CHAPITRE PREMIER

Flux de conduction et flux de déplacement

§ 1. Du flux de conduction

Le théoricien cherche à donner des Jois physiques une représentation construite au moyen de symboles mathématiques; cette représentation doit être aussi simple que possible; les grandeurs distinctes qui servent à signifier les qualités regardées comme premières et irréductibles doivent donc être aussi peu nombreuses que possible. Lors donc que des faits nouveaux sont découverts, que l'expérience en a déterminé les lois, le physicien doit s'efforcer d'exprimer ces lois au moyen des signes déjà en usage dans la théorie, de les formuler au moyen de grandeurs déjà définies. C'est seulement lorsqu'il a reconnu la vanité d'une semblable tentative, l'impossibilité de faire rentrer les lois nouvelles dans les anciennes théories, qu'il se décide à introduire dans la physique des grandeurs inusitées jusqu'alors, à fixer les propriétés de ces grandeurs par des hypothèses qui n'avaient pas encore été énoncées.

Ainsi, lorsque Œrstedt, puis Ampère, eurent découvert et étudié

les actions électrodynamiques et électromagnétiques, les physiciens s'efforcèrent d'en formuler les lois sans introduire dans la science d'autres grandem*s que celles qui avaient suffi jusque-là à représenter tous les phénomènes électriques et magnétiques, savoir : la densité électrique et Vintensité d'aimantation; l'exacte connaissance de la distribution qu'affecte, à un instant donné, l'électricité répandue sur un conducteur, devait, pensaient-ils, suffire à déterminer les actions que ce conducteur exerce à cet instant. Ampère ne crut pas ces tentatives indignes de son génie; mais ayant enfin reconnu qu'elles étaient condamnées à l'impuissance, il imagina de définir les propriétés d'un fil conducteur à un instant donné en indiquant non seulement quelle est, à cet instant et en chaque point du fil, la valeur de la densité électrique, mais encore quelle est la valeur d'une grandeur nouvelle, Vintensité du courant qui traverse le fil.

Si l'on se place au point de vue de la logique pure, l'opération qui consiste à introduire, dans une théorie physique, de nouvelles grandeurs pour représenter des propriétés nouvelles est une opération entièrement arbitraire; en fait, le théoricien se laisse guider, dans cette opération, par une foule de considérations étrangères au domaine propre de la physique, en particulier par les suppositions que lui suggèrent, touchant la nature des phénomènes étudiés, les doctrines philosophiques dont il se réclame, les explications que l'on prise en son temps et en son pays. Ainsi, pour définir les grandeurs propres à réduire en théorie les lois des attractions et des répulsions électriques, les physiciens s'étaient inspirés de l'opinion qui attribuait ces actions à un fluide ou à deux fluides. De même, pour définir des grandeurs propres à représenter les phénomènes électrodynamiques, ils se sont laissé guider par l'idée qu'un courant de fluide électrique parcourait le conducteur interpolaire et ils ont imité les formules qui, depuis Euler, servaient à étudier l'écoulement d'un fluide.

L'analogie hydrodynamique avait déjà fourni à Fourier le système de symboles mathématiques par lequel il est parvenu à représenter la propagation de la chaleur par conductibilité; elle a fourni à G. S. Ohm, à Smaasen, à G. Kirchhoff le moyen de compléter, dans le sens indiqué par Ampère, la représentation mathématique des phénomènes électriques.

A l'imitation de la vitesse qu'offre, en chaque point, un fluide qui s'écoule, on imagine, en chaque point du corps conducteur et à chaque instant, une grandeur dirigée, le flux électrique.

Entre les composantes de la vitesse d'un fluide en mouvement et la densité de ce fluide, existe une relation, la relation de continuité; à l'imitation de cette relation, on admet, entre les composantes w, V, w du flux électrique qui se rapporte au point (x, y, z) du conducteur et à l'instant t, et la densité électrique solide a au même point et au même instant, l'existence de l'égalité

^^ hx^ hij'^ ~hz '^ ht ~

A cette relation, on enjoint une qui concerne la densité superficielle I en un point de la surface de contact de deux milieux distincts 1 et 2 :

(2) u^ cos (Ni, X) + v^ cos (Nj, y) + w^ cos (N^, z)

-f W2 cos (N2, x) + v^ cos (N2, y) + w^ cos (N^, ^) + ^ = 0.

Dans l'esprit des premiers physiciens qui les ont considérées, les quantités w, v^ w représentaient, en chaque point et à chaque instant, les composantes de la vitesse avec laquelle se meut le fluide électrique; nous ne devons pas hésiter, aujourd'hui, à laisser de côté toute supposition de ce genre et à regarder simplement w, îJ, i<^, comme trois certaines grandeurs, variables avec les coordonnées et avec le temps et vérifiant les égalités (1) et (2).

Pour connaître complètement les propriétés d'un conducteur à un instant isolé t, il faut connaître, en tout point du conducteur, les valeurs des variables u^ v, w^ a et, en outre, en tout point des surfaces de discontinuité, la valeur de la variable I. Lorsqu'on se ])ropose de fixer lès propriétés d'un conducteur à tous les instants d'un certain laps de temps, c'est seulement à l'instant initial qu'il faut donner les valeurs des cinq grandeurs o", I, u,v,w; aux autres instants, il suffit de donner les valeurs des variables w, v, w; (T, I s'en déduisent en intégrant les équations (1) et (2).

liO

§ 2. Du flux de déplacement

Pour représenter les lois connues qui régissent les actions des corps diélectriques, Faraday, Mossotti et leurs successeurs se contentaient de considérer une seule grandeur dirigée, variable d'un point à l'autre et d'un instant à l'autre, V intensité de polarisation, de composantes A, B, G.

Bien qu'aucune expérience, à l'époque où il écrivait, ne justifiât ni ne suggérât même une semblable hypothèse, Maxwell admit que la connaissance, à un instant isolé t de la durée, des trois composantes A, B, G de la polarisation ne déterminait pas complètement les propriétés du diélectrique à cet instant ; que ce corps possédait des propriétés, encore inconnues, qui, à l'instant t, dépendaient non seulement de l'intensité de polarisation ou déplacement, mais encore du flux de déplacement, grandeur dirigée de composantes

- bG

ht '

ht '

ht

Les six variables A, B, G, u, v, w ont des valeurs qui peuvent être choisies arbitrairement pour un instant isolé; mais il n'en est pas de même pour tous les instants d'un certain laps de temps; si, pour tous ces instants, on connaît l£s valeurs de A, B, G, on connaît par le fait même les valeurs de u, v, w.

Si on la présente, ainsi que nous venons de le faire, comme l'introduction purement arbitraire d'une grandeur nouvelle dont aucune expérience n'exigeait l'emploi, la définition, donnée par Maxwell, du flux de déplacement apparaît comme une étrangeté. Elle devient, au contraire, très naturelle et, pour ainsi dire, forcée si l'on tient compte des circonstances historiques et psychologiques.

Au cours de ses recherches sur les diélectriques, Maxwell, nous l'avons vu, ne cesse de s'inspirer des hypothèses de Faraday et de Mossotti. A l'imitation de ce que Goulomb et Poisson avaient supposé pour les aimants, Faraday et Mossotti avaient imaginé un diélectrique comme un amas de petits grains conducteurs noyés dans un ciment isolant, chaque petit grain conducteur portant

autant d'électricité positive que d'électricité négative; assurément Maxwell, dans tous ses écrits, regarde cette image sinon comme une représentation fidèle de la réalité, du moins comme un modèle suggérant des propositions toujours vérifiées.

Si, avec Karaday et Mossotti, on regarde un diélectrique polarisé comme un ensemble de molécules conductrices sur lesquelles l'électricité est distribuée d'une certaine manière, tout changement dans l'état de polarisation du diélectrique consiste en une modification de la distribution électrique sur les molécules conductrices ; ce changement de polarisation est donc accompagné de véritables courants électriques, dont chacun est localisé en un très petit espace. D'ailleurs, on voit sans peine que ces courants correspondent, en chaque point du diélectrique, à un flux moyen dont les composantes sont précisément données par les égalités (3). Ce flux moyen n'est donc autre chose que le flux de déplacement.

Dans son mémoire : On physical Lines of Force^ Maxwell écrit (*), en invitant son lecteur à se reporter aux travaux de Mossotti : " Une force électromotrice, agissant sur un diélectrique, produit un état de polarisation de ses parties semblable à la distribution de la polarité sur les particules du fer que l'on soumet à l'influence de l'aimant; tout comme la polarisation magnétique, cette polarisation diélectrique peut être représentée comme un état en lequel les deux pôles de chaque particule sont dans des conditions opposées. „

" Dans un diélectrique soumis à l'induction, nous pouvons concevoir que l'électricité est déplacée en chaque molécule de telle manière que l'une de ses extrémités est rendue positive et l'autre négative; mais l'électricité demeure entièrement confinée en chaque molécule et ne peut passer d'une molécule à l'autre. „

" L'effet de cette action sur l'ensemble de la masse diélectrique est de produire un déplacement général de l'électricité dans une certaine direction. Le déplacement ne peut donner naissance à un courant, car, aussitôt qu'il a atteint une certaine valeur, il demeure constant; mais il constitue un commencement de courant, et ses variations constituent des courants dirigés dans le sens positif ou

(*j J. Clerk Maxwell, Scikntific Papers, vol. I, p. 491.

dans le sens négatif, selon que le déplacement augmente ou diminue. La grandeur du déplacement dépend de la nature du corps et de la grandeur de la force électromotrice ; en sorte que si h est le déplacement, R la force électromotrice et E un coefficient qui dépend de la nature du diélectrique, on a

R = - 4TTE2/i (*),

" Si r est la valeur du courant électrique dû au déplacement, on a

^ ^ ~ dt' '

Ce passage, le premier où Maxwell ait mentionné le courant de déplacement, porte la marque indiscutable des idées de Mossotti qui ont conduit le physicien écossais à imaginer ce courant.

11 exprime si exactement, d'ailleurs, la conception que Maxwell s'est formée de ce courant, que nous le trouvons reproduit presque textuellement dans le mémoire : A dynamlcal Theorij of the electromagnetic Field (**) ; dans le Traité d'Electricité et de Magnétisme (***), nous lisons ce passage plus bref : " Les variations du déplacement électrique produisent évidemment des courants électriques. Mais ces courants ne peuvent exister que pendant que le déplacement varie, et, par suite, le déplacement ne pouvant dépasser une certaine valeur sans produire une décharge disruptive, ils ne peuvent continuer indéfiniment dans la même direction, comme font les courants dans les conducteurs. „

" Quelle que soit la nature de l'électricité, et quoi que nous entendions par mouvement d'électricité, ajoute Maxwell (iv), le phénomène que nous avons appelé déplacement électrique est un

(*) Nous avons insisté tl" Partie, Chapitre III] sur la faute de signe qui affecte cette égalité.

(**) J. Glerk Maxwell, Scientifig Papers, vol. I, p. 531.

(***) J. Clerk Maxwell, Traité d' Électricité et de Magnétisme, trad. française, 1. 1, p. 69.

(iv) J. Glerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, trad. française, 1. 1, p. 73.

mouvement d'électricité dans le même sens que le transport d'une quantité déterminée d'électricité à travers un fil est un mouvement d'électricité. „

Un flux de déplacement est donc essentiellement, et au même titre qu'un flux de conduction, un flux électrique ; en tout corps conducteur, diélectrique ou magnétique, il produit la môme induction, la même aimantation, les mêmes forces électrodynamiques ou électromagnétiques qu'un flux de conduction de même grandeur et de même direction. Un courant ou un aimant exerce les mêmes forces sur un diélectrique parcouru par des flux de déplacement que sur un conducteur qui occuperait la place de ce diélectrique et dont la masse serait parcourue par des flux de conduction égaux à ces flux de déplacement.

On ne devra donc jamais, dans les calculs électrodynamiques, faire figurer isolément le flux de conduction dont u, v^ w sont les composantes ; toujours, on devra considérer le flux total, somme géométrique du flux de conduction et du flux de déplacement, dont w, V, w sont les composantes. Ce principe est appliqué par Maxwell en ses divers écrits sur l'électricité (*) ; il constitue l'un des fondements de sa doctrine électrodynamique, l'une de ses innovations les plus audacieuses et les plus fécondes, ainsi qu'il le marque lui-même en ce passage (**) : " Une des particularités les plus importantes de ce Traité consiste dans cette théorie que le courant électrique vrai duquel dépendent les phénomènes électromagnétiques n'est pas identique au courant de conduction, et que, pour évaluer le mouvement total d'électricité, on doit tenir compte de la variation dans le temps du déplacement électrique. „

(*) J. Glerk Maxwell, On physicalLines of Force (Scientific Papers, vol. I, p. 496). — A dynamical Theory of the electromagnetic FaWf^ (Scientific Papers, vol. I, p. 554). — Traité d'Électricité et de Magnétisme, irad. française, t. II, p. 288.

(**) J. Clerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, trad. française, t. II, p. 288.

§ 3. Dans la théorie de Maxwell^ le flux total est-il un flux uniforme ?

Supposons qu'en chaque point pris à l'intérieur d'un domaine continu on ait l'égalité

(4) ^+Ë^ + Èif = o ^ ' hx hlf ^ bz

et, en chaque point d'une surface de discontinuité, que l'on ait l'égalité

(5) Wi cos (Nj, x) H- v^ cos (Nj, y) + w^ cos (Nj, z)

-I- ?^2 cos (Ng, ic) + ?'2 cos (N2, «/) 4- w^Q,os{N^,z) = 0.

Alors, on aura, au premier point, en vertu de l'égalité (1), et, au second point, en vertu de l'égalité (2),

La distribution de l'électricité réelle sur le système demeurera invariable.

On donne le nom de flux de conduction uniformes à des flux de conduction qui vérifient les égalités (4) et (5).

Des flux de déplacement uniformes sont des flux de déplacement qui vérifient l'égalité

(C^ hu , hv , hw f^

<^^ bï + 5^ + bF = 0

en tout point d'un milieu continu et l'égalité

(7) 11^ cos (N^, x) -j- î\ cos (iNj, y) -\- i(\ cos (Nj. z)

;+ û^ cos (Ng, x) + 1\ cos (N2. y) + w^ cos (Ng, ^) = 0

en tout point d'une surface de discontinuité.

Si Von admet la définition des densUés électriques fictives e, E, donnée par les égalités (13) et (14) de la première partie :

(^^ ^ = - (SJ + 5^ + 5^

(9) E = — [Aj cos (/?!, x) + Bi cos (w^, «/) -\- C^ cos (w^, 2;)

+ A2 cos (n^, x) + Bj cos (Wg, 2/) + C^ cos (w^, ^)],

on peut écrire, en général, en vertu des égalités (3),

^ ^ bx^ by ^ bz ^ bt

(11) «1 cos (Nj, a;) + "v^ cos (N^, «/) + w^ cos (N^, 2;)

+ tt^ cos (Nj, 0?) + z;2 cos (N2, ^) + ^2 cos (Nj, 2;) + — = 0.

Les flux de déplacement uniformes vérifient donc les égalités

bt ^' bt ^'

d'où résulte, en tout le système, l'invariabilité de la distribution électrique fictive équivalente à la polarisation diélectrique.

Il peut arriver que ni les flux de conduction, ni les flux de déplacement ne soient séparément uniformes, mais que le flux total, dont les composantes sont {u -\- w), (v + t?), (w + w), soit uniforme; il vérifiera, en tout point d'un milieu continu, l'égalité

(12) Ê(^ + ^) + 4^^^^) + ^^(i^+^)^0 et, en tout point d'une surface de discontinuité, l'égalité

(13) (Wi + Wi) cos (Ni,ir) + {Vi + v^) cos Ç^i^y) + {w^ -j- w^) cos (N^.z) + (w2 + W2)cos(N2,a;) + (1^2+^2) cos (N^,y) + (w^-rw^) cos (N^.z) = 0.

De ces égalités (12) et (13) découlent, en vertu dos égalités (1), (2), (10) et (11), les égalités