II

ik -h

IX p.

Or, le coefficient c ayant un module inférieur ou égal à la constante positive C, il existe évidemment quelque valeur, c', satisfaisant à la double condition d'être différente de c et d'avoir un module inférieur à C (^). Cela étant, si, dans le système (2), on remplace c parc' sans touche/' aux autres coefficients, le système résultant est incompatible, puisque les trois premières relations (11) ne cessent pas d'être vérifiées, mais que l'on a, au contraire,

c' ^Xk -h ixp.

D'autre part, puisque le module de c' est inférieur à C, les hypo-

(') Effeclivemenl, si 0 = 0, on pourra prendre pour c' une quantité (|uelconque de module inférieur à C et supérieur à zéro; si c n'est pas nul. on pourra prendre pour c' une quantité quelconque dont le module soit inférieur à celui de c.

thèses posées au début du présent alinéa I continuent à être toutes vérifiées, et le même système admet, en vertu de la démonstration ci-dessus, quelque solution en ^, jr, 5, ce qui est contradictoire.

II. Considérons, au lieu du système S, le système S^+t, que nous désignerons aussi par (S). Il est clair que, dans les deux systèmes S et (S), la répartition des dérivées des fonctions inconnues en principales et paramétriques est la même, à cela près que les dérivées principales du système S dont la cote tombait au-dessous de A -f- i sont devenues paramétriques dans le système (S); et si, dans les deux systèmes

S prolongé, (S) prolongé

(n'' 99), on partage les relations en groupes successifs d'après leur

cote croissante, celte suite illimitée de groupes est la même de part

et d'autre, à cela près que, dans le système (S) prolongé, un certain

nombre de groupes,

Sg, Sg-i i, . . . , S^,

ont disparu en tête de la liste. A.ulieu donc d'imposer aux intégrales hypothétiques de S les conditions initiales choisies, il revient au même^ pour la démonstration de notre énoncé général, d'imposer à celles de (S) des conditions initiales identiques, en ayant soin seulement de prendre, pour les anciennes dérivées principales devenues paramétriques, les valeurs initiales calculées à l'aide des groupes

On peut maintenant, moyennant un simple changement de fonctions, remplacer le système (S) par un autre où les déterminations initiales des inconnues soient toutes identiquement nulles. Effectivement, soient I„, Ij,, ... les déterminations initiales respectives des inconnues m, t», ... dans le système (S). Nous observerons tout d'abord que, parmi les dérivées de I„, I^, . . ., celles qui sont respectivement semblables aux dérivées principales de w, r, ... ont toutes zéro pour valeur initiale, et qu'elles sont, par suite, identiquement nulles, puisque leurs propres dérivées, nécessairement semblables à des dérivées principales de w, (^, ..., ont toutes aussi pour valeur initiale zéro (n'* 57); quant aux valeurs initiales de I^^, I,., ... et de leurs dérivées restantes, elles sont précisément égales aux valeurs initiales de //, (^, ... et de leurs dérivées (paramétriques) semblables.

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTENCE. 877

Cela posé, effectuons dans le système (S) la transformation

u — lu-h u,

où U, U, ... désignent de nouvelles fonctions inconnues, et soit (v) le système ainsi obtenu : de la remarque faite ci-dessus il résulte évidemment que le système (b) prolongé peut se déduire de (S) prolongé en remplaçant les dérivées principales de «, ç>, ... par les dérivées semblables de U, U, . . ., puis les fonctions w, i^, ... et leurs dérivées paramétriques par les sommes lu-l- U, !(,+ U, ... et les dérivées semblables de ces sommes. Les deux systèmes (S) et (Si) ont donc, sauf le changement de w, (^', ... en U, U, ..., les mêmes premiers membres, et les dérivées des fonctions inconnues s'y répartissent de la même manière en principales et paramétriques ; d'ailleurs, si aux intégrales hypothétiques U, U, ..., de (S) on impose des déterminations initiales identiquement nulles, il est clair que les valeurs numériques initiales prises, dans le système (S), par les intégrales hypothétiques u, t^, ..., qui correspondent aux déterminations initiales I„, !(,, ..., et par leurs dérivées paramétriques de tous ordres, sont respectivement égales aux valeurs numériques initiales prises, dans le système (S), par les sommes l„-j- U, !(,+ U, ... et les dérivées semblables de ces sommes.

Gela étant, conservons aux variables :z^,jK, . . ♦, dans le système (îp), les cotes respectives, toutes égales à i, qu'elles avaient dans les systèmes S et (S), et attribuons aux nouvelles fonctions inconnues U, U, ... les mêmes cotes respectives qu'aux anciennes correspondantes

iij v^ Considérons d'autre part, dans les systèmes (S) prolongé

et (i^) prolongé, deux relations correspondantes, et désignons par C leur cote commune (supérieure ou égale à A -h i ) : de diverses remarques déjà faites il résulte que toutes deux sont linéaires par rapport aux dérivées (tant principales que paramétriques) de cote C, que, dans la première, les coefficients de ces dérivées dépendent exclusivement des variables ^, ^', . . ., des inconnues m, t^, ... et des quelques dérivées paramétriques figurant dans les seconds membres du système primitifs, et que, dans la seconde, les coefficients dont il s'agit ont respectivement les mêmes valeurs initiales que dans la première. Finalement, si, dans chacune des deux relations considé-

rées, nous remplaçons par les valeurs numériques initiales qui leur conviennent respectivement les variables indépendantes x^ ) , . . ., les intégrales hypothétiques (f/, v^ ,.. ou U, U, ..., suivant qu'il s'agit de l'une ou de l'autre relation), et leurs dérivées paramétriques de tous ordres, les deux relations ainsi obtenues (où ne figurent plus que des dérivées principales) seront identiques l'une à l'autre.

En conséquence, il suffît, pour établir notre énoncé général, d'établir le double point suivant :

Si, dans les seconds membres de (S), les coefficients des dérivées {tant principales que paramétriques) de cote A -f- 1 ont des valeurs initiales satisfaisant à certaines restrictions dHnégalité :

i" Pour toute valeur de V entier {algébrique) G supérieure à A, tout groupe partiel, (t)c, extrait de (S)(; sous la seule condition d^ avoir pour premiers membres {sans omission ni répétition) les diverses dérivées principales de cote G, est résoluble par rapport à ces dernières.

2" Les développements {bien déterminés) construits à l'aide des déterminations initiales données {toutes identiquement nulles) et des valeurs initiales que fournit, pour les dérivées principales de cotes A -h 1 , A -h 2, . . ., la résolution successive des groupes

(t)A-Hi, (t)A-+-2, ..-,

EfTectivement, si le premier de ces deux points est exact, le groupe qui correspond à (t)c dans le système (S) prolongé sera lui-même résoluble par rapport aux dérivées principales de cote G de w, v^ ..., et, dès lors, le groupe désigné par tç^ dans notre énoncé général jouira aussi de cette propriété. D'ailleurs, si aux variables, aux intégrales hypothétiques et à leur dérivées paramétriques, on attribue les valeurs initiales qui leur conviennent respectivement dans les systèmes (i5) et (S), les groupes correspondants (t)^ et l^^ deviennent, comme nous l'avons vu, identiques l'un à l'autre, en sorte que la résolution successive, soit des groupes

(t)A+i, (t)A+2, ..., soit des groupes

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTENCE. 879

fournit, pour les dérivées principales semblables, les mêmes valeurs initiales : si donc, dans les développements construits de part et d'autres à l'aide des valeurs initiales tant données que calculées, on fait abstraction des portions (convergentes) formées par les déterminations initiales, les portions restantes sont respectivement identiques de part et d'autre, et la convergence, lorsqu'elle a lieu d'un côté, ne peut manquer d'avoir lieu de l'autre.

Ainsi, nous nous tj'ouvons ramené à établir le double point formulé ci-dessus dans le présent alinéa II.