AF

sauf à l'intérieur du corps 2 où elle satisfait à l'équation

L'énei^e magnétique E peut s'écrire

E = - i^ I (F, + F,) (A F, + AF,) du».

Mais, selon le théorème de Green,

r F^AF.rfuj = ( r^AV,

dix).

On peut donc écrire :

E ^j"F.AF,du,-|^JF,AF,rfu;-^j'F.AF.d«,

OU bien, en vertu des propriétés de la fonction Fj,

E ^ (^1 F.AF.du) + I F,AF,rfuj) + j F.p.du).

Supposons que l'aimant 1 demeurant invariable d'aimantation et de position, l'aimant 2 se déplace comme un solide rigide, en

entraînant son aimantation; on pourra dire également qu'il entraîne avec lui sa fonction potentielle F,. Les deux intégrales

f F.AF^dui, r F.AFjduj,

étendues à tout l'espace, garderont visiblement des valeurs invariables. Si l'on désigne par dx^y dy^^ dz^ les composantes du déplacement d'un point de Télément d\ï}^y appartenant au corps % on aura

dE est d'ailleurs égal au travail interne accompli dans la modification considérée, changé de signe. Tout se passe donc comme si sur chaque élément d[x)^ du corps 2, le corps 1 exerçait une force ayant pour composantes

D'ailleurs, les caractères analytiques attribués à la fonction F^ exigent que l'on ait

Les composantes de la force exercée par l'aimant 1 sur un élément d»!^ de l'aimant 2 sont donc

X = — - pg dujg

Z =- p- dUi- r— ( — (iuj, .

Elles sont les mêmes que si deux masses magnétiques m^ » p^ (^ui^

et m^ — p^ dix)^ , séparées par une distance r, se repoussaient avec une force

1 tn^m^

Cette proposition semble s'accorder avec les lois connues du magnétisme; en réalité, il y a lieu de reproduire ici la remarque que nous avons déjà faite : la théorie précédente est intimement liée à une hypothèse inadmissible ; elle suppose que le coefficient ^ a la même valeur pour tous les corps, aussi bien pour les aimants que pour le milieu tel que Tair au sein duquel on les plonge.

§ 6. La théorie du Magnétisme dans le Traité d'Electricité

ET DE Magnétisme.

* Dans ce traité, dit Maxwell (*), je me propose de décrire les plus importants de ces phénomènes (électriques et magnétiques), de montrer comment on peut les soumettre à la mesure et de rechercher les relations mathématiques qui existent entre les quantités mesurées. Ayant ainsi obtenu les données d'une théorie mathématique de l'électromagnétisme et ayant montré comment cette théorie peut s'appliquer au calcul des phénomènes, je m'efforcerai de mettre en lumière, aussi clairement qu'il me sera possible, les rapports qui existent entre les formes mathématiques de cette théorie et celles de la science fondamentale de la Dynamique; de la sorte, nous serons, dans une certaine mesure, préparés à définir la nature des phénomènes dynamiques parmi lesquels nous devons chercher des analogies ou des explications des phénomènes électromagnétiques. „

L'objet de l'ouvrage étant ainsi nettement déterminé, le problème suivant y doit jouer un rôle essentiel :

Des lois fondamentales de l'électricité et du magnétisme, tirer l'expression de Ténergie électrostatique et de l'énergie électromagnétique; montrer que ces deux énergies sont susceptibles de

(*) J. Glerk Itaxwell, Traité cTÉlectricUé et de Magnétisme, Préface de la V édition; 1. 1, p. IX de la traduction française.

^ iïïk —

se mettre sous la forme que le mémoire : On physical Lines of Force a attribuée à Ténergie potentielle et à la force vive du milieu dont les déformations mécaniques imitent ou expliquent les phénomènes électromagnétiques.

Gomment est réalisée la partie de ce programme qui concerne l'énergie électrostatique, nous Tavons déjà vu (*). Examinons maintenant la détermination de l'énergie électromagnétique.

Maxwell parvient à l'expression de cette énergie par deux méthodes différentes; l'une de ces méthodes fait appel aux lois de l'électromagnétisme, tandis que l'autre, restreinte aux systèmes qui ne renferment pas de courants, repose exclusivement sur la théorie du magnétisme.

Le Traité d^ Électricité et de Magnétistne, en effet, expose une théorie complète du magnétisme. Cette théorie forme la troisième partie de l'ouvrage.

La théorie du magnétisme exposée par Maxwell est la théoïîe classique créée par les travaux de Poisson, de F. E. Neumann, de G. Kirchhoff, de W. Thomson, la théorie dont nous avons résumé précédemment (**) les propositions essentielles. Il y considère, en particulier, Vintensité d'aimantation, définie comme nous l'avons fait au passage cité.

Les composantes A, B, C de cette intensité d'aimantation servent, pour Maxwell comme pour Poisson (***), à définir la fonction potentielle magnétique par la formule

A cette fonction, les composantes a, p, t du champ sont liées par les relations

(*) 1" partie, Chapitre IV, § 2. (••) !'• partie, Chapitre I, §1.

(**♦) !»• partie, égalité (1). — J. Clerk Maxwell, Traité d^ÉlectricUé et de Magnétisme, trad. française, t. II, p. 10, égalité (8).

Cette fonction potentielle peut s'exprimer également au moyen des deux densités, solide et superficielle, p et (T, du fluide magnétique fictif par l'égalité

et ces densités sont liées aux composantes de l'aimantation par les égalités (*)

/a)i\ hA . bB . bC

(95) A cos (N<, x) + B cos (N<, y) + C cos (N<, e) = — a,

déjà données par Poisson.

Â côté de l'intensité d'aimantation, mais sans la confondre avec elle, comme il semble l'avoir fait en ses premiers écrits, Maxwell considère (**) YinducHon magnétique. Les composantes A, B, C de cette grandeur sont définies par les égalités

IA = a + 4^-4, B = p + inB, C =- T + 4^C,

que les égalités (93) permettent également d'écrire

C = 4îtC — ^.

En restituant à l'induction magnétique son sens propre, Maxwell laisse tomber la relation que, sous deux formes différentes et

(•) !'• partie, égalités (2) et (3). — J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 11. (•*) J. aerk Maxwell, loe. cU., n« 400, p. 28.

incompatibles, il avait voulu établir entre les composantes de l'induction magnétique et la densité de la matière magnétique fictive. Par là, il renie implicitement tous les raisonnements, si essentiels en ses précédents écrits, qui invoquaient cette relation. En tout point d'un milieu continu, on a {*)

5jr -t- fty» -r 5^ «" ^{,3. 1- j,y -t- En vertu des égalités (97), cette égalité devient (**)

De cette dernière égalité, il résulte que l'on peut trouver trois fonctions F, 6, H, telles que l'on ait

bH î)G .

by hz ~ ^'

bx by

Maxwell écrit ces équations (***) et donne le nom de potentiel vecteur de Vinduction magnétique à la grandeur dont F, G, H sont les composantes. A ce sujet, il nous faut répéter l'observation que nous avons déjà faite touchant les égalités (80*'^') : les égalités (99) ne suffisent pas à déterminer les fonctions F, G, H, tant qu'pn laisse indéterminée la valeur de la somme

bF feG bH

bx by bz ^

(♦) 1" partie, égalité (4).

(**) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 57, égalité (17).

(***) J. Clerk Maxwell, loc. cit., n» 405, p. 32, égalités (21). Dana le Traité de Maxwell, le signe des seconds membres est changé par suite d*an choix différent des axes de coordonnées.

Dans un corps parfaitement doux où la fonction magnétisante se réduit à un coefficient k indépendant de l'intensité d'aimantation, on a

(100) A^ka, £ = kp, C = kf.

Les égalités (96) deviennent alors

Entre les composantes de l'aimantation et les composantes de l'induction magnétique, on retrouve les relations (59). Si Ton pose

(101) ^ = 1 + 4ttA;,

les égalités (96) et (100) donnent les égalités {*)

(102) A = ^a, B = mP, g = fiT,

qui, dans les précédents écrits de Maxwell, servaient à définir l'induction magnétique.

Venons à la détermination de l'énergie magnétique.

Un aimant 1, dont {x^^yi^ Zi) est un point et dix)^ un élément, se trouve en présence d'un autre aimant dont V^ est la fonction potentielle magnétique; ces deux aimants sont des solides rigides et, à chacun de leurs éléments, est invariablement liée une intensité d'aimantation; tandis que l'aimant 2 demeure immobile, l'aimant 1 se déplace; les actions de l'aimant 2 sur l'aimant 1 effectuent un certain travail; selon les doctrines classiques du

(*) J. Glerk Maxwell, loc, cit., p. 57, égalités (16).

magnétisme, ce travail est égal à la diminution subie par la quantité

Maxwell démontre cette proposition (*), qui est universellement acceptée.

Prendre cette proposition pour point de départ et en conclure que Ténergie d'un système quelconque de corps aimantés est donnée par l'expression

où V est la fonction potentielle magnétique du système entier et où l'intégrale s'étend à tout le système, c'est évidemment faire une hypothèse; cette hypothèse, les progrès récents de la thermodynamique montrent qu'elle n'est pas justifiée ; mais elle devait sembler naturelle à l'époque où Maxwell écrivait ; aussi Maxwell l'adopte-t-il (**).

Dès lors, une transformation classique permet d'écrire

ou bien, en vertu des égalités (93),

(104) E - 1 I (a» + p« + T«) du).

Telle est l'expression de Ténergie magnétique à laquelle parvient Maxwell (***).

Cette expression ne coïncide pas avec l'expression (73) qu'il désirait retrouver; le facteur jii fait défaut sous le signe d'intégra-

(*) J. Glerk Maxwell, loe. cit., p. 18, égalité (3). (**) J. Glerk Maxwell, loc, cit., p. 304, expression (6). (***) J. Caerk Maxwell, Joe. cit., p. 305, égalité (11).

tion. Pour retrouver l'expression de l'énergie électromagnétique à laquelle il désire parvenir, Maxwell devra faire appel à la théorie de rélectromagnétisme.

§ 7. La théorie de Vilectramagnitisme dans le Traité d'Électricité et de Magnétisme.

Résumons brièvement la théorie de rélectromagnétisme, telle que Maxwell l'expose dans son Traité.

D introduit tout d'abord un vecteur, de composantes F, G, H, auquel, dans un système immobile, mais d'état électrique variable, les composantes El,, E'yj E'^, du champ électromoteur d'induction devront être liées par les égalités (*)

(105) ft--f. K--^. e: — ^.

Ce vecteur est donc ce qu'il avait nommé, dans ses précédents écrits, Y état électrotonique ou le moment électromagnétique; il le nomme maintenant quantité de mouvement éleetrodnétique (**) ; puis, aussitôt, il émet cette affirmation (***) ;

* Ce vecteur est identique à la quantité que nous avons étudiée sous le nom de potentiel vecteur de l'induction magnétique. „

Â l'appui de cette affirmation, Maxwell esquisse un commencement de preuve (iv). Les expressions (105) du champ électromoteur d'induction, appliquées à un fil fermé et immobile, donnent l'expression suivante pour la force électromotrice totale d'induction qui agit dans ce fil :

J \bt ds "^ ht ds "^ bt dsj

Dans cette expression, l'intégrale s'étend à tous les éléments linéaires ds en lesquels le fil peut être partagé.

(*) J.. Glerk Maxwell, loe. cit., p. 267 et p. 274, égalités (B).

(**) J. Clerk Maxwell, loc, cit., p. 267.

(♦**) J. Qerk Maxwell, loc. cit., p 267.

(ivj J. Glerk Maxwell, loc. oit.y p. 268, a» 592.

Prenons le fil pour contour d'une aire dont dS est un élément ; soit N une normale à l'élément dS, menée dans un sens convenable ; on sait que l'expression précédente pourra s'écrire

r fb AH ^G^ ,„ . . ^ f^^ ^^\ /m ^

^ btXbx

-^)cos(N,«)](fô,

rintégrale s'étendant à Taire considérée.

Mais, d'autre part, si le fil est placé dans un milieu non magnée tique, on sait depuis Faraday que cette force électromotrice est liée à la variation du champ magnétique par la formule

- J [^ cos (N,a;) + ^ cos (N,y) + ^ cos(N,^)] dS.

Les égalités (105) s'accorderont donc avec les lois de Tinduction en un circuit fermé, au sein d'un milieu non magnétique, si l'on a

^ ^ by bz ^ bz bx bx by

Ces égalités (106) peuvent être regardées comme des cas particuliers des égalités

Elles ne les justifient pas, mais elles rendent acceptable l'hypothèse que fait Maxwell en adoptant (*) les égalités (99*^").

(♦) J. aerk Maxwell, loe. cit., p. 268, égalités (A).

Dans le cas où le milieu magnétique est parfaitement doux et où la fonction magnétisante de ce milieu se réduit à un coefficient indépendant de l'intensité d'aimantation C^, on a

(102) A - MO, B = mP, C =. MT

et les égalités (99'''') prennent la forme

— rr MO,

(80^'') ^-^=-mP,

déjà donnée dans le mémoire : A dynamieal Theory of the dectromagnetic Fidd. Jointes aux égalités {**)

xi - >£ = ~ 4^^ («* + «<)'

ba bz

ba by

by V r /i

les équations (80^'^) forment le groupe, aujourd'hui célèbre, des six équations de Maxwell,

Les fonctions F, G, H qui figurent dans les équations (80"'") ne sont pas entièrement déterminées ; deux fois déjà nous en avons fait la remarque; pour achever de les déterminer, il faudrait connaître la valeur de la quantité (***)

{*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 289, n. 614.

(**) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. !286, éfralités (Ë) et p. 290.

(♦*•) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 290, égalité (2).

Or cette quantité a une valeur inconnue, ce qui jette quelque embarras dans le calcul suivant (*) :

Les égalités (80^^) et (31) donnent sans peine les relations

AF = ^ — 47Tfi (u + w),

AG « ^ — 4TrM {v + v),

AH = r- — iTC\i {iC'\-w),

Si donc on pose

(107) \ G' = I tii>^ rfcu.,

formules où les intégrations s'étendent à tout l'espace, on aura

(*) J. Glerk Max\ivell, lœ, cit., p. 290, n» 616. — Ce calcul se trouTait déjà presque textuellement dans le mémoire : A dynamiecU Theory of the eleetromagnetie Field (J. Glerk Maxwell, Sguntific Papers, vol. I, p. 581).

' La quantité x* ajoute Maxwell C**), disparaît des équations (80^») et n'a rapport à aucun phénomène physique. Si nous supposons qu'elle soit nulle, J est aussi nul en tout point, et les équations (107) donnent, en supprimant les accents, les vraies valeurs des composantes « du potentiel vecteur.

La quantité Xi assurément, disparaît des égalités (80^^*) ; mais elle figure aux égalités (105); est-il donc, dès lors, si évident qu'elle n'ait aucune influence sur aucun phénomène physique ? Sans doute, la force électromotrice totale qui agit dans un circuit fermé

J [^bt ds "^ br ds "*" bt dsj ^^

pourra aussi bien s'écrire

— r f^ rfa? bG' di/ bR' dz\ J \bt ds '^ bt ds '^ bt ds)

et sa valeur sera indépendante de la détermination attribuée à la fonction x ; niais il n'en résulte pas que celle-ci n'intervienne dans aucune discussion de physique ; l'affirmer, serait taxer d'absurdité un passage que Maxwell écrit (*♦) tout auprès du précédent.

La force électromotrice qui agit dans un] circuit fermé étant donnée par l'expression

bt ds '^ bt ds '^ bt dsj^^'

Maxwell en conclut que le champ électromoteur a pour composantes en chaque point

bx bt' ^^ by bt ' ' bz bt

puis il ajoute : ' Les termes comprenant la nouvelle quantité y ont été introduits pour donner de la généralité aux expressions de

(*) J. Qerk Maxwell, loe. cit., p. 291.

(**) J. Glerk Maxwell, loc, cit., p. 274.

Ea^Ey^E^. Ils disparaissent quand l'intégrale est prise tout le long d'un circuit fermé. La quantité V est donc indéterminée, du moins en ce qui concerne le problème actuel, où nous nous proposons {l'obtenir la force électromotrice totale qui agit le long d'un circuit. Mais nous verrons que, quand on connaît toutes les conditions du problème, on peut assigner à V une valeur déterminée qui est le potentiel électrique au point {x^ y, z). ^

Si la fonction V joue un rôle dans l'analyse de certains problèmes d'électricité, pourquoi la fonction x n'en jouerait-elle aucun ?

Ce sont les deux groupes d'équations (80^'") et (31) qui vont fournir à Maxwell l'expression de l'énergie électromagnétique qu'il veut obtenir, cela par un calcul presque semblable à celui qui est donné dans le mémoire : A dynamical Theory of the dectromagnetic Field et que nous avons exposé au § 5.

Cette énergie, selon Maxwell, a pour première expression (*)

E = 1 1 [F (w + tt) + G (t? +15) + H (tt? + wJ)] diu. Les égalités (31) la transforment en

Une intégration par parties donne

ou bien, en vertu des égalités (99**'*), (111) E == ^ J (Aa + Bp + Gt) dui.

Dans le cas où le système ne renferme que des corps magné-

(*) J. aerk Maxwell, loc, eU., p. 305, n»* 634 à 636.

tiques parfaitement doux, les égalités (t02) transforment l'égalité (111) en

(73) E«i^j'M(a* + P' + T*)rfu). .

Ainsi se retrouve par une méthode électrodynamique l'expression de Ténergie électromagnétique que le mémoire : On physical Lines of Force avait obtenue au moyen d'hypothèses mécaniques.

Les deux expressions (104) et (73) de l'énergie électromagnétique ne s'accordent pas ; ce désaccord n*échappe pomt à Maxwell et ne laisse pas que de l'embarrasser; tout d'abord, il déclare (*), en parlant de l'énergie magnétique prise sous la forme (104), que ' cette partie de l'énergie sera comprise dans l'énergie cinétique sous la forme que nous allons lui donner ,,, c'est-à-dire sous la forme (73); mais ensuite, il reconnaît {**) que l'expression obtenue pour l'énergie électromagnétique, jointe au postulat qu'une telle énergie représente de la force vive, ne peut s'accorder avec la théorie habituelle du magnétisme : ' Cette façon d'expliquer le magnétisme exige aussi que nous . abandonnions la méthode où nous considérions l'aimant comme un corps continu et homogène dont la plus petite partie a des propriétés magnétiques semblables à celles du tout. Nous devons maintenant considérer un aimant comme un nombre très considérable de circuits électriques

En rédigeant son Traité, Maxwell se proposait de prendre pour point de départ les lois bien établies de l'électricité et du magnétisme et de les traduire par des équations dont la forme laisserait transparaître les liens entre ces lois et les principes de la dynamique; mais la réalité demeure fort loin de cette promesse et, plutôt que d'abandonner une interprétation mécanique à laquelle il tient surtout, Maxwell aime mieux renoncer à l'une des branches les plus parfaites de la physique rationnelle, la théorie du magnétisme; ainsi l'avions-nous vu, dans notre Première Partie, quitter pour les hypothèses les plus aventureuses, la doctrine électrique la plus anciennement constituée, l'électrostatique.

(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 904.

(**) J. aerk Maxwell, loc. cit., p. 909.

L'électrodynamique de Maxwell procède suivant la méthode insolite que nous avons déjà analysée en étudiant l'électrostatique; sous rinfluence d'hypothèses qui demeurent en son esprit vagues et imprécises, Maxwell ébauche une théorie qu'il n'achève pas, dont il ne prend même pas la peine d'écarter les contradictions; puis, il modifie sans cesse cette théorie, il lui impose des changements essentiels qu'il ne signale pas à son lecteur; et celui-ci fait de vains efforts pour fixer la pensée fuyante et insaisissable de l'auteur; au moment où il pense y parvenir, il voit s'évanouir les parties mêmes de la doctrine qui ont trait aux phénomènes les mieux étudiés.

Cette méthode étrange et déconcertante est cependant celle qui conduit Maxwell à la théorie électromagnétique de la lumière.