II. Toute équation de S figure dans S, aux notations près

Il résulte, en effet, de la forme donnée aux conditions initiales de S que chaque premier membre de S peut se déduire de l'une d'entre elles à l'aide d'une dérivation première effectuée sur le premier membre de celle-ci, et n'intéressant aucune des variables dont dépend la fonction schématique (dégénérée ou non) qui ligure dans le second membre de la condition initiale considérée. Si donc on se reporte au mode de formation de 2, on voit que tout premier membre de S coïncide, à la notation près, avec un premier membre de S, et, par suite, en vertu d'une remarque faite (I), que toute équation de S figure, aux notations près, dans S.

III. Si Von considère V une quelconque des inconnues adjointes de S, il existe, dans le système S, une relation oit V inconnue dont il s'agit se trouve égalée à une quantité homonyme, dérivée première de quelque inconnue ancienne ou adjointe.

Effectivement, les inconnues, tant anciennes que nouvelles, de S, ont pour homonymes respectifs les premiers membres des conditions initiales de S. Dès lors, à cause de la forme donnée à ces conditions initiales, toute inconnue nouvelle de S peut, à la notation près, se déduire de quelque autre inconnue, ancienne ou nouvelle, de 2, à l'aide d'une dérivation première n'intéressant aucune des variables

dont dépend la fonction schématique qui, dans les conditions initiales, correspond à cette dernière inconnue. Gela étant, il suffit, pour s'assurer de l'exactitude du point que nous avons en vue, de se reporter au mode de formation de }C.

IV. Dans le système 2, partageons les équations en deux groupes, S', S", suivant que leur premier membre coïncide (soit exactement, soit à la notation près) avec une dérivée paramétrique ou avec une dérivée principale du système S : aux notations près, les équations de 2' sont des identités^ et celles de 2" comprennent toutes celles de S (II). D'autre part, désignons par H l'ensemble des relations obtenues en égalant chaque inconnue adjointe de I à la dérivée ancienne qu'elle admet pour homonyme : aux notations près, les équations H sont encore des identités. Cela posé, les systèmes S^, H^ (n" 144) sont, comme je vais l'établir, en corrélation multiplicatoire (les multiplicateurs étant tous égaux, soit à zéro, soit à l'unité, au signe près).

En premier lieu, toute équation de 2^ ^st une combinaison multiplicatoire de Hc : car, chaque équation de 2' ayant pour premier et pour second membre deux quantités homonymes (nécessairement de même cote), une équation quelconque de 2^ a pour premier et pour second membre deux quantités homonymes de cote C; dès lors, ou bien le système H(; contient l'équation considérée de 2^;, ou bien il contient deux équations égalant respectivement les deux quantités homonymes dont il s'agit à la quantité ancienne qu'elles ont pour homonyme commun, auquel cas une combinaison très simple des deux équations de H^ fait retomber sur l'équation considérée de 2c.

Réciproquement, toute équation de Yi^^ est une combinaison multiplicatoire de 2'^. Considérons, en efîet, une relation de H^ ; dans cette relation, dont la cote est C, figure une dérivée, d'ordre positif ou nul, de quelque inconnue nouvelle. En vertu de l'alinéa III, il existe, dans le groupe 2', une relation égalant l'inconnue dont il s'agit à une quantité homonyme, dérivée première de quelque inconnue ancienne ou nouvelle. Si cette deuxième inconnue est elle-même nouvelle, il existe encore, dans le groupe 2', une relation l'égalant à quelque quantité homonyme, dérivée première d'une troisième inconnue. En continuant de cette manière, on finira par tomber sur une inconnue nouvelle qui, en vertu d'une relation de 2', se trouvera égalée à

quelque quantité homonyme, dérivée première d'une inconnue ancienne. Il est clair que les relations successivement considérées de I' ont des cotes qui décroissent progressivement d'une unité. Gela étant, il est très facile de voir que si, dans le groupe formé par ces relations et par celles c[ui s'en déduisent à l'aide de différentiations d'ordres quelconques, on considère celles de cote G, leur ensemble, qui fait partie de S^, régénère, moyennant une combinaison très simple, l'équation considérée d€ H(;.

V. En attribuant à la notation H le même sens^que dans l'alinéa IV, les deux systèmes

(C)v^ ((C)H, (OS)

(n" 144) sont en corrélation multiplicatoire.

Nommons W ie système déduit de S'' par la substitution aux nouvelles inconnues et à leurs dérivées de leurs synonymes anciens, et considérons les quatre systèmes successifs

(C)S ou ((CiS', (€12"),