C,2, ((OH, (C)S

sont en corrélation multiplicatoire.

Voir l'alinéa V du n'^ I06.

160. Pour avoir une idée des différences que peuvent présenter entre elles les deux réductions (au grade i et à l'ordre i respectivement) qui font l'objet des n°* 156 et 159, considérons le système fort simple constitué par l'équation aux dérivées partielles

Ox ày Oz

où u désigne une fonction inconnue des variables indépendantes x,

(') Le système S n'étant pas le même ici qu'au n° 156, l'ensemble des relations H n'y est pas non plus le même.

y^ z, et M une fonction connue dex,y, z, «, des dérivées premières et secondes de u, et de ses diverses dérivées troisièmes autres

^ dxdydz

En pratiquant dans une fonction schématique de ^,JK, z la coupure

on mettra d'abord le résidu sous la forme

¥ (y, z) -+- (x — xo) U(x, z) ^ (x — xo) (r — yo) ^(^, y),

où F, H, K désignent trois fonctions schématiques (n*^ 84, II); l'économie des conditions initiales (où se trouvent réalisées les diverses circonstances spécifiées au n" 155) sera alors

âx

â'-u dx dy

= u(7, ^) pour x = xç,,

= ^{x,z) pour r=JKo,

'^{x,y) pour z = z^,

et l'on voit qu'en attribuant à x^ y, 2, u les cotes respectives i , i , i , o, le système proposé satisfait aux conditions A^ B^ C du n'^ 156. Cela étant, la réduction au grade i donnera

"xy

du ,

du' „

du"., dz

il faut naturellement supposer que, dans le second membre. M, de la dernière colonne, on a introduit les changements de notations

voulus, c'est-à-clire qu'on y a remplacé

du d'il à- u â- a

dx ôx '^ àx ôy ôx ôz

ô^ u â^ Il â^ Il à'^ a ô'-^ ii

dr3 âx' dy dx- ôz dx dy- dx dz'^

respectivement j)ar

dii'j. „ dii'^

''-' ^^' ''-->'' -dT'

d' ii'j. du'jcy d-ii'j, du"j.y d-Uj. d.r- dx dx dz '^X ^ dz- ^ i

toutes les autres notations étant conservées.

Donnons maintenant au résidu de la coupure la forme

A +B(^— ^o)^-C(jK — jKo) + D(^ — iTo)

où A, B, C, D désignent des constantes schématiques, et L, N, R, P, S, K, des fonctions schématiques (n*' 88); l'économie des conditions initiales (où se trouvent réalisées les diverses circonstances spécifiées au n" lo8) sera alors

du f pour X — Xi) = y —yçt= z — Zq= o^ dy^^^

du ^

dx ~

dz-^ ^^^^^

dj u

d-^u dy dz

d^u Ox dz

= v(z) > pour X — •'/•o = JK — y»

— =w(y,z) pour x = Xo,

■^ =a(x,z) pour JK=jo,

^-^ = u>(x,j) pour z = Zo.

Cela étant, la réduction au premier ordre donnera

ôu'z ÔX

= u'xz

Ou dy ~

ày

= Uyz

OU y „

oy - ^y^

Ôu'x n

âz ~

ÔUz ôz

ôu'y „ ôz = "-

Ôu'x „

Uyz

''xy

^^'z^ Ôu'xz

ÔX ~ ÔZ

ôu'y-

ôu'xz du'r. ÔX ~ ÔZ

ÔUyl ÔX

Ôu'xy

ÔUL% ÔUyz

ôy ■" ôz

Ôli'yz ÔUyl

Ôy Oz

ôy

ôu',1

ôu'xy

Ôu'xy ÔZ

r^IVf

il faut naturellement supposer que dans le second membre, M, de trois de nos équations, on a introduit les changements de notations voulus, c'est-à-dire qu'on y a remplacé

ou ou ou

ÔX ôy ôz

Jôc^' ôy^' ôz^^ '

ôx^ ÔX- ôy ÔX- ôz OX ôy''

respectivement par

ÔX ôy ÔX ôz ôy ô.

ÔX Oz'^ ôy

ôy'^ OZ ' ôy oz'^ ' ôz^

Wj.S, Uyi, U.i, ^xyi Uxzi Uyzi

àu'-^.-, ÔUxy àu'r-, ôu'xy ^u'xz ^K^ ^K^ ^Uy^ ^^h-

ÔX

ÔZ

ôy

ôz

SYSTÈMES PLUS GÉNËllAUX : PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. 349

161. Considérons actuellement un système différentiel, S, où se trouvent vérifiées les hypothèses générales A, B ei C du n° 156, et désignons par S le système du premier ordre que l'on déduit de S à l'aide du mécanisme indiqué plus haut (n° lo9, 1) ; imaginons ensuite qu'on effectue sur le système S un changement linéaire et homogène des variables indépendantes, et, dans le système transformé, convenons, d'une part, d'attribuer aux nouvelles variables des cotes respectives toutes égales à i (comme nous l'avions fait dans S pour les anciennes), d'autre part, de conserver aux fonctions inconnues les cotes qu'elles avaient avant la transformation.

Cela posé, si, dans le système du premier ordre S, les valeurs initiales des variables , des inconnues et des dérivées paramétriques premières satisfont à certaines restrictions d^inégalité, on peut, par un changement linéaire et homogène des variables indépendantes, suivi d^ une résolution convenable (par rapport à certaines dérivées premières), le transformer en un autre, Ùj Jouissant des deux propriétés suivantes :

1° Les cotes [premières) des variables et des inconnues étant fixées, dans le système Cl, comme nous venons de V indiquer {voir les quelques lignes qui précèdent le présent énoncé), et des cotes secondes convenablement choisies leur étant adjointes au besoin, le système 0 satisfait à la définition de Vorthonomie.

2^ Le nombre des quantités paramétriques {inconnues et dérivées) de cote C est, quel que soit C, exactement le même dans Q que dans 2 (^ ).

I. Etant donné un système de grade i (n" 154), nous dirons que son Tableau, construit d'après les indications du n° 90, est régulier, si l'on peut adopter pour les lignes de ce Tableau, c'est-à-dire pour les variables du système, un ordre tel que les cases vides de chaque colonne se trouvent situées au bas de cette colonne. Il est clair que, lorsqu'on parcourt de bas en haut les lignes successives d'un pareil Tableau, le nombre des cases vides ne va jamais en augmentant; on peut d'ailleurs, l'ordre des lignes étant ainsi fixé, adopter en même temps pour les colonnes un ordre tel, qu'en parcourant de droite à

(') Four la commodité de notre énoncé, nous assimilons les inconnues du système X à des dérivées paramétriques (d'ordre zéro).

35o CHAPITRE IX.

gauche ces colonnes successives, le nombre des cases vides n'aille pas non plus en augmentant : nous supposerons, dans ce qui suit, cette double condition satisfaite.

Considérons actuellement un système régulier de grade i {ne contenant dans ses seconds membres aucune dérivée principale) : si, moyennant l'attribution aux diverses variables de cotes premières toutes égales à i, et aux diverses inconnues de cotes premières convenablement choisies, on peut faire en sorte que les cotes premières des inconnues et dérivées figurant dans chaque second membre ne surpassent pas celle du premier membre correspondaîit, le système dont il s'agit est nécessairement orthonome.

Il suffit, pour le prouver, d'établir qu'il est toujours possible de trouver pour les variables et les inconnues des cotes secondes telles, que la cote seconde minima des dérivées (principales) figurant dans l'ensemble des premiers membres soit supérieure à la cote seconde maxima des inconnues et dérivées (paramétriques) figurant dans l'ensemble des seconds membres.

Distribuons à cet eff'et les variables indépendantes en groupes successifs d'après les nombres décroissants de cases vides contenues dans les lignes correspondantes, et pareillement les fonctions inconnues en groupes successifs d'après les nombres décroissants de cases vides contenues dans les colonnes correspondantes. S'il existe des lignes entièrement vides, à ce groupe de lignes correspondra un groupe de variables auxquelles j'attribuerai une cote seconde positive, par exemple Co= i ; de même, s'il existe des colonnes entièrement vides, à ce groupe de colonnes correspondra un groupe d'inconnues auxquelles j'attribuerai une cote seconde quelconque, par exemple ^Q=zo. Abstraction étant faite de ces groupes, dont l'existence est éventuelle, il est facile de voir que le nombre des groupes restants de variables est exactement égal à celui des groupes restants d'inconnues; nous supposerons, pour fixer les idées, qu'il y en a cinq, et nous nommerons

(5) Cl, C2, C3, Ci, C3

les cotes secondes respectives des cinq groupes successifs de variables (considérés dans l'ordre que nous venons d'indiquer),

(6) Ti, T2, T3, Y4, Ys

SYSTEMES PLUS GENERAUX : PROPOSITIONS PRELIMINAIRES. 3dI

les cotes secondes respectives des cinq groupes successifs d'inconnues (considérés également dans l'ordre que nous venons d'indiquer).

Pour faciliter l'intelligence de ce qui va suivre, on peut représenter à l'aide de la figure schématique ci-dessous les divers groupes de variables et d'inconnues, avec les cotes secondes qui leur sont respectivement attribuées.

Dans cette figure, à un groupe de variables correspond une seule ligne, à un groupe d'inconnues une seule colonne, et la cote seconde se trouve indiquée, dans le premier cas à gauche de la ligne, dans le second cas au-dessus de la colonne. Les traits tremblés ont été réservés au groupe de variables et au groupe d'inconnues dont l'existence est éventuelle. Enfin, le trait plus gros, en forme d'escalier, qui partage la figure en deux régions, indique quelles sont, pour chaque groupe d'inconnues, les variables auxquelles se rapportent les dérivées paramétriques : par exemple, pour une inconnue appartenant au groupe (72)7 les dérivées paramétriques sont celles qui intéressent, à l'exclusion de toute autre, les variables des groupes (C3), (C2), (c,) et éventuellement (cq).

Fixons maintenant les valeurs des diverses cotes (5) et (6). A cet eflet, nous désignerons par q un entier positif, arbitrairement choisi sous la seule condition d'être au moins égal à l'ordre maximum des dérivées figurant effectivement dans les seconds membres du système, et nous choisirons les entiers (5) et (6) sous les seules conditions

(7^ Ci>Co<7, c.2>ci^, c,>C2<7, C!,>czq, C3>C;g; (8) 7o-H^C5= Y,-+- c/c>, = Y2+ gc3= -(3-hqC2=: Y4-f-^Ci= ^(ii-i-qco.

Les entiers q^ Co= i et yo= o étant connus, il est clair qu'on pourra, l'aide de (7), déterminer successivement Ci, C2, C3, C/,, C5, puis, à l'aide de (8), déterminer successivement y, , Y2, Y37 Y47 Ys-

Gela étant, je dis que la cote seconde maxima des dérivées paramétriques des ordres o, 1, 2, . .., ^ (et, par suite, des inconnues et dérivées figurant dans les seconds membres du système) est inférieure à la cote seconde minima des premiers membres. Pour l'établir, nous désignerons par 9 la valeur commune des quantités (8), et nous prouverons : i*' que la cote seconde d'une dérivée paramétrique appartenant aux ordres o, i , 2, . , . , ^ est au plus égale à 9 ; 2° que la cote seconde d'un premier membre est supérieure à 9.

Remarquons en effet que, pour les groupes successifs de variables, parcourus de bas en haut, la cote seconde va toujours en croissant. Il résulte de là que, pour les groupes d'inconnues (yo)? (yO' (ïa)? (y3), (y/,), les plus grandes valeurs que puisse prendre la cote seconde d'une dérivée paramétrique appartenant aux ordres o, 1, 2, ..., q seront respectivement égales à

To-h^Cs, Yl-i-^C4, 72+^^3, Y3-H^C2, -{',-\- qCx,

c'est-à-dire à 9. Pour le groupe d'inconnues (ys), deux cas sont à distinguer, suivant que les colonnes correspondantes contiennent quelque case vide ou n'en contiennent aucune : dans le premier cas, on trouvera de même, comme limite supérieure, ys + ^Cq , c'està-dire 9; dans le second cas, chacune de ces inconnues n'a qu'une seule dérivée paramétrique, appartenant à l'ordre zéro, et ayant pour cote seconde

D'un autre côté, la plus petite valeur que puisse prendre la cote seconde d'un premier membre du système est évidemment égale à l'une ou à l'autre des quantités

suivant qu'il s'agit de l'un ou de l'autre des groupes d'inconnues (y«)' (T2)? (ys)? (y4)5 (y») • ^r, en vertu de (7), ces quantités sont respectivement supérieures à

Yl^-^Ci, Y^+^Cg, Y3+^C2, ^K-\- qCy, Y-5 + ^^0,

c'est-à-dire à 9.

II. Nous allons actuellement faire voir qu'en imposant aux valeurs initiales dont parle l'énoncé certaines restrictions d'inégalité, on peut, à l'aide des opérations indiquées, transformer le système S en un système à Tableau régulier, Q, dont, les colonnes comprennent respectivement les mêmes nombres cV équations que celles de S. Nous ferons voir en même temps que, dans ce système 0, la cote première (évaluée conformément aux indications ci -dessus) de chaque second membre est au plus égale à celle du premier membre correspondant.

Observons à cet effet que, dans le système S, les premiers menvbres sont de cole au plus égale à F + i , et chaque second membre de cote au plus égale au premier membre correspondant; que les équations de cote inférieure à F -f- i correspondent à certaines colonnes, entièrement pleines, du Tableau, et que leurs seconds membres sont indépendants de toute dérivée; enfin, que les équations de cote F4- i ne peuvent contenir d'autres dérivées que celles de cote F -f- i (n° 159).

Cela posé, effectuons sur S la transformation linéaire et homogène

/ ic' = «i^r -f- [3i r H-. . . ,

(9) • I y = a2a7-4- ^ajK-h...,

où ^, j', ... désignent les anciennes variables indépendantes, x' ^ y\ ... les nouvelles, et a,, p,, ..., ao, j^o, ..., etc., des constantes numériques provisoirement indéterminées.

Si l'on considère d'abord les diverses équations de cote inférieure à F -f- I contenues dans une même colonne (entièrement pleine) du Tableau de 2, ces équations ont pour premiers membres les diverses dérivées premières (anciennes) d'une même fonction inconnue, avec des seconds membres indépendants de toute dérivée; dès lors (pourvu que le déterminant

ai ?i ..

de la transformation soit différent de zéro), les équations dont il s'agit pourront, après leur transformation, être résolues par rapport aux nouvelles dérivées premières de la même fonction (cela, quelles que soient les valeurs numériques que l'on attribue aux variables et H- " 23

aux inconnues); d'ailleurs, les seconds meml)res des formules de résolution ne contiendront, outre les nouvelles variables, que des inconnues de cote (première) au plus égale à la cote (première) commune des premiers membres.

Reste donc à considérer, dans le système S, le groupe, o-p^,, formé par les équations de cote r+ i. Pour que ce groupe puisse, par l'application des formules (9), suivie d'une résolution convenable, être transformé en un système à Tableau régulier dont les colonnes contiennent respectivement les mêmes nombres d'équations que les colonnes correspondantes de o-p^i, il faut que le système déduit de <yr+t par l'application pure et simple des formules de la transformation (sans résolution ultérieure) possède des solutions numériques n'annulant pas un certain déterminant.

Ce déterminant, D, peut être considéré comme une fonction : Soit des constantes indéterminées de la transformation, des anciennes variables ^, y, . . . , des inconnues de S, et de leurs anciennes dérivées paramétriques premières (qui sont toutes de cote F-h i);

Soit des constantes indéterminées de la transformation, des nouvelles variables x', y', . . . , des inconnues de 2, et de leurs nouvelles dérivées premières de cote F-H i.

En le considérant, tout d'abord, comme une fonction du premier groupe de quantités, il est facile de voir qu'il est entier et homogène par rapport aux constantes de la transformation, et qu'il a pour coefficients certaines fonctions de :r, jk, . • • , des inconnues de S, et de leurs anciennes dérivées paramétriques premières. Si Tune, au moins, de ces fonctions n'est pas identiquement nulle, on pourra trouver pour les constantes de la transformation des valeurs numériques telles que D ne soit pas identiquement nul, et qu'en même temps le déterminant de la transformation soit différent de zéro. Les valeurs de ces constantes étant fixées comme il vient d'être dit, et le déterminant D étant considéré comme une fonction de ^, r, . . . , des inconnues de S, et des anciennes dérivées paramétriques premières, le groupe o-p+i possède des solutions numériques n'annulant pas ce déterminant. Si donc on considère D comme une fonction de x',y\ ..., des inconnues de S, et de leurs nouvelles dérivées premières de cote F-h i, ^^ groupe déduit de <7^^^ par l'application pure et simple des formules de la transformation possède des solutions numériques n'annulant pas le déterminant dont il s'agit, ce qui permet d'efîectuer a résolu-

lion voulue : il est clair d'ailleurs que, dans le groupe, top^,, finalement obtenu, chaque premier membre est une dérivée de cote F^- i, et que le second membre correspondant est de cote inférieure ou égale.

III. Le simple rapprochement des alinéas I et II montre que le système 0, déduit de S à l'aide du mécanisme ci-dessus décrit, satisfait à la première des deux conditions formulées par notre énoncé général. 11 satisfait, d'ailleurs, à la seconde, c'est-à-dire que le nombre des quantités paramétriques (inconnues et dérivées) de cote G est, dans 12, exactement le même que dans S. Effectivement, la chose ,est évidente en ce qui concerne les seules inconnues. D'autre part, en vertu de ce qui précède, les dérivées paramétriques (d'ordre >> o) ne peuvent appartenir qu'aux fonctions inconnues de cote F, c'està-dire à celles dont les dérivées principales premières (de cote F -f- i) figurent comme premiers membres dans le groupe or^, s'il s'agit du système S, ou dans le groupe wp^, s'il s'agit de Ù; or, ces inconnues étant les mêmes de part et d'autre, et les colonnes de tof^, contenant respectivement les mêmes nombres de cases vides que les colonnes de a-[^^, , on en déduit immédiatement le point que nous avons en vue.

Ainsi se trouve établie notre proposition. Pour que les restrictions d'inégalité qu'elle impose aux valeurs numériques des diverses quantités figurant dans les seconds membres de S puissent être vérifiées, il faut, d'après le raisonnement ci-dessus, que certaines fonctions de ces quantités ne soient pas toutes identiquement nulles, ce qui n'arrive pas nécessairement.

356 cnAPiTUE X.

SIMPLIFICATION ET EXTENSION DES RESULTATS OBTENUS SUR LES SYSTÈMES ORTHONOMES : THÉORÈMES D^EXISTENGE.

Simplification de la règle de passivité d'un système orthonome.

162. Considérons un système différentiel, S, impliquant les fonctions inconnues «, (', ... des variables indépendantes x, y^ ..., et satisfaisant (comme au n'* 103) aux diverses conditions ci-après :

A. Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées , et les seconds membres y sont indépendants de toute dérivée principale.

B. En attribuant, dans toutes les équations du système, aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à i, et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités {inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant.

C . En désignant par o la cote minima des premiers membres de S, et en imposant éventuellement aux valeurs numériques des quantités qui figurent dans les seconds membres de S telles ou telles restrictions d'inégalité, on peut, des groupes successifs (en nombre illimité)

(n" 144), extraire respectivement des groupes,

tels que l\in quelconque d'entre eux, t^., composé d' équations en nombre exactement égal à celui des dérivées principcdes de cote C, soit résoluble par rapport à elles. Les groupes partiels (i) sont

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTENGE. 357

alors successivement résolubles par rapport aux dérivées principales

de cotes

et cela quelles que soient (sauf les restrictions éventuelles à^ inégalité auxquelles il est fait allusion plus haut) les valeurs numériques attribuées aux variables x^ y^ . . . , aux inconnues u^ c, . . . , et aux

dérivées paramétriques de u^ t^,

Dans ce système, désignons par h le nombre des variables indépendantes ^, jKi •••, par '^ Vi le nombre des dérivées paramétriques et fonctions inconnues dont la cote ne surpasse pas G, par **^'/? le nombre des dérivées principales dont la cote satisfait à la même condition, enfin par ^^q la somme h-\-^^^n : les diverses quantités dont nous venons de parler sont donc, en tout, au nombre de

Cela étant, poiu^ que le système proposé S soit passif , il faut et il suffit qu'en considérant x^ y, ... et les diverses quantités [inconnues ou dérivées) dont la cote ne surpasse pas G, comme autant de variables indépendantes distinctes , la solution numérique générale du système *^'S soit fournie, quel que soit G, paides formules exprimant les diverses variables dont il s^agit (en nombre *^'^ + *^'/?) à l'aide de ^^'^q arbitraires, ^^Vj d'entre ces formules étant résolubles par rapport aux arbitraires conformément au principe général des fonctions implicites (n" 120).

La condition posée est nécessaire : car, le système S étant supposé passif, il résulte immédiatement du n" 103 que, pour toute valeur de G, la solution numérique générale du système '^'*S, à^^Vj -^^^p variables, est aussi celle du système réduit, extrait de *^^S, que forment les *^'/? équations

(^) ^01 ^O+li . . ., t(]\

elle peut, dès lors (n" 138), s'exprimer comme l'indique notre énoncé.

La condition posée est suffisante. EfTectivement, si la solution générale de *^'S est exprimable comme l'indique notre énoncé, les formules ((ui la fournissent ne peuvent manquer de vérifier constamment le système réduit des '^'/? équations (2), et en donnent par suite (n° 140) la solution générale. Les systèmes *^' S et (2) sont

j58 chapitue X.

donc numériquement équivalents, et, dès lors, l'élimination des dérivées principales de cotes

effectuée entre les équations

Soi Sg4-i, . . ,, Se,

conduit à des identités : il en résulte, puisque G est quelconque, que le système S est passif (n" 103).

163. Dans tout système orthonome, les conditions A et B du numéro précédent se trouvent satisfaites d'elles-mêmes, et il suffît, en ce qui concerne la condition C, de supposer que le groupe t^^ a été extrait de S^ sous les seules conditions de comprendre exactement autant d'équations qu'il y a de dérivées principales de cote C, et d'avoir pour premiers membres les dérivées dont il s'agit : car alors le déterminant différentiel de t^ par rapport à ces dernières est identiquement égal à i. On sait d'ailleurs qu'un système orthonome, s'il est passif, est complètement intégrahle, et réciproquement (n«^ llo et 108).

Cela étant, on peut formuler comme il suit les théorèmes relatifs à l'existence des intégrales dans les systèmes orthonomes.

PiiEMiEa théorè:me d'existence. — l^oiil système ortiionome dont les premiers membres appartiennent respectivement à des inconnues différentes est complètement intégrahle.

Car un pareil système est nécessairement passif (n" 110).

Deuxième théorème d'existeivce. — Supposons que, dans un système orthonome, S, aucun des premiers membres ne soit une dérivée de quelque autre, et que deux au moins d'entre eux soient des dérivées d'une même inconnue; désignons alors par 8 la cote première minima des équations de S; puis, adoptant pour les conditions initiales du système l'écriture spécifiée au n" lo5, désignons par r la cote première maxima des premiers membres de ces conditions. Cela étant, pour que le système soit complètement intégrable, il faut et il suffit que V élimination des dérivées principales de cotes premières

SVSTÈ-MlîS PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTENCE. 35g

effectuée entre les équations

(3) Sg, Ss^-i, ..., Sr+2,

conduise à des identités,

I. Pour qu'un système orlhonome soit complètement intégrable, il faut et il suffit, comme nous l'avons rappelé plus haut, qu'il soit passif, c'est-à-dire, en vertu du n" 103, que l'élimination des dérivées principales de cotes premières

effectuée entre les équations

Sg» S54-1, ..., Se,

conduise, quel que soit C, à des identités. La condition posée par notre énoncé relativement aux groupes (3) est donc évidemment nécessaire, et il nous reste à prouver qu'elle est suffisante.

II. En vertu du n^ lo7, on peut, du système orthonome S, déduire un système de grade i, S, jouissant des diverses propriétés indiquées au n" I06, et, de plus, orthonome comme S.

Je dis que la condition posée par notre énoncé entraine la passivité du système orthonome S.

Considérons en effet, dans l'un quelconque des deux systèmes S, S, le total que forment le nombre des variables indépendantes et celui des quantités paramétriques (inconnues ou dérivées) dont la cote première ne surpasse pas C (') : à cause des relations qui existent entre S et 2 (n" I06), ce total a la même valeur dans les deux systèmes, et nous le désignerons par '^'^.

Gela étant, il résulte de notre hypothèse sur les groupes (3) que la solution numérique générale de (l'+^jg q^ (3) est fournie par des formules exprimant les variables indépendantes ^, y, ... et les quantités (inconnues ou dérivées du système S) dont la cote première ne surpasse pas r-f-2, à l'aide de ^^+-^^ arbitraires, ^^+-^^ d'entre ces formules étant résolubles par rapport aux arbitraires (n^ 138).

Si l'on passe de S à 2, et qu'on désigne par H le groupe des rela-

(') Nous assimilons ici, pour la commodité du langage, les inconnues de S ou de S à des dérivées paramétriques d'ordre zéro.

3 Go CHAPITRE X.

lions obtenues en égalant chaque inconnue adjointe de S à la dérivée ancienne qu'elle admet pour homonyme, le système (r+2)v gg^ comme nous savons (n" io6, V), numériquement équivalent à

le groupe (l'+-)H s'obtient d'ailleurs visiblement en extrayant, de l'ensemble illimité que forment les inconnues adjointes et leurs dérivées de tous ordres, les diverses quantités dont la cote première ne surpasse pas F H- 2, et en les égalant à leurs synonymes anciens. D'après ce qui vient d'être dit sur ^^+-^8, il est manifeste que la solution générale de

((r+2)ii^ (r-f-2]S) ou (r-+-2)v

est fournie par des formules exprimant les variables indépendantes x^ y, ... et les quantités (inconnues ou dérivées du système S) dont la cote première ne surpasse pas F+a, à l'aide de ^ï'+-^^ arbitraires, (r+2)^ d'entre ces formules étant résolubles par rapport aux arbitraires.

Si l'on désigne alors par ^^ ^-^rn le nombre des dérivées principales du système 2 dont la cote première ne surpasse pas F-|- 2, et si l'on extrait de ^F+s)^ ^^j^ groupe partiel ayant pour premiers membres, sans omission ni répétition, les ^^+2)^ dérivées principales dont il s'agit, les formules, en nombre ^^''^-^q +(^+2)^^ q^i donnent la solution générale de fl'+^jv j^g peuvent manquer de vérifier constamment le groupe partiel; et comme ce dernier, composé de ^1^+2)^ équations, est réduit, elles en fournissent aussi la solution générale (n" 140). Le système (F+2}v équivaut donc numériquement au groupe partiel, et, dès lors, si entre les équations (I'+-^S on élimine les diverses dérivées principales de S dont la cote première ne surpasse pas F-|- 2, on est conduit à des identités.

Cela étant, comme, dans le système S, orthonome et de grade 1, la cote première maxima des inconnues est F, et, par suite, celle des dérivées cardinales (toutes du second ordre) F-f- 2, il résulte de la règle provisoire du n*^ 112 que le système S est passif : c'est ce qu'il s'agissait d'établir.