I. La condition posée par notre énoncé relativement aux

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : ÏIIKORÈMES DEXISTENCE. 365

î(l'OUpCS

(i) Sg, Sg+i, ..., Si\+-i, Sr+2

entraîne la passivité du système Ù.

Considérons, en effet, dans l'un quelconque des trois systèmes S, S. Q, le total que forment le nombre des varialiles indépendantes et celui des quantités paramétriques (inconnues et dérivées) dont la cote (unique ou première) ne surpasse pas C : à cause des relations qui existent, d'une part entre S et S, d'autre part entre S et Q, ce nombre est le même pour les trois systèmes, et nous le désignerons par/^^^.

Cela étant, il résulte de la condition posée par notre énoncé que la solution numérique générale de (r+2)g q^^ (^ j ^ g^^ fournie par des formules exprimant les variables indépendantes et les quantités (inconnues ou dérivées de S) dont la cote (unique) ne surpasse pas r -H 2, à Taide de ^^+2)^ arbitraires, ^^"^^^q d'entre ces formules étant résolubles par rapport aux arbitraires (n'^ 138).

Si l'on passe de S à S, et que l'on désigne par H le groupe des relations obtenues en égalant chaque inconnue adjointe de S à la dérivée ancienne qu'elle admet pour homonyme, le système (l'+^j^ est, comme nous savons (n° lo9, V), numériquement équivalent à

((iV2)H, (r+2)S);

le groupe iJ^'+2)jj s'obtient d'ailleurs visiblement en extrayant de l'ensemble illimité que forment les inconnues adjointes et leurs dérivées de tous ordres les diverses quantités dont la cote (unique) ne surpasse pas F 4- 2, et en les égalant à leurs synonymes anciens. D'après ce qui vient d'être dit sur ^^^-^S, il est manifeste que la solution numérique générale de

({r+2)H, (r-+-2)S) ou (r+2)2

est fournie par des formules exprimant les variables indépendantes et les quantités (inconnues et dérivées du système 2) dont la cote (unique) ne surpasse pas F -h 2, à l'aide de ^^'+2^^ arbitraires, ^1^+^)^ d'entre ces formules étant résolubles par rapport aux arbitraires.

Si l'on passe maintenant de S à mS] 1 (n" 149), il résulte immédiatement du n° 153 que la solution numérique générale de ^^■^'^[[2:]] est la même que celle de [[(^+2)^]] : elle s'obtiendra

donc en remplaçant dans les formules précédentes les anciennes variables et dérivées par leurs valeurs tirées des formules de la transformation (n" 148), et en effectuant la résolution (évidemment possible) du système ainsi obtenu par rapport aux nouvelles variables et aux quantités (fonctions inconnues et nouvelles dérivées) dont la cote ne dépasse pas F -f- 2. Ces dernières variables, inconnues, et dérivées, se trouveront ainsi exprimées à l'aide de ^^^^'^hj arbitraires, et il résulte du n" 137 que, parmi les formules obtenues, ^^+-^^ seront, comme précédemment, résolubles par rapport aux arbitraires.

Si l'on passe, enfin, de [[S]] à Û (et si l'on observe que V -\- \ est au moins égal à A, n° loo), le mécanisme à l'aide duquel cette opération s'effectue [voir l'alinéa II du n" 161) entraîne, en vertu du n" 146, l'équivalence numérique de ^"T[2]l et (l'+'^Ù : la solution numérique générale de ^^+2)^ gg^ donc fournie par les formules dont il a été question en dernier lieu.

Gela posé, si l'on désigne par ^^'^^^■gs le nombre des dérivées principales du système 0 dont la cote première ne surpasse pas F -h 2, et si l'on extrait de (F+2)q ^^j^ groupe partiel ayant pour premiers membres, sans omission ni répétition, les ^^"^^^ti^ dérivées principales dont il s'agit, les formules, en nombre ^^^-^^ + ^^+2)^^ qui donnent la solution générale de ^F+2)q j^g peuvent manquer de vérifier constamment le groupe partiel; et comme ce dernier, composé de (I^+-^Tî7 équations, est réduit, elles en fournissent aussi la solution générale {n'' 140). Le système (F+2)q équivaut donc numériquement au groupe partiel, et, dès lors, si, entre les équations ^^"^'-^Q, on élimine les diverses dérivées principales de ù dont la cote première ne surpasse pas F -h 2, on est conduit à des identités.

Cela étant, comme, dans le système Q, ortlionome et du premier ordre, la cote première maxima des inconnues est F, et, par suite, celle des dérivées cardinales (toutes du second ordre) F-j-2, il résulte de la règle provisoire du n° 112 que le système Q est passif: c'est ce qu'il s'agissait d'établir.