I. Formation du système S

Le système S, qu'il s'agit de former, étant de grade i , nous en écrirons, conformément aux indications ci-après, les diverses équations dans les cases d'un quadrillage rectangulaire, en ne nous occupant tout d'abord que des premiers membres.

Les conditions initiales du système S ayant été mises sous la forme que nous avons indiquée plus haut (n" 155), désignons par .r, y, ... les variables indépendantes, par u l'une des inconnues engagées dans S,

par ^ o — l'un des premiers membres qui figurent dans le groupe

de conditions relatifs à w, et par Fa,p,... le second membre correspondant. Cela étant, nous prendrons, dans S, pour l'une de nos

inconnues, la quantité ^ » — ? que nous désignerons par «a,p,... 5

puis, en supposant, pour lîxer les idées, qu'il y ait cinq variables indépendantes, ^, y, z^ s, t, et que la fonction schématique Fa^p^... dépende de 5, t^ nous écrirons, dans les cases (.r), (y), (z) de la colonne (wa,p,...), les premiers membres

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et nous laisserons vides les cases (s) et (t) de cette même colonne; au cas où Fa,p,... se réduirait à une simple constante schématique, les cases de la colonne considérée seraient ainsi toutes pleines. Ce que nous venons de faire pour l'une des conditions initiales faisant partie du groupe relatif à «, nous le ferons pour toutes les autres du même groupe; et ce que nous aurons fait pour l'inconnue m, nous le ferons successivement pour toutes. Nous aurons ainsi un quadrillage rectangulaire où les cases pleines et les cases vides présentent exactement la même disposition relative qu'offrent, dans le damier correspondant aux conditions initiales du système S (n" 90), les cases noires et les

cases blanches ; dès lors, quelques seconds membres que nous écrivions ultérieurement dans les cases pleines, on voit dès maintenant que si l'on forme successivement, dans l'ancien système, puis dans le nouveau, un ensemble composé des inconnues et de leurs dérivées paramétriques, les deux ensembles ainsi obtenus se correspondront terme à terme, et que le second se déduira du premier par de simples changements de notations; de même, et toujours aux notations près, V économie des conditions initiales sera identique dans les deux systèmes. Quant aux dérivées principales du nouveau système, elles coïncideront, aux notations près, les unes avec des dérivées principales, les autres avec des dérivées paramétriques de l'ancien.

11 va sans dire que nous conservons aux variables indépendantes et aux anciennes inconnues les cotes respectives qu'elles avaient dans le système S, et que nous attribuons aux inconnues adjointes des cotes respectivement égales à celles des dérivées anciennes qu'elles admettent pour homonymes.

Occupons-nous maintenant des seconds membres du système S.

A cet effet, nous désignerons par

les groupes obtenus par la résolution successive de (i), et qui

possèdent, eux aussi, la propriété de contenir les groupes (2) (n° 14-7).

Gela étant, considérons, pour fixer les idées, l'équation qui, dans S,

a pour premier membre — ^rim. a la notation près, ce premier

membre coïncide avec une dérivée ancienne,

da^a-hi d^p.

dont la cote ne surpasse pas F -[- i , et qui, en vertu même de la forme donnée aux conditions initiales, est nécessairement identique, soit au premier membre de quelque condition initiale de S, soit à quelque dérivée principale de S. Dans le premier cas, elle coïncide, à la notation près, avec quelque inconnue adjointe de S, et nous

égalerons alors — ^. à cette inconnue adjointe. Dans le second cas,

elle admet, en vertu des relations (3), une certaine expression, à la fois indépendante, et de toute dérivée principale (de S) quelle qu'elle soit, et de toute dérivée paramétrique ou fonction inconnue (de S)

dont la cote surpasserait la sienne propre; en outre, dans le cas particulier où la dérivée (4) coïncide avec un premier membre de S, l'expression dont il s'agit coïncide avec le second membre correspondant : cela étant, dans l'expression considérée de la dérivée principale (4), nous remplacerons toutes les dérivées paramétriques de S par les dérivées paramétriques ou fonctions inconnues de 2 qui leur

correspondent respectivement, et nous égalerons — ,"^' " a 1 ex})ression ainsi modifiée.

Tel est le système de grade i , S, auquel fait allusion notre énoncé : on voit, par tout ce qui précède, que V économie des conditions initiales y est la même, aux notations près, que dans le système S, que les seconds membres y sont indépendants de toute dérivée principale {de S)^ et que la cote de chaque second membre y est au plus égale à celle du premier membre correspondant.