LA

dans le second cas, le déterminant différentiel correspondant à la combinaison

Èm&

ta

et ces deux combinaisons sont manifestement parfaites. Or, dans les deux produits dont nous venons de parler, le premier facteur, c'està-dire le déterminant (4), est, par hypothèse, différent de zéro; et comme, en vertu même de cette non-nullité, les deux quantités (5) ne peuvent être nulles à la fois, il y a au moins un des deux produits où le second facteur est, comme le premier, différent de zéro.

Il existe donc forcément quelque combinaison parfaite à laquelle correspond un déterminant différentiel différent de zéro.

II. Si La proposition est vraie pour une valeur de n, elle V est pour la valeur suivante n -\- i.

Considérons, entre les (ai H- i)^ indéterminées

Wl,

. ., tV2,

Si,

Un,

Sn,

Vn+\' •

Sn-¥\

APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES. SgS

le système des ■ équations

( 7 ) uj Ma -+- Py t'A- -h . . . -+- wj Wk -f- Sj Sk = zj,k ( ou z^.j ) :

dans l'équation (7), (y, k) désigneune combinaison de deux entiers, distincts ou non, pris dans la suite i , 2, . . ,, /i, n -{- i , et le second membre est une constante donnée, indifféremment désignée par Ty^^ ou -Zffj. Le déterminant d'ordre /i -f- 1 formé avec les quantités (6) étant, par hypothèse, différent de zéro, l'un au moins des déterminants d'ordre n extraits des n premières lignes est différent de zéro, par exemple le déterminant

Ml ^1 ... Wi U2 V-i ... (V2

formé avec les n premières lignes et les n premières colonnes de (6). En vue de la démonstration qui va suivre, nous partagerons les équations (^) en deux groupes : dans un premier groupe^ nous mettrons les n + i équations

M, M,^^-l-^- ^i P„+,+.. .H- W^ tV,i+, -+- Si S« + i == ti,«+i, «2 Un-hl-^ ^'2 «^«+1-4-. . .H- t^2 ^n + \-^ •?, 5„+i = T2,«+I,

dont les premiers membres s'obtiennent en combinant la ligne de

rang n -\- i du Tableau (6) successivement avec les lignes de rangs i ,

j j ... 1 /i(n -h i) 2, . . ., /?, /i -h 1 ; dans un second groupes, nous mettrons les

équations restantes du système; nous observerons enfin que dans les équations du second groupe ne figurent plus les éléments de la dernière ligne de (6), et que, si l'on y néglige par la pensée les produits des éléments de la dernière colonne, leurs premiers membres ne sont autres que ceux du système (2).

Cela étant, considérons, parmi les déterminants différentiels du système (7), ceux qui se rapportent aux n -4- i indéterminées de la

dernière ligne de (6) et à — ^indéterminées prises dans le Ta-

bleau (8), mettons, comme à l'alinéa précédent, dans une même colonne les dérivées premières qui se rapportent à une même indéterminée, dans une même ligne celles qui proviennent d'une même équation du système (7), et disposons comme il suit les colonnes et les lignes d'un pareil déterminant : parmi les colonnes, mettons aux premiers rangs celles qui se rapportent aux n + i indéterminées

W«-i-li ^n+\i •••1 «^«-+-li Sfi-hii

et, parmi les lignes, mettons aux premiers rangs celles qui se rapportent aux n -\- i équations du premier groupe. Dans le Tableau partiel que forment les n H- 1 premières colonnes du déterminant, les n -\- I premières lignes [après suppression du facteur 2 dans Isi (n -{- i)'^"»'] seront précisément les n -f- 1 lignes du Tableau (6), et toutes les lignes suivantes seront exclusivement composées de zéros : le déterminant différentiel considéré s'obtiendra donc en multipliant le déterminant des quantités (6) par le déterminant diflerentiel des

^ équations du second groupe relatif à des quantités (8),

ou, ce qui revient évidemment au même, en multipliant le déterminant des quantités (6) par un des déterminants différentiels du système (2).

Or : i" le déterminant des quantités (6) est différent de zéro ; 2" le déterminant (8) étant, comme nous l'avons dit, différent de zéro, le système (2) possède, par rapport à quelque combinaison parfaite des n'^ indéterminées (8), un déterminant différentiel différent de zéro ; 3" en associant aux /) -\- i éléments de la dernière ligne de (6) une combinaison parfaite des n^ indélerminées (8), on obtient manifestement une combinaison parfaite des (/?-i-i)^ indéterminées (6).

Il existe donc bien une combinaison parfaite de ces dernières à laquelle correspond, dans le système (7), un déterminant différentiel différent de zéro.

IJI. L'exactitude générale de notre proposition résulte du simple rapprochement de I et 11.

174. Pour que le système (2) possède quelque solution numérique n'annulant pas le déterminant des quantités (i), il est né-

cessaire que la forme quadratique

2'^/,/X/4-2^v,A-X,X,. iJT^k),

aux n indéterminées X<, X2, ..., X,,, soit décomposable en une somme algébrique de n carrés indépendants.

Réciproquement, si une pareille décomposition est possible, aucune des solutions numériques, en nombre infini, du système (2) n'annule le déterminant des quantités (i).

En désignant enfin par

V une quelconque de ces solutions numériques, et par

'ni P/ii

les éléments cV un déterminant orthogonal arbitraire (d^ ordre n)^ la solution la plus générale du système {ol) est donnée par les formules

U{ = /l Ul -h/Pi Çl -h. , .4- 9^1 'i'i, ^1 = ^2 '->1 -t-/^2 'fl -+-•••-+- ^2 'j^l,

tv, = /„u, 4-/?„cpi +. . .-f- 9',j4;,;