III. La passivité du système S entraîne celle du système S

Le système S étant supposé passif, la solution numérique générale de ^^*S est fournie, quel que soit G (n'' 162), par des formules expri-

SYSTÈMES PLIS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTENCE. 36 1

niant les variables indépendantes x^ y^ ... et les quantités (inconnues ou dérivées du système S) dont la cote première ne surpasse pas G, à l'aide de ^^''<7 arbitraires, ^^^q d'entre ces formules étant résolubles par rapport aux arbitraires.

Répartissons maintenant les formules dont il s'agit en deux groupes, *^J, *^'K, suivant qu'elles ont ou non pour premier membre quelque dérivée (d'ordre positif ou nul) d'une inconnue adjointe. Le système (*^*J,'^*K) ayant pour conséquence numérique '^*S, qui, à son tour, a pour conséquence numérique *^'H, il est clair que (^^'J, '^'K) a pour conséquence numérique ('^'H, '^'K); et, comme ces deux derniers systèmes, visiblement réduits ( ^ ), comprennent le même nombre d'équations, ils sont numériquement équivalents (n" 131) : or, le premier d'entre eux contient ^^'^q équations résolubles par rapport aux arbitraires; il en est donc de même du second (n° 137), et, comme le groupe ^^'H est indépendant des arbitraires, les '^'^ équations dont il s'agit sont forcément contenues dans le groupe *^ 'K.

Cela posé, observons qu'en vertu de l'équivalence numérique entre

(C)S et («^)H,(C)S),

les formules (*^'J, *^''K), qui fournissent la solution générale de **^'S, fournissent également celle de (*^*H, '^'S), et que, par suite, les formules *^'K ne peuvent manquer de vérifier constamment le système <^'S. Si l'on désigne alors par '^'/? le nombre des dérivées principales du système S dont la cote première ne surpasse pas C, et si l'on extrait de '^*S un groupe partiel ayant pour premiers membres, sans omission ni répétition, les *^'/> dérivées principales dont il s'agit, les formules '^'K, en nombre ^^^q -f-**^|/?, vérifieront en particulier le groupe partiel; et, comme ce dernier, composé de ^^^p équations, est réduit, elles en fourniront (n" 140) la solution générale, à plus forte raison celle du groupe total *^*S. Il en résulte, puisque C est quelconque, que le système S est passif (n"" 162).

IV. Il résulte du simple rapprochement des alinéas II et III que la condition posée par notre énoncé est suffisante. Ainsi se trouve achevée la démonstration.

C) Ils sont, en cdet, résolubles l'un et l'autre par rapport aux variables indépendantes x^ y, ... et aux quantités (inconnues et dérivées de S) dont la cote première ne surpasse pas C.

164. Considérons, comme application de ce qui précède, un système différentiel impliquant trois fonctions inconnues, m, t^, (v, des variables indépendantes ^, y, . . . , et supposons qu'il ait pour preiniers membres toutes les dérivées d'ordre m de w, toutes celles d'ordre n de ^', toutes celles d'ordre p de w^ les seconds membres ne contenant, avec les variables ^, y, . . . , que les trois inconnues «, v^ w, et leurs dérivées d'ordres respectivement inférieurs à m, n, p. En attribuant à ^, y , . , . , des cotes respectives toutes égales à i , et à w, t^, (v, des cotes respectives, c^, Cj,, c^v, vérifiant les relations

on voit immédiatement : i" que le système dont il s'agit est orthonome, d'où résulte que, si le nombre des variables indépendantes se réduit à I , il est complètement intégrable ; 2" qu'en désignant par ù la valeur commune des trois entiers c„-f-/?z, Ci,-h n^ c^+p^ il a pour premiers membres les diverses dérivées de cote 0, et que les dérivées paramétriques sont toutes celles de cote inférieure à 3, en nombre essentiellement limité. Les conditions initiales n'étant, dès lors, susceptibles que d'une seule écriture, l'entier désigné par Y au n^ 155 est ici égal à ô — i , et l'on a

on en déduit sans peine, dans le cas où le nombre des variables indépendantes est supérieur à i , la règle suivante pour l'intégrabilité complète du système.

Si l'on considère une dérivée de cote 0 -H i intéressant plusieurs variables distinctes, k par exemple (A* > i ), il existe, dans le système proposé. Adéquations distinctes qui, différentiées chacune par rapport à la variable voulue, en fourniront des expressions où ne figurent, avec les variables indépendantes, que des quantités (inconnues ou dérivées) de cote inférieure à ô + i : dans ces k expressions, on remplacera les dérivées de cote 0 par leurs valeurs tirées des équations du système, et il faudra que les k expressions résultantes soient toutes identiquement égales. On procédera de même pour toutes les dérivées de cote 8 -f- i intéressant plusieurs variables distinctes, et l'on aura ainsi l'ensemble des conditions pour que le système soit complètement intégrable.

Cet exemple fort simple montre quel avantage la nouvelle règle de

SYSTÈMES l'LUS Gl-NÉKAUX : THIÎORÈMKS d'kXISTENCE. 363

passivité (ii"163) peut présenter sur l'ancienne (n'' 112), tirée de la considération des dérivées cardinales. La nouvelle règle nous conduit en efTet, dans le cas actuel, à ne considérer que des dérivées de cote 5 H- I ; l'ancienne, au contraire, si l'on observe que les dérivées cardinales ont pour cote maxima ô -\- w, o -f- /i ou 8 -f-/?, suivant qu'il s'agit de u, v ou (v, exigerait presque toujours un calcul beaucoup plus long, et, parmi les conditions obtenues, un grand nombre se trouveraient n'élre que de simples conséquences des autres.

16o. Le problème du Calcul inverse de la dérivation (Chap.- VI) nous a conduit à considérer un système différentiel ayant pour premiers membres (tous distincts) diverses dérivées de la fonction inconnue a , et pour seconds membres des fonctions données de a:, j)^, ..., toutes développables à partir de valeurs particulières données, ^o? .Vo^ . . . '■ dans un pareil système, la recherche des conditions d' intégrabilité se trouve, comme nous allons le voir, notablement simplifiée par la connaissance de la règle exposée au n° 163.

Supposons tout d'abord que, dans le système proposé, aucun des premiers membres ne soit une dérivée de quelque autre. Si le système ne comprend qu'une seule équation, il est forcément intégrable. Pour former, dans le cas contraire, les conditions d'intégrabilité, qui ne sont autres, comme nous l'avons déjà fait remarquer (n" 112), que les conditions de passivité du système, nous attribuerons à l'inconnue u une cote nulle (et aux variables x^ y, ..., des cotes respectives toutes égales à i ), nous mettrons les conditions initiales sous la forme spécifiée au n^ loo, et nous désignerons par F l'ordre maximum des premiers membres de ces conditions : cela étant, pour que le système proposé soit intégrable, il est nécessaire et suffisant que, pour toute dérivée principale d'ordre inférieur ou égal à F + 2, les diverses expressions (fonctions de ^, jk, ...) déduites du système proposé soient identiques entre elles.

Supposons maintenant que, dans le système proposé, quelqu'un des premiers membres soit une dérivée de quelque autre. On commencera par faire abstraction de toute équation ayant un pareil premier membre, et l'on examinera si le système résultant. S, est intégrable. S'il ne l'est pas, le système proposé ne l'est pas non plus. S'il l'est, deux cas peuvent se présenter : ou bien, parmi les équations jusqu'ici négligées, il en est quelqu'une qui ne peut se déduire de S

par difTérenliation, auquel cas le système proposé n'est pas intégrable ; ou l)ien chacune des équations jusqu'ici né<^ligées peut se déduire de S par dilîerentiation, auquel cas le système proposé peut être remplacé par le système inté^rable S.

Extension des théorèmes d'existence.

166. Considérons un système différentiel^ S, où se trouvent satisf ailes les trois hypothèses A, B, C du n° 162, et à ces hypothèses adjoignons les particularités suivantes :

i" Qu'aucun des premiers membres de S ne soit une dérivée de quelque autre ;

1^ Qu'en désignant par \ la cote maxima des premiers membres de S, les groupes

(les premiers de ceux que vise l'hypothèse C) comprennent respectivement les groupes

du système S (n" 144) ;

3° Que le système du premier ordre, S, que l'on déduit en pareil cas de S (n° 159), puisse, par un changement linéaire et homogène des variables indépendantes, suivi d'une résolution convenable, être transformé en un autre, 0, remplissant les conditions spécifiées au n"" \^\.

Cela posé, et en attribuant à la notation F le même sens que dans les n°^ 155 et 163, pour que le système proposé S soit passif , ou, ce qui revient au même (n" 103), pour que l'élimination des dérivées principales de cotes

effectuée entre les équations

^ci So-(-i, . • • , Se,

conduise, quel que soit C, à des identités, il suffit que cela ait lieu pour C = F + a .