C)H, .OS"), ((C)H, (C)W), ((C)H, (OS

11 résulte, en premier lieu, de l'alinéa IV que le premier et le second de ces systèmes sont en corrélation multiplicatoire.

Il résulte, en second lieu, de la définition de W que *^'W se déduit de *^'2" par la substitution aux nouvelles inconnues et à leurs dérivées de leurs synonymes anciens : en conséquence (n" 147, I), si l'on considère dans *^'S" et ^^'W deux équations correspondantes, l'une quelconque est une combinaison multiplicatoire de l'autre et du système *^'H. Le second et le troisième de nos quatre systèmes sont donc évidemment en corrélation multiplicatoire.

Enfin, puisque, aux notations près, 2" est extrait de (3) et contient toutes les équations de S (II), il est clair que, après le retour aux anciennes notations, W jouit des deux mêmes propriétés, et que, dès lors (n" 147), les systèmes *^'W, '^'S sont en corrélation multiplicatoire; il en est donc de même de nos troisième et quatrième systèmes.

On voit ainsi, de proclie en proche, que le premier système et le dernier sont en corrélation multiplicatoire.

157. Dans le cas où le système différentiel proposé S est ortho nome (n" lOi), sans qu^ aucun des premiers membres soit une dérivée de quelque autre, les deux conditions A el B du n° 156 se trouvent satisfaites, et il suffit, pour que les groupes (i),

foi ^ô-+-i, ■ • • , ^r+ii

respectivement extraits de

satisfassent à la condition C, de supposer qu'ils sont formés d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dérivées principales

de cotes

et qu'ils ont pour premiers membres les dérivées dont il s'agit; car, en vertu de nos hypothèses actuelles : i*^ les groupes ainsi formés comprennent nécessairement les groupes (2),

du système S; 2" le déterminant spécifié dans l'hypothèse C est identiquement égal à I, et la condition qui lui est imposée d'être différent de zéro se trouve satisfaite d'elle-même pour toutes valeurs numériques des quantités figurant dans les seconds membres de S.

Gela posé, si Con considère un système orthonome, S, tel qu^ aucun des premiers membres n^y soit une dérivée de quelque autre, le système de grade i, S, qu^on en déduit à l'aide du mécanisme décrit au numéro précédent, est lui-même, comme nous allons le voir, nécessairement orthonome.

Tout d'abord, les groupes (1), qui comprennent les groupes (2), se composent exclusivement en pareil fcas de relations normales (n° 107), et la même chose a lieu pour les groupes (3),

obtenus en effectuant la résolution successive des groupes (i) par rapport aux dérivées principales de cotes premières

Cela étant, si l'on applique le mécanisme décrit à l'alinéa I du

SYSTÈMES PLUS GÉNÉHAUX : PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. 33j

numéro précédent, le système de grade i, 2, ainsi obtenu, peut, comme nous l'avons dit, se partager en deux groupes, S', S'^, suivant que ses équations ont pour premiers membres (soit exactement, soit aux notations près) des dérivées paramétriques ou des dérivées principales des inconnues de S : aux notations près, les équations 2' sont des identités, et les relations 2'', extraites de (3), sont des relations normales.

Conservons alors à chacune des variables indépendantes et des anciennes inconnues les p cotes successives qu'elle avait dans le système orthonome S, et attribuons à chaque inconnue adjointe p cotes successives respectivement égales à celles de la dérivée ancienne qu'elle admet pour homonyme : il est clair qu'avec un pareil choix, toutes les équations S' sont normales; mais cela ne suffît pas pour les équations S', car, chacune d'elles étant, aux notations près, une identité, les p cotes successives de ses deux membres sont égales chacune à chacune, et l'adjonction de cotes supplémentaires convenablement choisies devient indispensable. Pour en opérer le choix, on observera que les premiers membres de S' sont de premier ordre et ses seconds membres d'ordre zéro ; il suffira, en conséquence, d'attribuer à toutes les inconnues de 2 une cote (/? -h i)''^'»^ égale à zéro, et à toutes les variables indépendantes une cote (p -\- i)'^'"^ égale à \.

Réduction au premier ordre.

lo8. De la proposition relative aux coupures qui se trouve formulée au n" 88, résulte la suivante, relative à la forme des conditions initiales dans un système différentiel.

Soit S un système différentiel résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s^y trouvent engagées, et tel qu'aucun des premiers membres n'y soit une dérivée de quelque autre. Les conditions initiales de ce système ayant été mises sous la forme que nous avons spécifiée au n° \oo^ attribuons à chacune des variables indépendantes une cote {unique) égale à i, à chacune des fonctions inconnues une cote {unique) quelconque, et désignons par T la cote maxima des premiers membres des conditions initiales.

Cela posé, on peut, de cette première forme des conditions initiales, en déduire une deuxième, oii les diverses circonstances suivantes se trouvent réalisées :

i" La cote maxima des premiers membres y est, comme dans la première forme, égale à Y, et toute condition initiale dont le premier membre est de cote inférieure àY a pour second membre une constante schématique.

2" Si, sur chaque premier membre des conditions initiales {nouvelles)^ on exécute successivement les difj'érentiations premières ri intéressant aucune des variables dont dépend la fonction schématique {dégénérée ou non) qui figure dans le second membre correspondant, on obtient, entre autres résultats, d' une part, les divers premiers membres qui, dans les conditions initiales [nouvelles)^ sont d^ ordre supérieur à zéro, dUiutre part, les divers premiers membres de S.

]. Si, dans un système dift'érenliel résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues u, r, . . . qui s'y trouvent engagées, on se propose de fixer l'économie des conditions initiales, chacun des groupes de conditions qui doivent respectivement correspondre aux diverses inconnues du système se déduit fort simplement, comme on sait (n°90), d'une somme schématique irréductible représentant le résidu d'une coupure; et les divers monômes de l'ensemble à l'aide duquel on effectue la coupure se déduisent mécaniquement, s'il s'agit, par exemple, de l'inconnue «, des diverses dérivées de u qui figurent dans les premiers membres de S : nous nommerons E„, E(,, ... les ensembles qui correspondent ainsi respectivement aux inconnues «, V', ....

Cela étant, pour que les conditions initiales obtenues possèdent, relativement à une inconnue quelconque, u par exemple^ la propriété spécifiée dans la dernière partie (2°) de notre énoncé général, il faut et il suffit que la somme schématique correspondante fouisse elle-même de la propriété ci-après :

Si C on considère les divers produits obtenus en multipliant V un quelconque des facteurs monômes de cette somme schématique par U une quelconque des différences étrangères au facteur schématique (dégénéré ou non) qui lui correspond, on y retrouve.

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. SSq

entre autres résultats, d' une part, les divers facteurs monômes qui, dans la somme schématique, ont un degré supérieur à zéro, d'autre part, les divers monômes de l^ ensemble E„.

II. Revenant à notre énoncé général, nous désignerons par E„, E„, ... les ensembles à l'aide desquels ont été obtenues les sommes schématiques qui, dans la première forme des conditions initiales, correspondent aux inconnues respectives «, r, . . . (les ensembles E^^, E(,, ... sont, ici, irréductibles, puisque aucun des premiers membres du système S n'est une dérivée de quelque autre). Dans chacune de ces sommes, nous évaluerons le degré maximum des facteurs monômes, et nous désignerons ce degré maximum par N„, Ni-, . . ., suivant qu'il s'agit de l'une ou de l'autre des inconnues u, p, .... Si nous désignons en outre par c«, c^., ... les cotes respectives de ces inconnues, il résulte de la définition même de V que l'une au moins des sommes N„ H- c„, Nv. + C(,, ... est égale à F, et qu'aucune d'elles ne surpasser; en d'autres termes, on a

i^ii -r- c ,^ — 1 , .y^, — •— c t» — i , • • • 5

Tune au moins de ces relations ayant lieu avec le signe d'égalité.

Gela étant, puisque l'ancienne forme des conditions initiales possède, par hypothèse, les diverses propriétés spécifiées au n° 155, l'ancienne somme schématique correspondant à une inconnue quelconque, u par exemple, possède, entre autres, la suivante (1) ^

Si l'on considère les divers produits obtenus en multipliant l'un quelconque des facteurs monômes de la somme schématique par l' une quelconque des diJJ'érences étrangères au facteur schématique {dégénéré ou non) qui lui correspond, on y retrouve, entre autres résultats : d' une part, les divers facteurs monômes qui, dans la somme schématique, ont un degré supérieur à zéro; d'autre part, les divers monômes dont se compose V ensemble irréductible E„.

Si cette somme ne contient que des facteurs schématiques dégénérés, nous la laisserons telle qu'elle est, et, par suite aussi, le groupe de conditions initiales relatif à u : la nouvelle forme de ces conditions initiales étant identique à l'ancienne, la cote maxima des premiers membres y restera égale à N„ + c„, la dernière partie (2") de notre

énoncé ne cessera pas d'j être satisfaite en ce qui concerne l'inconnue u^ et enfin, tous les seconds membres s'y réduisant à des constantes schématiques, il en sera ainsi, notamment, de ceux d'entre eux qui correspondent à des premiers membres de cote inférieure à F.

Si la somme schématique correspondant à u contient quelque facteur schématique non dégénéré, nous la mettrons sous la forme nouvelle spécifiée aux n"* 87 et 88, en prenant pour P la valeur F — c„, au moins égale à N„ : dans le groupe correspondant des nouvelles conditions initiales, l'ordre maximum des premiers membres sera alors F — c„, et leur cote maxima (F — c„)-f-c„ ou F; à tous les premiers membres d'ordre inférieur à F — c„, c'est-à-dire de cote inférieure à F, correspondront, comme seconds membres, des constantes schématiques ; enfin, il résulte du n" 87 et de l'alinéa I que la dernière partie (2") de notre énoncé, vérifiée par hypothèse dans les anciennes conditions initiales, l'est aussi dans les nouvelles en ce qui concerne l'inconnue u.

Ce qui vient d'être dit pour l'inconnue u doit être répété pour toutes les autres.

Il nous reste, pour achever notre démonstration, à faire voir que, dans les nouvelles conditions initiales, la cote maxima des premiers membres est égale à F. Or, il résulte de ce qui précède que, dans le groupe partiel relatif à w, la cote maxima des premiers membres est égale à N„ H- c„ ou à F, suivant que les seconds membres du groupe se réduisent tous ou non à des constantes schématiques. Considérant alors l'ensemble des groupes, on voit que, si quelqu'un de leurs seconds membres est une fonction schématique non dégénérée, la cote maxima des premiers membres est F, et que, si tous leurs seconds membres sans exception se réduisent à des constantes schématiques, la cote maxima des premiers membres est le plus grand des entiers ]N« + c„, N(, H- c,., . . ., c'est-à-dire encore F.

159. Lorsqu'un système différentiel, S, remplit les trois conditions A ^ //, C formulées au n^ 156, on en peut déduire un système du premier ordre, S, jouissant, par rapport à S^ de propriétés remarquables que nous indiquons ci-après (I et V).