NÉGATIVEMENT
(*) J. Glerk Maxwell, Traité élémentaire d'Électricité, p. 62.
(**) J. Glerk Maxwell, Traité d Électricité et de Magnétisme, t. 1, p. 174.
(***) Ibid., p. 69.
(iv) Ihid.,^.n.
Gomment deux propositions aussi manifestement contradictoires pouvaient-elles se présenter au même instant à l'esprit de Maxwell et, toutes deux à la fois, entraîner son adhésion ? C'est un étrange problème de psychologie scientifique que nous livrons aux méditations du lecteur.
§ 2. Développement de la troisième électrostatique de Maxwell
Si l'on passe condamnation sur cette première contradiction, si l'on admet les égalités (91), (92) et (93), les équations de la troisième électrostatique de Maxwell se déroulent, au cours de son Traité, exemptes de ces continuels changements de signe qui interrompaient la marche de la deuxième électrostatique.
Si P, Q, R sont les composantes de la force électromotrice, les composantes /, g, h du déplacement sont données par les égalités (*)
(94) f=^P, ,= Kq, ,^Kj^
OÙ K est le pouvoir inducteur spécifique du diélectrique.
Vénergie électrostatique du milieu est donnée par la proposition suivante (**) :
** L'expression la plus générale de l'énergie électrique pour l'unité de volume du milieu est le demi-produit de l'intensité éleclromotrice et de la polarisation électrique par le cosinus de l'angle compris entre leurs directions. „
"■ Dans tous les diélectriques fluides, l'intensité électromotrice et la polarisation électrique sont dans la même direction. „
Pour ces derniers corps (***), l'énergie électrostatique est donc
(95) U = l j(P/"+Q^ + RA)(^a).
(*) J. Glerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, t. I, p. 73 ; t. Il, p. 287.
(**) Ihid., 1. 1, p. 67.
(***) /6»Vi., t.I, p. 176;t.ir, p. 304.
C'est d'ailleurs pour les mêmes corps que les équations (94) sont valables, ce qui permet de donner de l'énergie électrostatique ces deux autres expressions (*) :
Dans le cas où le système est en équilibre électrique, les lois de l'électrodynamique montrent qu'il existe une certaine fonction Y (x, y, z) telle que l'on ait (**)
h^ bY bV
Les expressions (95) et (96) de l'énergie interne d'un système en équilibre peuvent alors s'écrire (***).
/om TT 1 f /-bV. , bH» , bTA .
(-) U^iKf[(SjH-(fJ.(gJ
f/uu.
Une intégration par parties permet de transformer l'égalité (99) en l'égalité
+ ^ j ^ [A cos (N,, X) + g, cos (N,, y) + h, cos (N„ z)
+ /"g cos (N,, x) + g^ cos (N». //) + h^ cos (N,, z)] dS,
(*) J. Clerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, t. I, p. 176. (**) Ibid., t. II, p. 274, équations (B). (***) Ibid., t. Il, p. 303.
la dernière intégrale s'étendant aux diverses surfaces de discontinuité.
Par l'emploi des formules (91), (92) et (93), cette égalité devient (*)
(101) U =HYe<^uj + KyE^S.
D'ailleurs, en vertu des égalités (94) et (98), on a ,,^^ . K W K bV L K^^
et les relations (91) et (92) deviennent
Maxwell, qui donne ces égalités (**), les introduit dans son Traité non pas par le raisonnement précédent, mais par un rapprochement étrange et peu saisissable entre ces égalités et les relations de Poisson
auxquelles satisfait la fonction
(107) V ^ I î c^uj + I
doj.
(•) J. Glerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme 1. 1, p. 108; t. II, p. 303.
Dans une note (*) ajoutée à la traduction française du Traité de Maxwell, M. Potier a déjà fait justice de ce rapprochement ; il est bon d'insister sur ce qu'il a de fallacieux.
Les égalités (105) et (106) sont des conséquences purement algébriques de la forme analytique de la fonction V, forme donnée par l'égalité (107); au contraire, la forme analytique de la fonction Y est inconnue et les égalités (103) et (104) résultent d'hypothèses physiques.
§ 3. Retour à la première électrostatique de Maxwell
Les équations que nous venons d'écrire offrent une profonde analogie avec les équations auxquelles conduit la théorie de la conductibilité de la chaleur; dans son Traité d'Electricité et de Magnétisme, Maxwell ne reprend pas ce rapprochement, qui avait été le point de départ de ses recherches sur les milieux diélectriques; mais il y insiste dans son Traité élémentaire d'Electricité (**). Et en effet, on passe aisément des formules sur la théorie de la chaleur, données au Chapitre II, aux formules que Maxwell donne dans son Traité d'Électricité et de Magnétisme si, entre les grandeurs qui figurent dans ces formules, on établit le tableau de correspondance que voici :
Théorie de la Chaleur
T, température ;
u, V, w, composantes du flux de
chaleur ; A:, coefficient de conductibilité
calorifique ;
;, intensité d'une source solide de chaleur;
J, intensité d'une source superficielle de chaleur.
Électrostatique
/", g, h, composantes du déplace
ment électrique; j^ 4Tr
fique étant K; e, densité électrique solide;
E, densité électrique superficielle.
le pouvoir inducteur spéci-
(*) J. Glerk Maxwell, Traité d'Electricité et de Magnétisme, t. I, p. 106. (**) J. Glerk Maxwell, Traité élémentaire d'Électricité, p. 64.
Dès lors, les égalités (33), (34) et (35) se transforment en les égalités (102), (103) et (104).
Mais en développant sa première électrostatique, Maxwell, nous l'avons vu, avait admis que la fonction Y s'exprimait analytiquement, comme la fonction potentielle V dont il est fait usage en l'électrostatique classique, par la formule
Dans son Traité d' Électricité et de Magnétisme (*\ slu contraire, il met son lecteur en garde contre cette confusion; il nomme distribution électrique apparente une distribution dont la densité solide e' et la densité superficielle E' feraient connaître la fonction Y par la formule
(107''-) Y = (^-duj+ [j dS,
Selon les théorèmes de Poisson, on aurait alors les égalités
En comparant ces égalités aux égalités (103) et (104), on voit que les densités apparentes e\ E', ne peuvent être égales aux densités e, E. En particulier, les égalités (103) et (lOS'''') donnent,
(108) ^n(Ke-e) =__ + __ + __.
(*) J. Clerk Maxwell, Traité d'Electricité eu de Magnétisme, 1. 1, p. 104.
Les égalités (104) et (106*''^) donnent (*)
1 4Tr(K,E'-E) = (K,-ig g-, (109) i
Ce serait ici, semble-t-il, le lieu de juger cette électrostatique de Maxwell et de voir si elle peut s'accorder avec les lois connues; mais un élément nous manque pour mener à bien cette discussion ; cet élément, c'est la notion de flux de déplacement^ qui appartient à l'électrodynamique.
(*) Ces égalités (109) sont, dans toutes les éditions du Traité de Maxwell, remplacées par des égalités erronées. En la traduction française, le terme K e' de l'égalité (108) est remplacé par e'; cette erreur ne se trouve pas dans la première édition anglaise.
