façon, sur [[^^+^"^^^8]]. Finalement donc, les systèmes

j-j-(5-f-X+A:;s]], (S+X+A)j-|-rp^-|

sont en corrélation multiplicatoire, ce qu'il s'agissait d'établir.

153. Les mêmes notations étant adoptées qu'au numéro précé dent, si l'on suppose que, pour

G = 8, 8 + 1, ..., A, les deux systèmes

(5g, Sg+i, . . ., 5c)

soie/it en corrélation multiplicatoire , la même chose ne peut manquer d^ avoir lieu, quel que soit G, pour les deux systèmes

[[l'^lS]], «[[T]].

Il suffît, en vertu du numéro précédent, de vérifier l'exactitude de notre proposition pour

Pour G = 8, elle résulte immédiatement de l'hypothèse, combinée avec la proposition du n" 150, puisque les systèmes [^^^S] , '' [T] se déduisent respectivement des Tableaux (29) et(3o) en prenant sur leur gauche la première colonne.

Pour G = 5 -h- I, on remarquera, d'une part, qu'en vertu de notre hypothèse, combinée avec la proposition du n" 151, les deux systèmes

([[^8]]' [[4]]) et ([[ti]l [[tz]])

sont en corrélation multiplicatoire ; d'autre part, qu'en vertu de notre hypothèse, combinée avec la proposition du n" 150, les deux systèmes

([[^6]], [[^0+1]]) et ([[^g]], [[^g-.,]])

jouissent de la même propriété. Les deux systèmes T [^^"""'^S] 1, * ^ KT] 1, respectivement déduits des Tableaux (29) et(3o) en prenant sur leur gauche les deux premières colonnes, ont donc entre eux la corrélation voulue.

Pour G = S -h 2, on observera de même que les trois systèmes

sont respectivement en corrélation multiplicatoire avec les trois systèmes

([[^sl], [[^s-^i]], [[^s]J, [[^s^ilj),

Les deux systèmes

respectivement déduits des Tableaux (29) et (3o) en prenant sur- leur gauche les trois premières colonnes, ont donc entre eux la corrélation voulue.

Pour G ^ ô H- 3, on observera que les quatre systèmes

([[^ô]], [[4]], mi [[41]).

([[sà]], [[.ô^,]], [[4]], [[4..]], [[4]], [[4.,]]),

{[[Si]], [[.s+,]]. [[S!^,]\, [[4]], [[4+,]]. [[4«]])> ([[S5]], [[.8+,]], [[^5+2]], [[«0+,]])

sont respectivement en corrélation multiplicatoire avec les quatre systèmes

([Ml [[^e]]', [Uo]]\ [[^ôlT"),

{[Ml [[^6+1]], [[^0]]', [Uo-m]]', [Ml, [[^S-m]J> ([[^6]], [[^B+i]], [[^0-^2]], [[tè]\\ [[^ô^i]]', [[^8+2]]'),

Et ainsi de suite jusques et y compris G = 3 + A = A.

Réduction au grade 1.

loi-. Etant donné un système diflerentiel résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, nous nommerons grade du système l'ordre maximum de ses premiers membres : il va sans dire que le grade peut être, soit inférieur, soit égal à l'ordre du système. Quand le grade est égal à i , on peut, comme nous Tavons vu au n" 90, disposer les équations du système

dans les cases d'un quadrillage rectangulaire dont les lignes correspondent aux variables indépendantes et les colonnes aux fonctions inconnues.

Nous allons, dansée qui suit, indiquer une méthode pour réduire au grade i certains systèmes différentiels.

155. De la proposition relative aux coupures, qui se trouve formulée au n° 86, résulte la suivante, relative à la forme des conditions initiales dans un système difî'érentiel.

Soit S un système difféientiel résolu par rapport à divers&s dérivées des fonctions inconnues qui s^y trouvent engagées, et tel qu^aucun des premiers membres n'y soit une dérivée de quelque autre : dans ce système, répari issons par la pensée les conditions initiales en groupes, suivant qu'elles se rapportent à telle ou telle inconnue. Cela posé, l'application d'un procédé tout élémentaire permet de mettre les conditions initiales sous une forme telle que les diverses circonstances suivante.^ s'y tjouvent réalisées :

Si l'on partage le groupe relatif à une inconnue quelconque, u par exemple, en sous-groupes successifs d'après les ordres croissants des premiers membres, ces ordres forment une progression arithmétique de raison i commençant par o.

Si l'on considère l'un des sous-groupes ainsi formés, qu'on exécute su/ l'un quelconque de ses premiers membres les diverses différentiations premières n'intéressant aucune des variables dont dépend {schématiquement) le second membre correspondant, et qu'on répète l'opération sur tous les premiers membres du sousgroupe, l'ensemble des résultats ainsi obtenus ne contient d'autres dérivées paramétriques que les premiers membres du sous-groupe suivant, et il les contient tous. (En particulier, les diflérentiations ainsi exécutées sur le dernier sous-groupe ne fournissent que des dérivées principales.)

Enfin, si, considérant l'ensemble de toutes les conditions initiales, on effectue sur le premier membre de chacune les différentiations indiquées, on retrouve parmi les résultats tous les premiers membres du système S.

Effectivement, le groupe de conditions initiales relatif à u s'obtient,

comme il a été dit plus haut (n" 90), en pratiquant une certaine coupure dans une fonction schématique des variables indépendantes x^ y. ... ; d'ailleurs, pour avoir les divers monômes de l'ensemble à l'aide duquel on doit effectuer la coupure, il suffît de prendre, parmi les premiers membres de S, ceux qui sont des dérivées de l'inconnue w, et d'en déduire respectivement, par la considération des ordres partiels de dérivation, certains monômes entiers par rapport aux différences x — Xq^ y — y^^ .... Or, puisque, en vertu de notre hypothèse, aucun des premiers membres du système S n'est une dérivée de quelque autre, l'ensemble ainsi obtenu est irréductible. Cela étant, la proposition à démontrer est une conséquence immédiate de celle qui se trouve formulée au n° 86. Il importe de faire l'observation suivante :

Si, attribuant à chacune fies variables indépendantes du système S urie cote [unique) égale à \ , et à chacune de ses fonctions inconnues une cote {unique) quelconque, on désigne par T la cote maxima des premiers membres des conditions initiales [mises sous la forme que nous venons d'indiquer)^ la cote maxima des premiers membres de S ne peut, en vertu de la dernière partie de notre énoncé, surpasser F-i- i.

156. Soit S un système différentiel rem])lissant les diverses conditions A, B^ C^ formulées ci-après :

A. Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, aucun des premiers membres n'y est une dérivée de quelque autre, et les seconds membres y sont indépendants de toute dérivée principale.

B. En attribuant, dans le système S, à chacune des variables indépendantes une cote égale à i, et à chacune des fonctions inconnues une cote convenablement choisie, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités (inconnues ou dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant (n° 102).

Mettons alors [es conditions initiales du système S sous une forme telle que les circonstances énumérées au numéro précédent se trouvent réalisées; puis, désignons par S et A les cotes respectivement

33o CHAPITRE IX.

minima et maxima des premiers membres de S, par F la cote maxima des premiers membres des conditions initiales : on a forcément, en vertu d'une observation faite (n" 155), A£r + i . Cela étant, on peut, des groupes

Sg, Ss+i, ..., Sr+1

(n° 144) du système S prolongé (n" 99), extraire res])ectivement des groupes,

possédant la double propriété de se composer d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dérivées principales de cotes