SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THEOREMES D EXISTENCE

des systèmes de valeurs successifs, de la façon suivante :

= aya -\-bzQ -h c,

JKi

= ea?o -hfzo^k,

>Sl

= mxo-h nyo-^p-,

= ayi -\-bzi +c,

= /niCi-+- n^i -+-/?;

Xp-hi

rr+1

= 637^ -^ fZr -h k.

= mXr-\- nyr H- P ;

Aux équations (8) on peut évidemment substituer les suivantes :

— ;ro = a(7o — 0)

-hb{zQ

JKi

— Zo = m(x^—o)

-^ri{yo

— xi = a {yx — yo)

-hb{zi

-^fi^i

— -So),

— zi = m(xi — Xo)

X,.^i—X,.= a (yr — yr-l)-h b{Zr— Zr-i), 7,-4-1 —yr= e (Xr—Xr-\)-\-/ (Zr — Zr~i), -Sr+1 —^r = fn(Xr—Xr-i)-+- n{yr — yr-Ô\

Si l'on compare, groupe par groupe, les relations (9) aux relations (^), on en tire successivement, puisque les modules de a,

b^ . . . sont respectivement inférieurs ou égaux à A, B, . . .,

mod(a^o— o) = -^o — o?

mod(jo— o) SYo — o,

mod(2o — o) = ^0 — Oi puis

mod(a7i — a7o) = Xi— Xo, mod(^,— 7o)^ Y, — Yo, mod(2| — Zo) = Zi — Zo, puis

mod {Xi — ^1 ) = X.2 — X , , mod(72-JKi)^Y2-Y,, mod(-S2 — -Si ) = Zg — Z,,

et, d'une manière générale,

moà{Xr^x — Xr) ^ X,.+, — X;., mod(7r+i — Jr)^ Y^+1 — Y,., mod(z,.+i — z,.) ^Z;.^, - Z,..

Il en résulte que les trois séries ayant pour termes les différences

(Xq—o) -h {Xi — Xq) -h (X^— Xy) -h. . .^{Xr^i — X,.) -H. . .,

(7o — o) + (7i—ro) -^(jK2-jKi) -+-••• -+-(7^+1 — rr )+•••,

(Zq — O) ^ ( Zi — Zq) -\- (Z^ — Zi) -i-...-+-{Zr+i — Zr) -+-...

sont absolument convergentes, et que leurs sommes, x', y, z\ vérifient les relations

modir'^X', mod^'^Y', mod^'^Z',

à plus forte raison les relations

(lo) moda^'^X, mod^'^ Y, mod-z'^Z;

en d'autres termes, les variantes ^,, jK^, s,- sont convergentes, et leurs limites x\ y\ z' vérifient les relations (lo).

Je dis enfin que les valeurs x', y'^ z' vérifient les relations (2). Si l'on considère, en effet, parmi les groupes (8), le groupe général

Xp+i = ay,- -h hzr -i- c,

yr+\ = eXr ^fZr -H ^,

z,.^\=^ mxr^ nyr^ p-,

SYSTÈMES PLUS GENERAUX : THÉORÈMES d'eXISTENCE. 3y5

le passaije à la limite pour /• infini donne

x' = a y -h bz' -]- c, y = ex' -1-/2' H- A-, 2' = m a?' -h /ijk' -H yp •

Ainsi, le système (2) admet bien quelque solution, (^', jk', ^'), satisfaisant aux relations

moda^'^X, modjK'= Y, mod^'^Z;

il reste à démontrer que cette solution est unique.

Effectivement, si elle ne l'était pas, le système (2) serait indéterminé, et l'une de ses équations, la première par exemple, serait une conséquence des autres. En désignant donc par X et ^ des constantes convenablement choisies, on aurait, entre les coefficients

système

les relations

le -+-

\im