AY

H-BZi + G,

= EXi

+ FZi-^K,

= MX,

-^ NY,-vP;

X,+ ,= AY, -+-BZ,

Y,^, = EX, + FZ,

Z,^, =:MX,+ NY,

-hP;

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES DEXISTENCE, 3jl

Je dis d'abord que les valeurs positives variables X^, Y^, Z^ tendent, sans jamais décroître^ vers des limites, X', Y', Z', satisfaisant aux relations

Observons, en efi'et, que si l'on a, entre des valeurs positives, les

relations

X"1X"', Y"iY"', Z"£Z"',

on a forcément aussi, puisque les coefficients A, B, ... sont tous- positifs,

A Y" -+- BZ" 4- G £ AY'" + BZ'" + G,

EX" -4- FZ" + K£ EX'" + FZ'" + K,

MX"+ NY"h- P<MX"'h- NY'"-^ p.

Or, on a évidemment (puisque X,,^ C, Yo = K, Zo = P)

o^Xo, olYo, o^Zo,

et, d'autre part, à cause des relations

X = AY -+- BZ -^ G, Y = EX + FZ 4- K, Z = MX 4- NY + P

et de la nature positive de toutes les quantités qui y figurent,

X^G = Xo, Y^K = Yo, Z>P = Zo, d'où

olXolX, o^YoSY, olZo^Z;

il en résulte, à cause de notre remarque,

G^AYo+ BZo-4-G<AY + BZ-i-G,

c'est-à-dire

XoiX.^X, et de même

Zo^Z,lZ.

Une nouvelle application de la remarque donnera

AYo H- BZo ^ G ^ A Yi 4- BZi H- G < A Y -^ BZ -+- G, c'est-à-dire

Xi^XaiX,

Ife

et de même

Ce raisonnement peut être continué indéfiniment, et l'on a, dès lors, quel que soit r,

Donc, Xr, Y;., Tjr tendent bien, sans jamais décroître, vers des limites positives, X', Y', Z', satisfaisant aux relations (6).

D'après cela, la série formée avec les différences successives

(Xo-o)-+-(Xi-Xo)4-(X2-X.O+...+ (X,+i-X,)-i-...

a ses termes tous positifs et une somme égale à X'; de même, les deux séries

(Yo-o) + (Y,

-Yo) + (Y,-Y,)+.

(Zo-o) + (Z,

-Zo) H-(Z2 — Z,)-+-.

ont leurs termes tous positifs et des sommes respectivement égales à Y', TJ , Observons enfin qu'en vertu de (5) ces différences satisfont aux relations suivantes :

:, Xo=A(Yo-o) -f-B(Zo-o),

\ Yo = E(Xo-o) -+-F(Zo-o),

, -Zo=: M(Xo- o) -+-N(Yo-o);

\^ -X,= X{Yy-Yo) -i-B(Z,-Zo),

^ -Y, =:E(X,-Xo) +F(Z, -Zo),

,2 — Z, =M(X, — Xo) +N(Yi-Yo);

Z,^t -Zr= M(Xr- Xr- , ) -f- N( Y^.- Y,..,);

Considérons maintenant le système (2), et calculons pour a?, y, z