II. Toute équation de S figure dans S, aux notations près

Effectivement, les conditions initiales de S étant mises, comme nous l'avons dit, sous la forme spécifiée au n** lo8, les quantités qui y figurent comme premiers membres ont des cotes inférieures ou égales à r, et, d'autre part, chaque premier membre de S peut se déduire de l'une des quantités en question à l'aide d'une dérivation première, d'où résulte qu'il est de cote au plus égale à F + i . Cela posé, considérons d'abord dans S un premier membre de cote inférieure à F 4- i : la quantité dont il peut être considéré comme une dérivée première est alors de cote inférieure à F, et, comme les inconnues de S dont la cote tombe au-dessous de F n'ont dans S aucune dérivée paramétrique, on a été conduit, dans la formation de S, à écrire, comme premier membre, à la notation près, le premier membre considéré de S. Considérons, en second lieu, dans S, un premier membre de cote F -h I : ce premier membre peut alors être considéré comme une dérivée première d'une quantité décote F figurant dans les conditions initiales de S, et, comme cette dérivation première n'intéresse aucune des variables dont dépend la fonction schématique qui correspond à cette quantité, on a été conduit, cette fois encore, dans la formation de S, à écrire comme premier membre, à la notation près, le premier membre considéré de S.

Ainsi, tout premier membre de S figure, à la notation près, parmi les premiers membres de S; par suite, en vertu d'une remarque faite à l'alinéa 1, toute équation de S figure, aux notations près, dans S.

III. Si Ton considère l'une quelconque des inconnues adjointes de S, il existe dans le système S une relation oii V inconnue dont il s'agit se trouve égalée à une quantité homonyme, dérivée première de quelque inconnue ancienne ou adjointe.

Effectivement, les inconnues anciennes et nouvelles de S ont res-

pectivement pour homonymes les premiers membres des conditions initiales de S, et, dès lors, en vertu de la dernière partie (2") de l'énoncé du n" I08, toute inconnue nouvelle de S a pour homonyme une dérivée première de quelque autre inconnue ancienne ou nouvelle; comme d'ailleurs cette dernière inconnue a une cote nécessairement inférieure à celle de la première, par suite inférieure à F, elle n'admet dans le système I aucune dérivée paramétrique; on a donc été conduit, dans la formation de ce système, à égaler entre elles les deux quantités dont il s'agit.

IV. Si Ton désigne par H l'ensemble des relations obtenues en égalant chaque inconnue adjointe de S à la dérivée ancienne qu'elle admet pour homonyme ( ' ), et si l'on partage les équations S en deux groupes, S', 2'^, suivant que leur premier membre coïncide (soit exactement, soit à la notation près) avec une dérivée paramétrique ou avec une àéTwée principale du système S, les systèmes ^i^^, Hq sont en corrélation midtiplicatoire.

Voir l'alinéa IV du n" I06.

V. En attribuant à la notation H le même sens que dans l'alinéa IV,

les deux systèmes