I. Formation du système S

(') Il va sans dire que la notation D n'a pas ici le même sens qu'au n° 156.

Les conditions initiales de S ayant été mises sous la forme spécifiée au n° loo, on en peut, par un mécanisme fort simple, déduire pour elles une forme nouvelle jouissant des propriétés spécifiées au numéro précédent. Nous supposerons désormais les conditions initiales de S écrites sous cette nouvelle foi^nie.

Le système S étant du premier ordre et résolu par rapport à certaines dérivées (premières) des inconnues, nous en écrirons les diverses équations dans les cases d'un quadrillage rectangulaire conformément aux indications ci-après, en ne nous occupant tout d'abord que des premiers membres.

Désignons par x^y^ ... les variables indépendantes, par u l'une

des inconnues engagées dans b, par o 1 un des premiers

membres qui figurent dans le groupe de conditions relatif à w, et par Fa,p,... le second membre correspondant. Cela étant, nous pren-

1 1 V. ni- 1 • . d^^'^^-U

drons dans 1, pour 1 une de nos inconnues, la quantité ^ „ >

que nous désignerons par Wa,p,...; puis, en supposant, pour fixer les idées, qu'il y ait cinq variables indépendantes, x, y, 5, 5, t, et que la fonction schématique Fa,p,.., dépende de 5, t, nous écrirons dans les cases (x)^ (y), (z) de la colonne (wa,p,...) les premiers membres

It

âx dy dz

et nous laisserons vides les cases {s) et [t) de cette même colonne; au cas où Fa,p,... se réduirait à une simple constante schématique, les cases de la colonne considérée seraient ainsi toutes pleines. Ce que nous venons de faire pour l'une des conditions initiales appartenant au groupe relatif à w, nous le ferons pour toutes les autres du même groupe ; et ce que nous aurons fait poui- l'inconnue w, nous le ferons successivement pour toutes. Nous aurons ainsi un quadrillage rectangulaire contenant des cases pleines et des cases vides; d'ailleurs, quelques seconds membres que nous écrivions ultérieurement dans les cases pleines, on voit, dès maintenant, que si l'on forme successivement, dans l'ancien système, puis dans le nouveau, un ensemble composé des inconnues et de leurs dérivées paramétriques, les deux ensembles ainsi obtenus se correspondront terme à terme, et que le second se déduira du premier par de simples changements de notations; de même, et toujours aux notations près, V économie des con-

ditions initiales sera identique dans les deux systèmes. Quant aux dérivées principales du nouveau système, elles coïncideront, aux notations près, les unes avec des dérivées principales, les autres avec des dérivées paramétriques de l'ancien.

11 va sans dire que nous conservons aux variables indépendantes et aux anciennes inconnues les cotes respectives qu^ elles avaient dans le système S, et que nous attribuons aux inconnues adjointes des cotes respectivement égales à celles des dérivées anciennes qu'elles admettent pour homonymes. Cela étant, il convient d'observer que les fonctions inconnues du système S dont la cote tombe au-dessous de F n'ont, dans le système S, aucune dérivée paramétrique, puisqu'elles se trouvent, dans les conditions initiales, égalées à de simples constantes schématiques, et que, par suite, toutes les cases de leurs colonnes sont pleines. En conséquence, toute dérivée paramétrique du système S possède une cote au moins égale à r + I , et toute dérivée paramétrique de cote F + i ne peut appartenir qu'à une fonction inconnue de cote F, par suite, est du premier ordre.

Occupons-nous maintenant des seconds membres du système S.

Reportons-nous, à cet effet, aux hypothèses y4, i5, C du n" 156, et considérant, d'une part, les groupes

qui s'y trouvent spécifiés, d'autre part, les groupes

dont se compose le système S, désignons par

les groupes obtenus par la résolution successive de (i), et qui possèdent, eux aussi, la propriété de contenir les groupes (2) (n*' 147). Cela étant, considérons, pour fixer les idées, l'équation qui, dans S,

a pour premier membre "''^'••- • A la notation près, ce premier

membre coïncide avec une dérivée ancienne,

dont la cote ne surpasse pas F -f- i , et qui peut être, relativement à S, ou paramétrique, ou principale.

1° Si la dérivée (4) est paramétrique par rapport à S, il existe, dans le nouveau système, une dérivée paramétrique ou fonction inconnue, et une seule, qui, à la notation près, coïncide avec elle : nous égalerons alors — ^^?^-- ^ cette quantité, et nous aurons une relation dont les deux membres auront la même cote que la dérivée (4 )• Si cette dernière est de cote inférieure ou égale à F, le second membre de notre relation sera une inconnue adjointe; si elle est decoteF'-l- i , le second membre sera une dérivée paramétrique première du système S.

2° Si la dérivée (4) est principale par rapport à S, elle admet, en vertu des équations (3), une certaine expression à la fois indépendante, et de toute dérivée principale (de S) quelle qu'elle soit, et de toute dérivée paramétrique ou fonction inconnue (de S) dont la cote surpasserait la sienne propre; en outre, dans le cas particulier où la dérivée (4) coïncide avec un premier membre de S, l'expression dont il s' agit coïncide avec le second membre correspondant. Cela étant, dans l'expression considérée de la dérivée principale (4), nous remplacerons toutes les dérivées paramétriques de S par les dérivées paramétriques ou fonctions inconnues de S qui leur correspondent

respectivement, et nous égalerons — ^, à l'expression ainsi modifiée. Or, il est facile de voir que, après cette modification d'écriture, l'expression est, ou d'ordre zéro, ou du premier ordre, suivant que la dérivée (4) a une cote inférieure ou égale à F H- i . Dans le premier cas, en effet, elle ne peut contenir (outre les variables indépendantes) que les inconnues anciennes et les expressions nouvelles de leurs dérivées paramétriques de cote inférieure ou égale à F, ou, en d'autres termes, que les inconnues anciennes et nouvelles. Dans le second cas, elle ne peut contenir que les inconnues anciennes et les expressions nouvelles de leurs dérivées paramétriques de cote inférieure ou égale à F -(- i , ou, en d'autres termes, que les inconnues anciennes et nouvelles avec des dérivées paramétriques premières. Dans l'un et l'autre cas d'ailleurs, s'il arrive que (4) coïncide avec un premier membre de S, l'équation considérée du système S coïncide, aux notations près, avec l'équation du système S qui a pour premier membre la dérivée (4).

Tel est le système du premier ordre, S, auquel fait allusion notre énoncé : on voit qu'il se trouve résolu par rapport à certaines dérivées {premières) des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, que V économie des conditions initiales y est la même, aux notations près, que dans le système S, et enfin que la cote de chaque second membre est au plus égale à celle du premier membre correspondant.