II. La passivité du système Q entraîne celle du système S

Le système Q étant supposé passif, la solution numérique générale de **^^Q est fournie (quelque soit C) par des formules exprimant les variables (nouvelles) et les quantités (inconnues et dérivées du

SYSTEM KS PLUS GÉNÉRAUX : TIIÉORÈMHS d'eXISTENCE. 867

système Q) dont la cote première ne surpasse pas G, à l'aide de ^^^q arbitraires, '* '^ d'entre ces formules étant résolubles par rapport aux arbitraires (n" 162). Cette solution générale de *^^Q est d'ailleurs en même temps celle de * N^Mî ainsi qu'il résulte du n"" li6 et des relations qui existent entre les deux systèmes Q et [[S]] ; et elle est aussi, en vertu du n" 153, celle de R*^''^] 1.

Cela étant, la solution numérique générale de *^'S s'obtiendra en remplaçant, dans les formules précédentes, les nouvelles variables et dérivées par leurs valeurs tirées des formules de transformation (n*' 1^8), et en elTectuant la résolution (évidemment possible) du' système ainsi obtenu par rapport aux anciennes variables et aux quantités (fonctions inconnues et anciennes dérivées) dont la cote (unique) ne surpasse pas C. Ces dernières variables, inconnues, et dérivées, se trouveront ainsi exprimées à l'aide de '^'^ arbitraires, et il résulte du n" 137 que, parmi les formules ainsi obtenues, '^'^ seront, comme précédemment, résolubles par rapport aux arbitraires.

Répartissons maintenant les formules dont il s'agit en deux groupes, ^'J, '^ K, suivant qu'elles ont ou non pour premier membre quelque dérivée (d'ordre positif ou nul) d'une inconnue adjointe de S. Le système ("^'J, *^'K) ayant pour conséquence numérique "^'S, qui à son tour a pour conséquence numérique '^*H, il est clair que le système C^'J, ^^K) a pour conséquence numérique (^^'H, ^^K); et comme ces deux derniers systèmes, visiblement réduits (<), comprennent le même nombre d'équations, ils sont numériquement équivalents (n" 131) : or, le premier d'entre eux contient ^^V/ équations résolubles par rapport aux arbitraires; il en est donc de même du second (n" 137), et, comme le groupe *^'H est indépendant des arbitraires, les '^V/ équations dont il s'agit sont forcément contenues dans le groupe ^'^'K.

Cela posé, observons qu'en vertu de l'équivalence numérique entre

(C>S et ((C)H,(C.S),

les formules ('^'J, '^'K), qui fournissent la solution générale de *^'S, fournissent également celle de (*^'H, '^'S), et que, par suite, les for-

( ' ) Ils sont, en eiïel, résolubles l'un et l'autre par rapport aux variables (anciennes) et aux quantités (inconnues et dérivées de S) dont la cote ne surpasse pas G.

368 CHAPiTRii: X.

mules ^^'K ne peuvent manquer de vérifier constamment le système *^'S. Si l'on désigne alors par ^^^p le nombre des dérivées principales du système S dont la cote ne surpasse pas G, et si l'on extrait de '^*S (conformément à l'hypothèse C du n" 162) un groupe partiel résoluble par rapport aux "*^/? dérivées dont il s'agit, les formules '^'K, en nombre '^'^ + '^^/?, vérifieront en particulier le groupe partiel; et comme ce dernier, composé de *^'/? équations, est réduit, elles en fourniront (n" l^-O) la solution générale, à plus forte raison celle du groupe total *^''S. Il en résulte, puisque G est quelconque, que le système S est passif (n*' 162).

III. L'exactitude de notre énoncé général résulte du simple rapprocliement des alinéas I et II.

167. Gonsidérons un système différentiel. S, satisfaisant aux trois conditions ci-après :

A. Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et les seconds membres y sont indépendants de toute dérivée principale.

B. En attribuant, dans toutes les équations du système, aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à i^ et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités [inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant.

Il est clair, d'ailleurs, que cette deuxième condition, supposée vérifiée, ne cesse pas de l'être lorsqu'on augmente d'un même entier quelconque, positif ou négatif, les cotes de toutes les inconnues.

C. En désignant par o et A. les cotes respectivement minima et maxima des premiers membres de S, on peut, des groupes

Sg, Sg+i, . . . , S^

du système S prolongé (n'* 144), extraire respectivement des groupes,

possédant la double propriété de se composer d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dé/ivées principales

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTENCE. 069

de cotes

et d'être successivement résolubles par rapport à ces dérivées.

En d'autres termes, nous supposons que le déterminant différentiel de l'ensemble de ces groupes par rapport à l'ensemble de ces dérivées n'est pas identiquement nul, et nous nous assujettissons à ne considérer les diverses quantités dont il dépend que dans les limites où sa valeur numérique reste diff'érente de zéro.

Dans un système ainsi défini, considérons un groupe d'intégrales ordinaires hypothétiques répondant à des conditions initiales données. Cela étant, si les valeurs numériques initiales choisies pour les quantités qui figurent dans les seconds membres de S satisfont (en outre de celle qu'exige déjà la condition C) à certaines restrictions (l'inégalité :

i" Pour toute valeur de V entier (^algébrique) G supérieure à A, tout groupe partiel, t^^ extrait de Se sous la seule condition d'avoir pour premiers membres {sans omission ni répétition) les diverses dérivées principales de cote G, est résoluble par rapport à ces dernières.

2" Les développements {bien déterminés) construits à Vaide des valeurs initiales données et de celles que fournit la résolution successive des groupes

toi tZ+\') •••1 ^Ai ^A-i-i7 ^A-t-2? ••• sont convergents.

I. Considérons un système de q équations du premier degré à q inconnues, par exemple, de trois équations du premier degré à trois inconnues, ayant la forme suivante :

/ X = ay -\- hz -h c, <2) )y = ex -hfz -H A-,

( z = mx -]- ny -+- p.

En même temps que (2), considérons le système

^ x=Xy-^Bz^-C (t), (3) ^ y = Ex -+-Fz ^ K,

/ z = Mic-f- Ny + V,

(') Le sens que nous attribuons ici à la notation G n'a, bien entendu, rien de commun avec celui qu'elle possède dans notre énoncé général.

et supposons :

1° Que le Tableau

ail tous ses élémenls positifs ou nuls, ceux de la dernière colonne de

droite étant lous positifs;

2° Que, dans le Tableau

les éléments aient leurs modules respectivement «Vi/e;7'e«/'5 ou égaux aux éléments correspondants du Tableau (4) ;

3" Que le système (3) admette une solution, (X, Y, Z), en nombres positifs.

Cela étant, le système (2) est nécessai/^ement résoluble par rapport à x^ y, ^, et les valeurs de ces variables qui le vérifient ont des modules respectivement inférieurs ou égaux à X, Y, Z.

Je dis d'abord que le système (2) admet certainement quelque solution, (^', y', z')^ satisfaisant aux relations

moda7'^X, modj^'^Y, mod^'^Z.

Considérons, en effet, les équations (3), et calculons pour x^ y, z des systèmes de valeurs successifs,

(X.o,Yo, Zo), (Xi,Y,,Zi), (X2, Y2, Z2), ...,

de la façon suivante :

= AYo

-i-BZo+ G,

= EXo

+ FZo-^K,

= MXo

-f-NYo+P;