Appliquons ce résultat à l'équation très simple
, ,^ d^u ^1 du du 0'^ u d'' ii\
qui remplit la double condition énoncée au début du n" 168, ainsi qu'on le voit en attribuant à .r, y, a les cotes respectives i , i , c, où c désigne un entier positif ou négatif choisi comme on voudra. Cela étant, si Ion désigne par A et B les dérivées partielles du second
bl , , V ^ ()- U ()- Il . . .
rc de (14) par rapport a -— , et -— respectivement, puis par A„
et B„ les valeurs numériques initiales de A et B, le système (ï*), réduit à sa partie linéaire et homogène par rapport aux dérivées dominantes, et après substitution aux coefficients de ces dernières de leurs valeurs initiales, prend la ibrme
Le nombre II des catégories d'inconnues est ici égal à i ; on peut d'ailleurs supposer la cote c de l'inconnue u choisie de telle façon, qu'en désignant par Ç, yj, u~^, comme il a été vu à l'alinéa V du n" 167, les poids respectifs de x^y^ U, les poids
Ar. V ., . 1 1 ' • ' J • (h\ Ù\\ Ô^W Ô'^W (Pvi
fie I inconnue U et de ses dérivées secondaires ^> -— ? -^-y ? —
ôx dy Ox' OxOy Oy'^
soient de degré supérieur à zéro par rapport à l'ensemble des trois quantités ?, ri, u (il suffît pour cela de supposer c = — 3). Gela étant, désignons par s la somme des produits obtenus en multipliant œ — Xq par 5j y — Xo P^^ "^5 et l'inconnue tt avec ses dérivées secondaires par
leurs poids respectifs; posons en outre S{s)=^ » et formons le
système
dx dy-
^T)2 ôx dy'^ 2 ^'^Y) ■ ôx- ôy ■>. ■(■'' " ày''
(où nous ne considérons non plus que la portion linéaire et homogène par rapport aux dérivées dominantes). Ce dernier devient, après réduction à l'unité des coefficients des premiers meml^res.
dx'^ ôy 1 \ dx^ •! t] dx ày-
et, en comparant le système ((S)) ainsi formé au système (î5)ou (i5),
nous avons à écrire les inégalités
e < I , - 7 > mocl Ao, - - > mod Ba,
2 ^ 2 Tj
dont l'ensemble équivaut à
, ^, 2 mo(i Ao fj £
(»6) £<F, <y< rrr-
£ ; 2 mod Ho
Pour que les deux dernières inégalités (i6) soient compatibles, il faut et il suffit qu'on ait
(17) mod Ao modBo< — ,
ce qui entraîne, à cause de s << 1 , la condition nécessaire
(18) mod Ao mod Bo < -;
réciproquement d'ailleurs, si l'inégalité (18) est satisfaite, on pourra
SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'e\ISTENCE. 887
trouver pour s une valeur positive et plus petite que i, vérifiant (17),
puis pour^ une valeur positive vérifiant la double inégalité qui figure
dans (16). La condition nécessaire et suffisante pour que les relations (16) soient compatibles est donc
mod(AoBa) < -.
En conséquence, pour que l'équation aux dérivées partielles (i4) admette une intégrale, et une seule, répondant à des conditions initiales données, il suffit, en désignant par A et Blés dérivées partielles
du second membre /' par rapport à -— et — ^ respectivement, que le module initial du produit AB soit inférieur à -•
170. Quatrième théorème d'existeivce. — Considérons un système différentiel, S, remplissant les conditions ci-après :
I ' Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fondions inconnues qui s'y trouvent engagées, et les seconds membres sont indépendants de toute dérivée principale ; quant aux premiers membres, aucun d'entre eux n'est une dérivée de quelque autre, et deux au moins d^ entre eux sont des dérivées d^ une même inconnue.
2" En attribuant, dans toutes les équations du système, aux variables des cotes respectives toutes égales à i, et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités {inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant.
Cela étant, et dans les limites oii certaines restrictions d inégalité {concernant les valeurs initiales des variables indépendantes, des inconnues et de quelques-unes de leurs dérivées paramétriques) se trouvent satisfaites , il faut et il suffit, pour que le système S soit complètement intégrable, qu'en attribuant aux notations 0 et Y le même sens que dans les n^^ 163 et 166, l'élimination des dérivées principales de cotes
effectuée entre les équations
(19) Ss, Ss+1, ..., Sp+i, Sr+2
(n" 14-4), conduise à des identités.
Les restrictions d'inégalité auxquelles fait allusion notre énoncé sont les suivantes :
i" En désignant par 8, comme nous venons de l'indiquer, la cote
minima des premiers membres de S, et par A leur cote maxima, on
peut, des groupes
Sg, Sg-i-i, . . . , S^
du système S prolongé, extraire respectivement des groupes,
tZi ^ô+ii • • • 1 ^\i
possédant la triple propriété de comprendre respectivement les groupes
du système S (n" 14i), de se composer d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dérivées principales de cotes
et d'être successivement résolubles par rapport à ces dérivées.
2" Les restrictions spécifiées à l'alinéa IX du n'^ 167 doivent, elles aussi, se trouver satisfaites.
3** Le système du premier ordre, S, que l'ensemble des restrictions précédentes permet, comme nous allons le voir, de déduire de S à l'aide du uiécanisme décrit au n' lo9, peut, par un simple changement linéaire et homogène des variables indépendantes, suivi d'une résolution convenable, être transformé en un autre, Q, remplissant les conditions spécifiées au n" 161.
11 résulte, en effet, des deux premières restrictions qu'en désignant par
des groupes respectivement extraits de
^A-i-ii SA-h2î • • • SOUS la seule condition d'avoir pour premiers membres (sans omission
SYSTÈMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTENCE. 389
ni répétition) les dérivées principales de cotes les groupes
sont successivement résolubles par rapport à ces dérivées (n" i67). On peut alors, du système S, déduire un système du premier ordre, S, par le mécanisme indiqué au n" 159; et, cela étant, il résulte de la troisième restriction que les conditions nécessaires et suffisantes pour la passivité du système S sont celles mêmes (n'* 166) que for/nule notre énoncé actuel relativement aux groupes (19). Ces conditions sont donc nécessaires pour que le système soit complètement intégrable; elles sont d'ailleurs suffisantes, puisque, en les supposant satisfaites, notre proposition du n" 167 assure la convergence des développements des intégrales hypothétiques répondant à des conditions initiales données (voir n" 103).
171 . Considérons, en terminant, un système dilTérentiel résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions mco/2/iwe5 qui s'y trouvent engagées; dans ce système, faisons abstraction, jusqiCà nouvel ordre, de toute équation dont le premier membre serait une dérivée de quelque autre (cette suppression ne change pas l'économie des conditions initiales), et supposons que le système résultant, S, satisfasse aux hypothèses formulées dans V un ou Vautre des no^ 163, 168, 170.
Cela étant, pour que le système primitivement donné soit complètement intégrable, il faut et il suffit : x"" que le système S le soit lui-même ; 2" que les équations jusqu'ici négligées soient (chose très facile à vérifier) de simples conséquences numériques de S prolongé.
Effectivement, puisque S fait partie du système donné et que l'économie des conditions initiales est la même dans les deux systèmes, il faut et il suffit, pour que le système donné soit complètement intégrable : r' que le système S le soit lui-même; 2" que les équations jusqu'ici négligées soient, au point de vue de l'intégration, des conséquences de S.
Or, le système S étant supposé complètement intégrable, si l'on consirlère les équations restantes et qu'on y remplace les dérivées
SgO CHAPITRK X. — SYSTEMES PLUS GÉNÉRAUX : THÉORÈMES d'eXISTENCE.
principales par les expressions (indépendantes de toute dérivée principale) qu'en fournit S prolongé, les équations résultantes doivent être, elles aussi, des conséquences de S au point de vue de l'intégration ; par suite, S étant complètement intégrable, elles doivent être numériquement vérifiées par des valeurs arbitraires de toutes les quantités qu'elles renferment (variables, inconnues, dérivées paramétriques); les équations négligées sont donc forcément des conséquences numériques de S prolongé. Inversement, d'ailleurs, si elles sont des conséquences numériques de S prolongé, elles sont, à plus forte raison, des conséquences de S au point de vue de l'intégration, et il est clair qu^ on peut les néglige?' sans change/- la solution générale du système primitif.
APPLICATIONS DES THEORIES PRÉCÉDENTES. SqI
APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES A L'INTÉGRATION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES AUXQUELS CONDUISENT : 1° L'ÉTUDE DES DÉFORMATIONS FINIES D'UN MILIEU CONTINU DANS L'ESPACE A UN NOMRRE QUELCONQUE DE DIMEN- SIONS; 2° LA DÉTERMINATION DES SYSTÈMES DE COORDONN-ÉES CURVILIGNES ORTHOGONALES A UN NOMRRE QUELCONQUE DE VARIARLES.
Étude préliminaire d'un système d'équations algébriques.
172. Les lettres m, v, . . ., w étant supposées en nombre égal à n, considérons, entre les n- indéterminées
, Wi, Pi, .. ., Wi, /., ) "2, t'2, . . ., «^2,
le système des équations algébriques
( 2 ) Uj Uk -4- t^y (^A H- . • . + Wj Wk = Ty,/, ( OU Z^cJ ) :
dans l'équation (2), (y, k) désigne une combinaison de deux entiers, distincts ou non, pris dans la suite 1,2, ..., ai, et le second membre est une constante donnée, indifféremment désignée par -Zj^h
Relativement aux n'^ indéterminées (i), le système (2) possède autant de déterminants diOerentiels (n'' 117) qu'il y a de manières de
former, avec n- objets, des combinaisons contenant chacune ^^^"*" '^
objets distincts. Pour se représenter commodément l'une dje ces combinaisons, on peut procéder comme il suit : construire un quadrillage rectangulaire dont les lignes correspondent aux n indices i.
CHAIMIKi: XI.
2, . . ., «, les colonnes aux n lettres w, c, . . ., (v, et par suite les n-
cases aux /?- indéterminées (i) ; puis noircir à l'aide de hachures les
— éléments de la combinaison consi-
iH
cases correspondant aux
dérée. On obtiendra ainsi une sorte de damier où les
cases
non
es et les /?* —
ni n
cases blanches pourront offrir
des dispositions relatives variées.
Gela étant, nous dirons qu'une combinaison formée avec
d'entre les indéterminées (i) esl parfaite, si son damier, moyennant un ordre convenable adopté pour les lignes et pour les colonnes, présente la disposition suivante des cases noires et blanches :
Dans la première colonne, les n cases sont noires;
Dans la deuxième colonne, parcourue de hautenbas, les n — i premières cases sont noires et la dernière blanche;
Dans la troisième colonne, parcourue de haut en bas, les n — 2 premières cases sont noires et les deux dernières blanches ;
Etc.;
Enfin, dans la /z'<^"'*^ colonne, parcourue de haut en bas, la première case est noire et les n — i dernières blanches.
Par exemple, si l'on suppose /i = 3, d'où
Aï ( /i H- I )
à la combinaison (six à six)
cor
respondra le damier ci-dessous :
Et une combinaison des neuf indéterminées six à six sera parfaite, si
APPLICATIONS DES THÉOIUES PRÉCÉDENTES. SgS
son damier, moyennant un ordre convenable adopté pour les lignes et pour les colonnes, ofîre la disposition suivante :
173. Si l'on attribue aux /i^ indéterminées (i) des valeurs numériques n'annulant pas leur déterminant, les divers déterminants différentiels du système (2) qui correspondent aux diverses combinaisons parfaites (n" 172) des indéterminées ne peuvent S' annuler à la fois.
I. La profiosition est vraie pour n ^= 1. On a, en pareil cas,
et le système (2) devient
<' Ml M2 -h PjP, = 1x^2
(ou T2,l),
En prenant les dérivées premières des premiers membres de (3) successivement par rapport aux quatre indéterminées,
qui s'y trouvent engagées (et en supprimant le facteur 2 dans certaines lignes), on obtient le Tableau rectangulaire
Ml,
Mî,
La seule inspection de ce Tableau nous montre que si, pour en extraire un déterminant du troisième ordre, on s'assujettit expressément à y prendre les deux premières colonnes, le déterminant diOe-
renliel ainsi obtenu sera le produit du déterminant
par l'une ou par l'autre des quantités
dans le premier cas, on aura le déterminant différentiel correspondant à la combinaison
