VI. Voir l'alinéa XIV du n

VII. Si, par un choix convenable de la constante z (moindre que - ] et des constantes

on peut faire en sorte que, dans les seconds membres de ((5)j, les caractéristiques dépendant de £ soient respectivement supérieures aux modules des valeurs numériques initiales que prennent, dans les seconds membres de (^), les coefficients des dérivées dominantes, la double circonstance spécifiée à l'alinéa II se trouve réalisée.

En rapprochant de notre hypothèse actuelle les conclusions de l'alinéa précédent, on voit que la constante £, les constantes (12) et la constante |jl peuvent être déterminées de telle façon que les coefficients des seconds membres de ((^)) soient respectivement majorants pour ceux de (î3). Cela fait, rappelons-nous que les valeurs initiales imposées dans le système (ib) aux inconnues et à leurs dérivées paramétriques de tous ordres sont nulles, tandis que les valeurs

(') Nous ferons usa;;e ci-apiés (VU, VIII et IX) de diverses notations définies dans le alinéas XI, XII, XIII et XIV du n° 114 : il est donc indispensable, pour l'intelligence de la démonstration actuelle, de se reporter au texte de ces alinéas.

initiales prises par les inlégrales» effectives dont nous avons constat l'existence dans le système ({^)) et par leurs dérivées paramétriques sont positives ou nulles.

Observons maintenant que, dans les deux systèmes

(ô) prolongé, ((6)j prolongé,

les relations se correspondent chacune à chacune. Considérons alors deux relations correspondantes. Dans la première celle qui provient de (S) prolongé L le premier membre est une certaine dérivée principale des intégrales hypothétiques de (!5), et le second membre une somme de produits pouvant contenir comme facteurs quatre sortes de quantités, savoir : certains entiers positifs ; certains coefficients des seconds membres de (^3) ; certaines dérivées partielles de ces coefficients ; enfin certaines dérivées, principales ou paramétriques, des intégrales hypothétiques de (î3). Si de cette relation [provenant de (S) prolongé! on passe à la relation correspondante Tprovenant de ((^)) prolongé , cette dernière est composée exactement de la même façon avec les dérivées principales ou paramétriques des intégrales effectives de ((^)Y les entiers positifs dont nous venons de parler, les majorantes des coefficients de ( vi), et les dérivées partielles de ces majorantes.

Cela étant, considérons, dans (S) prolongé, les groupes successifs

dont il est question à l'alinéa 11, et, dans ((Ô)j prolongé, les groupes correspondants,

Si, dans les groupes

Wa-u ((t))A+p

on remplace par les valeurs initiales qui leur conviennent respectivement de part et d'autre les variables, les inconnues et leurs dérivées paramétriques, chacun des groupes résultants, à l'aide desquels on cherche à déterminer de part et d'autre les valeurs initiales des dérivées principales de cote A H- i , aura pour premiers membres (sans

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTKNCE. 38 1

omission ni répétition) les dérivées principales dont il s'agit, et pour seconds membres des fonctions linéaires de ces dérivées principales (aucun des premiers membres ne figurant dans le second membre correspondant); si l'on compare d'ailleurs les coefficients de ces fonctions linéaires dans les deux groupes, on voit que, dans le second groupe, les coefficients (positifs) sont supérieurs aux modules des coefficients du premier groupe, et que les termes indépendants y sont tous supérieurs à zéro ; enfin, il est clair que le second groupe admet une solution en nombres positifs fà savoir les valeurs initiales des dérivées principales de cote A 4- i des intégrales effectives de ({ ^ )) 1 • Si donc on applique la proposition de l'alinéa I, on voit que le premier groupe est résoluble par rapport aux dérivées principales de cote A -j- 1 des intégrales hypothétiques de (S), et que les valeurs numériques ainsi obtenues ont des modules respectivement inférieurs aux valeurs initiales (positives) prises parles dérivées semblables des intégrales effectives de m S)].

Gela étant, considérons les groupes

et, dans ces deux groupes, remplaçons les variables, les inconnues et les dérivées paramétriques par les valeurs initiales qui leur conviennent respectivement de part et d'autre, puis les dérivées principales de cote A -+- i par les valeurs numériques respectivement obtenues comme il vient d'être dit. Chacun des groupes résultants, à l'aide desquels on cherche à déterminer de part et d'autre les valeurs initiales des dérivées principales de cote A-f-2, aura pour premiers membres (sans omission ni répétition) les dérivées principales dont il s'agit, et pour seconds membres des fonctions linéaires de ces dérivées principales (aucun des premiers membres ne figurant dans le second membre correspondant); si l'on compare d'ailleurs les coefficients de ces fonctions linéaires dans les deux groupes, on voit, par tout ce qui précède, que, dans le second groupe, ces coefficients (positifs) sont supérieurs aux modules des coeflicients du premier groupe, et que les termes indépendants y sont tous supérieurs à zéro ; enfin, il est clair que le second groupe admet une solution en nombres positifs à savoir les valeurs initiales des dérivées principales de cote A -f- 2 des intégrales

effectives de ((6))1- ^i donc on applique la proposition de l'alinéa I, on voit que le premier groupe est résoluble par rapport aux dérivées principales de cote A -+- 'x des intégrales hypothétiques de (S), et que les valeurs numériques ainsi obtenues ont des modules respectivement inférieurs aux valeurs initiales (positives) prises par les dérivées semblables des intégrales effectives de ((S)j.

Et ainsi de suite indéfiniment.

Ainsi, les groupes

sont bien, comme nous l'avions annoncé, successivement résolubles par rapport aux dérivées principales de cotes

En outre, les développements (déterminés) construits à l'aide des valeurs initiales données et de celles que fournit cette résolution successive ont des coefficients dont les modules sont respectivement inférieurs aux coefficients correspondants (positifs) des développements des intégrales effectives de ((S)j : par suite, ils sont, comme ces dernieis, nécessairement convergents.

VIII. Si, dans les seconds membres de (S), les modules initiaux des coefficients des dérivées dominantes satisfont à certaines inégalités, on peut attribuer, d^ une part à la constante t (moindre

que -^jf d'autre part aux constantes (12), des valeurs telles, que, dans le système ((S)), les caractéristiques dépendant de e soient respectivement supérieures aux modules initiaux dont il s'agit.

Il est tout d'abord évident que, si ces modules initiaux sont suffisamment petits, on pourra faire en sorte que les caractéristiques dépendant de £ leur soient respectivement supérieures : il suffit, en effet, pour que cette circonstance se réalise, d'attribuer à e une valeur positive quelconque moindre que -> aux quantités (12) des valeurs positives quelconques, et d'assujettir ensuite les modules initiaux dont nous parlons à être respectivement inférieurs aux valeurs ainsi obtenues pour les caractéristiques dépendant de s.

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES D'eXISTENCE. 383

Plus généralement, écrivons que les caractéristiques dépendant de £ sont respectivement supérieures aux modules initiaux, et que e

est inférieur à -» et formons un ensemble de conditions suffisantes

pour que ces inégalités puissent être vériliées par un choix convenable des quantités (12) et de s : nous tomberons ainsi sur certaines inégalités subsistant entre les modules initiaux.

IX. Du simple rapprochement des alinéas II, VII et VIII résulte immédiatement la conclusion suivante :

Les conditions A, B et C (du présent n" 167) étant supposées satisfaites, pour que la double circonstance spécifiée dans notre énoncé général se trouve réalisée, il suffit que les valeurs initiales choisies pour les diverses quantités qui figurent dans les seconds membres de S satisfassent (en outre de celle qu'impose déjà la condition C) à certaines restrictions d'' inégalité.

Notre démonstration même indique comment ces inégalités doivent être formées.

On considère, à cet efiet, les deux systèmes ci-dessus désignés

par (S) et ((S)]; dans l'un et l'autre de ces deux systèmes, on ne conserve que la partie linéaire et homogène par rapport aux dérivées dominantes, et l'on suppose, dans i^X^)^ les coefficients de ces dérivées remplacés par leurs valeurs initiales, qui sont respectivement les mêmes que dans (S) [II]. Désignant ensuite par h le nombre des catégories en lesquelles se partagent les inconnues suivant les valeurs de leurs cotes, et augmentant, s'il le faut, d'un même entier négatif les cotes de toutes les inconnues, afin que les poids de ces inconnues et de leurs dérivées secondaires, définis à l'alinéa V, soient tous de degré supérieur à zéro par rapport à l'ensemble des quantités (12),

on écrit, d'une part, que la constante £ est moindre qucr' d'autre

part, que, dans les seconds membres de (^), les coefficients des dérivées dominantes ont des modules initiaux respectivement inférieurs aux caractéristiques des coefficients correspondants du système ((S)) ; on forme enfin, entre ces modules initiaux, un ensemble de conditions suffisantes pour que les relations ainsi écrites puissent être vérifiées par un choix convenable de £ et des quantités (12). Les

inégalités résultantes (jointes à celle qu'a antérieurement fournie condition C) sont celles qu'il s'agissait de former.

168. Troisième théorème d'existejvce. — Considérons un système différentiel, S, satisfaisant à la double condition ci-après :

I •* Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et les dérivées dont il s' agit appartiennent respectivement à des inconnues toutes différentes; les seconds membres sont d'ailleurs indépendants de toute dérivée principale.

2'* En attribuant, dans toutes les équations du système, aux variables des cotes respectives toutes égales à i^ et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités [inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre coriespondant.

Cela étant, et dans les limites où les valeurs initiales choisies pour les quantités qui figurent dans les seconds membres de S satisfont à certaines restrictions d'inégalité, le système dont il s'agit est complètement intégrable.

Effectivement, le groupe général, Se de la suite

(i3) Sg, Ss+i, ..., Se, ...

contient, en pareil cas, un nombre d'équations précisément égal au nombre des dérivées principales de cote G. Gela étant, choisissons d'une façon arbitraire les conditions initiales imposées aux intégrales hypothétiques, en assujettissant simplement les valeurs initiales des diverses quantités qui figurent dans les seconds membres de S :

i"" A ce que les groupes

Sg, Sg+i, ..., Sa

soient résolubles chacun par rapport aux dérivées principales de cote égale à son indice, c'est-à-dire à ce que la restriction d'inégalité imposée par la condition C du n" 167 se trouve satisfaite;

2° A ce que les restrictions d' inégalité spécifiées dans l' alinéa IX du n^ 167 le soient és^alement.

SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAI X : THÉORÈMES d'eXISTENCE. 385

11 résulte alors de la proposition qui vient d'être établie (n" 167) que les groupes (i3), où l'on suppose remplacées par les valeurs initiales données les variables, les inconnues et leurs dérivées paramétriques de tous ordres, sont successivement résolubles par rapport aux dérivées principales de cotes

et que les développements (uniques) construits à l'aide des valeurs initiales, tant données que calculées, sont de toute nécessité convergents : leurs sommes fournissent donc des intégrales effectwes, du système proposé S.