II

U.^ = /j 'J2 +/>i Cp2 H-.

I «^2 = In ^i^ Pn^^.-^ .' .-\- qn'^i \

U,i = /i u,, H- /^i cp/i -h . . -+- ^1 4/„, t'« = ^2 y« + />2 ?« -H . . . H- <72 4^«,

«*« = In '->« -^ /?/j <fn-h. . .-+- qn ^n-

(On qualifie à'' orthogonal tout déterminant possédant la double ^p propriété : 1" que la somme des carrés des éléments d'une colonne quelconque soit égale à l'unité; 2*' que la somme des produits des éléments de même rang dans deux colonnes quelconques soit égale à zéro. Quand cette double propriété existe pour les colonnes, elle existe aussi pour les lignes. Enfin, tout déterminant orthogonal a pour valeur -\- \ ou — 1 .)

I. Nous rappellerons qu'en vertu des propriétés élémentaires des formes linéaires, le nombre des cairés indépendants en lesquels une forme quadratique donnée peut se décomposer est invariable (et au plus égal au nombre des indéterminées dont la forme quadratique dépend); et que, si une forme quadratique, décomposable en h carrés indépendants, se trouve décomposée en h carrés, ces derniers sont nécessairement indépendants.

II. La forme quadratique la plus générale (à n variables X,, X2, . . ., X,î ) décomposable en n carrés (indépendants ou non) est

ou

(wi Xi

H-(Pl Xi

-+- t^2 Xg-f-.

.+ ^« ^nY

-h(«^iX,

+ (VaXa-h.

.+ Wn^nY

Un,

Vn,

(Vi, Wi,

désignent «- constantes (réelles ou imaginaires) arbitrairement choisies ; en l'ordonnant par rapport à X,, X2, . . ., X,/, elle devient

11 est visible dès lors qu'à toute solution numérique du système {2) correspond une décomposition de la forme quadratique (9) en n carrés, et réciproquement.

Cela étant, si le système (2) admet quelque solution numérique n'annulant pas le déterminant des quantités ( i ), la forme quadratique (c)), identique à (12) ou (i4) pour les valeurs considérées de ces quantités, est bien, comme l'indique l'énoncé, décomposable en n carrés indépendants.

Réciproquement, si la forme quadratique (9) est décomposable en n carrés indépendants, toute décomposition en n carrés se trouve forcément constituée par des carrés indépendants, et, dès lors, toute solution numérique du système (2) laisse différent de zéro le déterminant des quantités (i).

111. Si, dans une forme quadratique à n variables, décomposable en n carrés indépendants^ on effectue un changement linéaire et homogène des variables, la forme ainsi obtenue est, comme la première^ décomposable en n carrés indépendants, et les décompositions en n carrés se correspondent chacune à chacune dans les deux formes.

Soit, en effet,

( ai Xi -t- «2 X2 -H . . . -f- a,ï X„ )2

-+- (6, Xi-4- 62X2 + . . .-f- 6« X„)2

-4-(/ïiXiH-/i2X2-t-...-}-A„X„)2

une décomposition de la forme quadratique donnée en n carrés : les n formes linéaires entre parenthèses, nécessairement indépendantes (I), conserveront cette propriété après un changement linéaire et homogène des variables, et à toute décomposition de la forme quadratique primitive en n carrés correspondra une semblable décomposition de la nouvelle; réciproquement.

I\ . Si Von considère la forme quadratique

(i5) U24-V2-h...+ WS

aux n indéterminées U, V, . . . , W, la formule générale de sa décomposition en n carrés est

OÙ les lettres l^ p-, . . ., q ont la même signification que dans notice énoncé général.

Car, en écrivant que la forme (16) est identique à (i5), on exprime précisément que les quantités (10) forment un déterminant orthogonal.

V. Supposons la forme (9) décomposât le en n carrés indépendants, et soit

( Ui Xi -h O2 X2 -h . ■ . -H o„ X„ )2

+ (cpiX,-+- CP2X2 + ...-+- 9«X„)2

-4-(4;iX,-f-^2X2 + ...-t-<]^„X„)2

l'une quelconque de ses décompositions en n carrés : en vertu de l'hypothèse faite sur la forme (9), les /^- quantités u, o, . . ., ^ forment un déterminant différent de zéro.

Cela étant, si, dans la forme (9), on effectue le changement de variables linéaire et homogène

elle devient

Ui Xi -h U2 X2 -+- . . . H- U/i X„ = U,

Cpi Xi -I- Cp2 X2H- . . .H- C2,j X„ = V,