x.-f-t];2X, + ...+ ^,,x„==vv

Dans cette nouvelle forme, la décomposition la plus générale en n carrés est donnée (IV) parla formule (16); il en résulte (III) que, dans la forme (9), la décomposition la plus générale en n carrés est donnée par cette même formule (16), où l'on se contente de remplacer U, V, . . .,W par leurs valeurs tirées des formules (17).

En d'autres termes, la décomposition la plus générale de (9) en n carrés est donnée par la formule (12), ou les quantités (i3) ou (i) reçoivent toutes les valeurs déterminées par les formules (i i) de notre énoncé général.

VI. J^a forme quadratique (9) étant décomposable en n carrés indépendants, le simple rapprochement des alinéas II et V montre que la solution générale du système (2) est bien celle qu'indique notre énoncé.

APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES. l\OÏ

17d. La forme quadratique (g) étant supposée décomposable en n carrés indépendants, si Von considère comme initiales les ji"^ valeurs particulières des indéterminées (i) qui constituent une solution numérique du système (2), on peut, à partir des valeurs dont il s^ agit, résoudre ce dernier, conformément au principe général des fondions implicites (n'' 120), par rapport à quelque combinaison parfaite des n- indéterminées (n" 172).

C'est là une conséquence immédiate des deux numéros précédents.

176. Les constantes 1 étant supposées réelles, pour que le système (2) possède quelque solution numérique réelle n' annulant pas le déterminant des quantités [\)^ il est nécessaire que la forme quadratique (9) soit la somme {proprement dite, et non algébrique) des carrés de n formes linéaires indépendantes à coefficients réels.

Réciproquement, si une pareille décomposition est possible, aucune des solutions numériques réelles, en nombre infini, du système (2) n'annule le déterminant des quantités (i).

En désignant enfin par

l'une quelconque de ces solutions numériques réelles, et par

In Pn • • • qn

un déterminant orthogonal arbitraire {d'ordre n) à éléments réels, la solution réelle la plus générale du système (2) est donnée par les formules (11).

Kfï'ectivemenl, la forme quadratique réelle la plus générale (à ai variables X,, X2, ..., X^) décom[)Osable en la somme (propremensl dite) des carrés de n formes linéaires (indépendantes ou non) à coef-

fîcienls réels est

(Ui Xi-^ U-yXi-h. . .-\- Un Xji)' -4-(pl Xi+(^2 X^^....^ Va X„)2

(lV,Xi+ «^2X2 + . . .+ W,iX„)2.

llX^ «21 ■ • '1 «/il

Pi, 1^2, •.., Va,

tVi, W2, ..., tV„

désignent /i^ constantes réelles arbitrairement choisies; en l'ordonnant par rapport à X,, X2, . . ., X,/, elle prend la forme (i4)- On voit par là qu'à toute solution numérique réelle du système (2) correspond une décomposition de la forme (9) en la somme (proprement dite) de n formes linéaires à coefficients réels, et réciproquement.

Cela étant, si le système (2) admet quelque solution numérique réelle n'annulant pas le déterminant des quantités (1), la forme quadratique (9), identique à (i4) pour les valeurs considérées de ces quantités, est bien décomposable comme l'indique l'énoivé.

Réciproquement, si la forme (9) est décomposable comme l'indique l'énoncé, toute décomposition en la somme (proprement dite) des carrés de n formes linéaires à coefficients réels se trouve forcément constituée par des carrés indépendants, et, dès lors, toute solution numérique réelle du système (2) laisse difîerent de zéro le déterminant des quantités (i).

On répétera alors, avec les modifications voulues, les raisonnements des alinéas III, lY, V et VI du n*^ 174.

Étude du système d'équations aux dérivées partielles auquel conduit la théorie des déformations finies dans l'espace à n dimensions; conditions de possibilité.

177. Désignant par (y, k) une combinaison de deux entiers, distincts ou non, pris dans la suite 1,2,..., /z, par ^j^/( ou 'j./,j une fonction donnée, et par

n fonctions inconnues des variables indépendantes

nous considérerons le système des équations aux dérivées

partielle:

du du dv ôv

dxj dx]^ dxj dx/,- ' ' ùxj dxk

et nous adopterons pour ce système la notation abrégée

X7 du du

où les sommations indiquées parle symbole ^ doivent s'étendre aux n fonctions inconnues u^v^...^w. Un pareil système se dé'duit, comme on voit, du système algébrique

Uj Uk + Vj P/, + . . . -+- Wj Wl, = Ty,/,,

considéré au n"^ 172, en y remplaçant, d'une part, les ri- indéterminées

respectivement par les n- dérivées premières des fonctions inconnues «, ^', ...,«^, d'autre part les constantes Ty^^ (=: T/^^y) respectivement par les fonctions données !j.y y^(=i= aA,y).

Occupons-nous tout d'abord de déterminer la région de l'espace [[x,, Xo, . . ., J7/;] dans laquelle il convient de faire mouvoir les variables indépendantes.

En premier lieu, l'existence des dérivées d'une fonction impliquant, d'après les définitions posées, l'olotropie de cette fonction, et les dérivées étant olotropes dans les limites où la fonction Test elle-même (n'" 4-9, 50, 52), nous n'avons pas à faire varier ^<, x^-, ..-, Xa au delà des limites où les seconds membres ^j^k le sont tous à la fois.

D'ujt autre côté, les seuls groupes d'intégrales dont la recberche soit intéressante au point de vue des applications sont ceux pour lesquels le déterminant difterentiel

du dv dw

dxi dxx dxi

du dv ôiv

i ■> ) àxi dxi dX2

dx„

dw dxn

4o4 CHAPITRE XI.

n'est pas identiquement nul : si donc nous nous bornons, comme il est naturel de le faire, à la recherche exclusive de ces groupes d'intégrales, nous n'avons pas à faire varier ^, , x^, . • ., ^z^,/ au delà des limites où la forme quadratique

est décomposable en une somme algébrique de /? carrés indépendants (n" 174).

La région, Ti, dans laquelle nous ferons mouvoir les variables Xi^ .T-2, ..., .x,i^ sera donc supposée satisfaire à la double condition suivante :

i" La région 11 est normale, et les seconds membres du système (i) y sont tous olotropes (n'"* 41 et 12).

2" Pour tout point de la région "U, la forme quadratique (3) est décomposable en une somme algébrique de n carrés indépendants.

178. Bien que les équations (i) ne contiennent pas explicitement w, (', ..., (V, il est toujours permis de les considérer comme subsistant entre

37], 372, • • • 1 ^ili

elles n- dérivées premières de //, (\ ..., w, par rap[)ort à .r,, x^^ ..., ^/,, soit en tout n [n -\- i) quantités : il va sans dire alors que, dans toute solution numérique du système, les valeurs de w, r, . . ., iv sont entièrement arbitraires.

Gela étant, et en assujettissant, comme il vient d'être dit (n" 177), les variables ;r,, ^^2, ..., x„ à ne pas excéder la région 11, le système (i) possède diverses propriétés que nous allons successivement énumérer.

I. Etant donné un système du premier ordre, résolu par rapport à certaines dérivées (premières) des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, nous avons vu (n'* 90) comment on peut, pour en disposer nettement les diverses équations, les écrire dans les cases d'un quadrillage rectangulaire dont les lignes correspondent aux variables indépendantes et les colonnes aux fonctions inconnues.

Gela étant, si l'on considère comme initiales les valeurs qui constituent Tune quelconque des solutions numériques du système ( i )i il

résulte du n" l7o qu'à partir de ces valeurs le système peut toujours être résolu (conformément au principe général des fonctions implicites, n*^ 120) par rapport à ;— — dérivées premières choisies de

telle façon que, moyennant un ordre convenable adopté pour les n lignes et pour les n colonnes du quadrillage, les cases pleines et vides offrent la disposition suivante :

Dans la première colonne, les n cases sont pleines;

Dans la deuxième colonne, parcourue de haut en bas, les n — i premières cases sont pleines et la dernière vide;

Dans la troisième colonne, parcourue de haut en bas, les n — 2 premières cases sont pleines et les deux dernières vides;

Etc. ;

Enfin, dans la ai**'"'* colonne, parcourue de haut en bas, la première case est pleine et les n — i dernières vides.