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La distribution électrique réelle peut varier d'un instant à l'autre; il en est de même de la distribution fictive équivalente à la polarisation diélectrique; mais en chaque point soit d'un milieu continu, soit d'une surface de discontinuité, la somme de la densité électrique réelle et de la densité électrique fictive garde une valeur indépendante du temps, en sorte que les actions électrostatiques qui s'exercent dans le système restent les mêmes d'un instant à l'instant suivant.

Admettre que le flux total est toujours uniforme ce serait, pour celui qui reconnaîtrait en même temps la légitimité de toutes les équations précédentes, nier les phénomènes électrostatiques les mieux constatés; ce serait, par exemple, nier qu'un condensateur puisse se décharger au travers d'un conducteur immobile jeté entre les deux armatures.

L'hypothèse qu'en tout système, en toutes circonstances, le flux total est toujours uniforme est, de l'aveu de tous les commentateurs de Maxwell, l'un des principes essentiels sur lesquels repose la doctrine du physicien écossais. Suivons, au cours de ses écrits, la formation de cette hypothèse.

Dans le mémoire : On Faraday's Lines of Force, le premier que Maxwell ait consacré aux théories de l'électricité, il n'est point encore question de courant de déplacement ^ le courant de conduction est seul considéré ; ce qui en est dit s'accorde sans peine avec les considérations générales que nous avons exposées au § 1 ; en particulier, Maxwell admet (*) que la somme

T — 1~ x~ + x~ ) a uri^ valeur, généralement différente de 0, (*) J. Glerk Maxwell, Scientific papers, vol. I, p. 192.

6t u = ~ by

Si'

■ bx'

ba by'

qu'il désigne par — 47Tp ; il ajoute seulement ces mots : " Dans une large classe de phénomènes, qui comprend tous les cas où les courants sont uniformes, la quantité p disparaît. „

A la page suivante," en se fondant sur les propriétés électromagnétiques bien connues d'un courant fermé (*), Maxwell montre que les trois composantes u, v, iv du flux de conduction peuvent se mettre sous la forme

a, p, Y étant trois fonctions d'à?, y, z qu'il nomme les composantes de Vintensité magnétique ; de ces égalités découle visiblement la relation (4) ; elles ne s'appliquent donc qu'aux flux uniformes ; celte conclusion ne doit point étonner, l'uniformité du courant étant postulée dans les prémisses mêmes du raisonnement qui donne les égalités (16).

Maxwell remarque cette conclusion, mais il n'a garde d'en déduire l'impossibilité de courants non uniformes : ** On peut observer, dit-il (**), que les équations précédentes donnent, par différentiation,

bu ^^ bv ^ bw ^

bx'^ by '^ bz ^ '

ce qui est l'équation de continuité des courants uniformes. Par conséquent, nos recherches seront, pour le moment, limitées aux courants uniformes; d'ailleurs, nous savons peu de chose des effets magnétiques produits par des courants qui ne sont pas uniformes. ,

(*) Nous reviendrons sur celte démonstration au Chapitre II, § 1. (**) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 195.

C'est à partir du mémoire ; On physical Lines of Force que s'introduit, dans l'œuvre de Maxwell, la distinction entre les courants de conduction et les courants de déplacement.

Au point {x^ 2/, 2;), la vitesse instantanée moyenne de rotation de l'éther a pour composantes a, p, y; cette vitesse représente (*), dans la théorie cinétique que Maxwell développe en ce mémoire, Vintensité du champ magnétique; posant alors

{ by bz '

/.r,N 1 ba 5t .

I bp 6a .

-^ — = — 4Trw;, \ bx by

Maxwell admet (**) que u, v, w représentent, au point (a?, y, z\ les composantes du flux de conduction; le flux de conduction est donc uniforme par définition. Cette proposition n'a d'ailleurs rien qui puisse surprendre dans un écrit où, implicitement, la densité électrique vraie a est toujours supposée égale à 0 et où, seule, est introduite la densité électrique fictive e, équivalente à la polarisation diélectrique.

Celle-ci est liée (***) aux composantes du flux total par l'équation de continuité :

qui peut aussi bien s'écrire, à cause des égalités (17),

bu bv.biv.be ^

bx'^ bîf ' bz "^ bt^ '

Si donc, en ce mémoire, Maxwell définit les flux de conduction

(*) J. Glerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 460.

(**) J. Clerk Maxwell, loc. cit., vol. I, p. 462.

(♦**) J. Glerk Maxwell, loc. cit., égalité (113), vol. I, p. 496.

comme étant essentiellement uniformes^ il n'a garde de poser le même postulat touchant les flux de déplacement.

Il en est de même dans le mémoire : A dynamical Theory ofthe electromagnetic Field ; à l'aide des lois connues de l'électromagnétisme, lois qui supposent essentiellement les courants fermés et uniformes, Maxwell établit (*) les équations (17), qu'il regarde comme s'appliquant à tous les courants de conduction; il admet donc par là que ces courants sont toujours uniformes. Mais il se garde bien d'étendre cette proposition au flux total; celui-ci vérifie (**) l'égalité (18), ce qui entraîne, pour le flux de déplacement, l'égalité (19).

Lorsque, dans ce même mémoire, Maxwell développe la théorie de la propagation, dans un milieu diélectrique, des flux de déplacement, il se garde bien de prétendre que ces flux soient toujours et nécessairement des flux transversaux, soumis à la condition

hu hv hw ^

hx hy hz

Il admet, au contraire, qu'en chaque point la densité apparente e peut varier d'un instant à l'autre et il établit (***) la loi qui régit cette variation; toutefois, pour se débarrasser des flux longitudinaux qui se trouveraient ainsi introduits et qui entraveraient la théorie électromagnétique de la lumière, il ajoute ces mots : "■ Si la substance est un isolant parfait, la densité e de l'électricité libre est indépendante du temps „. Rien dans les idées émises par Maxwell au cours de ce mémoire ou de ses écrits précédents ne justifie cette conclusion; la densité e, liée aux variations du déplacement électrique, n'y dépend en aucune façon du courant de conduction.

La théorie électromagnétique de la lumière, cependant, exige que les flux de déplacement dans un diélectrique non conducteur se propagent suivant les mêmes lois que les petits mouvements dans un solide élastique et non compressible; les principes posés par Maxwell dans ses divers mémoires ne satisfont pas à cette

(*) J. Clerk Maxwell, Sgientifig Papers, vol. I, p. 557. (♦*) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 561, égalité (H). (***; J. Clerk Maxwell, loc. cit., vol. I, p. 582.

exigence ; il n'en est pas de même de la singulière théorie que Maxwell développe en son Traité d'Electricité et de Magnétisme, et que nous avons nommée sa troisième Électrostatique.

Il n'existe nulle part d'autre charge électrique que la charge fictive due à la polarisation diélectrique, d'autre densité que les densités e, E; c'est à ces densités que les composantes du flux de conduction seront reliées par les relations de contumité prises sous leur forme habituelle. En tout point d'un milieu continu, on aura (*)

^ ^ hx hy ^ hz ht

En tout point d'une surface de discontinuité, on aura (**)

(20) u^ cos (Nj, x) + ^;^ cos (Nj, y) + w^ cos (N^, z)

+ Mg cos (Ng, x) + v^ cos (N^, y) + w^ cos (N^, 0) H- — = 0.

Mais, d'autre part, les densités e, E sont liées aux composantes A, B, G, de l'intensité de polarisation diélectrique, que Maxwell désigne par /", ^, h et nomme composantes du déplacement; la relation entre ces quantités est donnée par les égalités suivantes, que nous avons commentées dans la première partie de cet écrit (***) et que Maxwell a soin de rappeler (i^) auprès des égalités que nous venons d'écrire :

bA , bB , bC W ^ = 5^ + 5^ + 57'

(22) E = A, cos (Nj, x) + B, cos (N,, y) + C^ cos (N,, z) + A2 cos (N2, x) + B2 cos (N^, y) + G^ cos (N^, z).

(*) J. Glerk Maxwell, Traité d' Electricité et de Magnétisme, trad. française, 1. 1, p. 506, égalité (2). On observera que ce passage contredit ce que donne Maxwell à la p. 470, où il semble admettre que tout courant de conduction est uniforme, conformément à ses anciennes idées.

(**) J. Glerk Maxwell, loc. cit , t. I, p. 510, égalité (5).

(***) 1" partie, égalités (91) et (92).

(IV ) J. Clerk MaiXwe\\,T7-aité d'Électricité et de Magnétisme, trad. française, 1. 1, p. 506, égalité (1 j et p. 510, égalité (4).

Différentions ces égalités par rapport à t^ en tenant compte des égalités (3) qui définissent les flux de déplacement, et nous trouvons

<'23) bï + b^ + bJ-b^ = 0'

(24) Ti^ cos (Nj, x) 4- t^i cos (N^, y) + i/?i cos (N^, z)

+ u^ cos (Ng, x) + ^2 cos (Ng, y) + w^'g cos (Ng, z) — -^ = 0.

Gomme on devait s'y attendre, ces égalités diffèrent par le signe

des termes en t-^ , -t-t, des égalités (lÔ) et (11), qui découlent de

la théorie habituelle de la polarisation diélectrique et que Maxwell admettait, avant d'avoir conçu l'électrostatique particulière qui est développée en son Traité,

Ajoutons membre à membre les égalités (19) et (23) d'une part, les égalités (20) et (24) d'autre part; nous trouvons en tout point d'un milieu continu, l'égalité

et, en tout point d'une surface de discontinuité, l'égalité

(26) {u, + Wi) cos (N^, x) -\- (v, + V,) cos (N,, y) + (w^ + w^) cos (N„ z) + (^2 + W2) cos (N2, x) + (^2 + v^) cos (N2, y) + {w^ + w>f cos (N^, z) = 0.

Ainsi donc, la dernière théorie électrostatique adoptée par Maxwell entraîne les conséquences suivantes :

Non seulement, au sein d'un milieu continu, les composantes du flux total vérifient la même relation que les composantes du flux au sein d'un liquide incompressible, mais encore, à la surface de séparation de deux milieux différents, le flux total n'éprouve aucun changement brusque ni de grandeur, ni de direction. Le flux total, en tout système, correspond à un courant fermé et uniforme.

Dès l'instant où Maxwell conçut sa troisième électrostatique, il entrevit cette conséquence, si favorable à ses idées sur la théorie

électromagnétique de la lumière. Dans une note (*), où il fait remarquer que la polarisation d'une lame diélectrique placée entre deux conducteurs se dirige du conducteur A, électrisé positivement, au conducteur B, électrisé négativement, remarque qui le conduisait forcément à sa troisième électrostatique, puisqu'il n'admettait d^autre électrisation que l'électrisation fictive, il ajoutait : " Si les deux conducteurs en question sont réunis par un fil, un courant parcourra ce fil de A vers B. En même temps, il se produira dans le diélectrique une diminution du déplacement cette diminution sera équivalente, au point de vue électromagnétique, à un courant qui traverserait le diélectrique de B vers A. Selon cette manière de voir, le courant que l'on obtient en déchargeant un condensateur parcourt un circuit fermé. „

Plus tard, dans son Traité d'Électricité et de Magnétisme, Maxwell reprend (**) les mêmes considérations avec plus de développements :

" Considérons, dit-il, un condensateur formé de deux plateaux conducteurs A et B, séparés par une couche de diélectrique C. Soit W un fil conducteur joignant A et B, et supposons que, par l'action d'une force électromotrice, une quantité Q d'électricité positive soit transportée de 6 vers A... En même temps qu'une quantité d'électricité Q est transportée par la force électromotrice le long du fil de B en A, en traversant toutes les sections du fil, une quantité égale d'électricité traverse toutes les sections du diélectrique de A vers B, en vertu du déplacement électrique. „

" Un mouvement inverse de l'électricité se produira pendant la décharge du condensateur. Dans le fil, la décharge est Q de A vers B; dans le diélectrique, le déplacement disparaît, et une quantité Q traverse toutes les sections de B vers A. „

" Tous les cas d'électrisation et de décharge peuvent donc être considérés comme des mouvements s'exécutant dans un circuit

(*) J. Glerk Maxwell, On a method of making a direct comparison of dectrostatic îvith eledromngnetic force ;îvith a note on the electromagnetic theory of light, lu à la Société Royale de Londres le 18 juin 1868 (Philosophical Transactions, vol. GLVIII. — SciENTiFic Papers, vol. II, p. 139).

(**) J. Glerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, trad. française, t.I,p.71.

fermé tel qu'au même instant, il passe dans chaque section la même quantité d'électricité; il en est ainsi, non seulement dans le circuit voltaïque, pour lequel la chose avait toujours été reconnue, mais aussi dans les cas où l'on supposait généralement que l'électricité s'accumulait en certains points. „

" Nous sommes ainsi conduits à une conséquence très remarquable de la théorie que nous examinons ; à savoir que les mouvements de l'électricité sont semblables à ceux d'un fluide incompressible... „

Ce passage est suivi, dans le Traité de Maxwell, de la phrase que voici : " ... C'est-à-dire qu'à chaque instant il doit entrer dans un espace fermé quelconque autant d'électricité qu'il en sort. „

En écrivant cette phrase, Maxwell oublie, pour un instant, le sens très particulier qu'a, dans sa dernière théorie, cette proposition : le flux total est uniforme, pour lui restituer le sens qu'elle a dans l'esprit de la plupart des physiciens, qu'elle avait dans ses premiers écrits. Mais c'est là une inadvertance manifeste. Il est bien vrai que les composantes du flux total vérifient les relations (25) et (26), analogues à celles qui caractérisent un écoulement uniforme; mais il n'est pas vrai que la quantité d'électricité contenue dans un espace donné soit toujours invariable, ni que

les quantités r-^, t^ soient partout égales à 0; c'est un des

caractères paradoxaux de la dernière théorie de Maxwell, que l'uniformité du flux total n'entraîne nullement l'invariabilité de la distribution électrique ni des actions électrostatiques.

Toutefois, s'il n'est pas vrai que la quantité d'électricité contenue dans une surface fermée demeure toujours invariable, cette proposition devient vraie lorsque la surface fermée ne contient que des tlux de déplacement, sans trace de flux de conduction — ou bien encore que des flux de conduction, sans trace de flux de déplacement ; il suffit, pour s'en convaincre, de jeter les yeux soit sur les égalités (19) et (20), soit sur les égalités (21) et (22). Donc lorsque Maxwell, développant, en son Traité, la théorie électromagnétique de la lumière, écrit (*) : " Si le milieu n'est pas conducteur... la

(*) J. Glerk Maxwell, Traité d' Électricité et de Magnétisme, trad. française, t. II, p. 488.

densité en volume de l'électricité libre est indépendante de ^ „, il affirme une conséquence nécessaire de la doctrine développée en ce Traité; tandis que la même phrase, écrite par lui, à la même occasion, en son mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Field, y constituait un paralogisme, en contradiction avec les idées admises au cours de ce mémoire.

Mais si la distribution électrique ne peut varier au sein d'un corps conducteur non diélectrique, non plus qu'au sein d'un diélectrique non conducteur, cette distribution peut varier d'un instant à l'autre à la surface par laquelle un milieu conducteur confine à un milieu diélectrique ; ces variations donnent lieu aux phénomènes de charge et de décharge que l'on étudie en électrostatique.

§ 4. Retour à la troisième électrostatique de Maxwell, Jusqu'à quel point on 'peut la mettre d'accord avec V électrostatique classique,

Maxwell, nous l'avons vu [P^ Partie, Chapitre IV, § 3] évite, en sa troisième électrostatique, d'établir entre la fonction Y et les densités e, E, aucune relation autre que les égalités (103) et (105) ; dès lors, on serait porté à croire qu'il est permis de répéter ici tout ce que nous avons dit en la I^« Partie, Chapitre III, § 4 ; de dénoncer comme illusoire la troisième électrostatique de Maxwell ; de déclarer qu'elle ne renferme pas les éléments nécessaires pour mettre en équation le moindre problème de distribution électrique.

On serait d'autant plus tenté de formuler semblable jugement que, dans son Traité d'Électricité et de Magnétisme, Maxwell ne fait aucun usage de cette électrostatique ; il ne reprend même pas la solution des deux problèmes que, dans ses mémoires : Oni)hysical Lines of For ce Qi A dynamical Tlieoryofthe electromagnetic Field, il avait tenié de résoudre; il ne traite ni la théorie du condensateur, ni la théorie des forces qui s'exercent entre des corps électrisés.

Sans doute, en son Traité, se lisent bien des chapitres ou des parties de chapitre qui traitent de la distribution électrique ou des forces électrostatiques. Mais les raisonnements qu'on y développe, les formules qu'on y emploie, ne découlent en aucune façon de 1 électrostatique particulière dont nous avons analysé les prin-

cipes ; les uns et les autres dépendent de l'électrostatique fondée sur les lois de Coulomb, de l'électrostatique classique créée par Poisson.

Cependant, le jugement que nous venons d'esquisser serait injuste; on peut, dans le système de Maxwell, obtenir une mise en équation du problème électrostatique; il suffit d'introduire des suppositions convenables qui remplaceront l'expression analytique de la fonction potentielle déduite, dans la théorie ordinaire, des lois de Coulomb.

Et d'abord, à l'intérieur d'un corps conducteur, les composantes du flux de conduction sont proportionnelles aux composantes de la force électromotrice; pour qu'il y ait équilibre, il faut que les premières s'annulent et, partant les secondes, ce qu'expriment les égalités

hx hy hz

Sur une même masse conductrice, la fonction Y aura, en tout point, la même valeur.

A rintérieur d'un corps non conducteur, le flux de conduction est partout nul. Dès lors, les égalités (25) et (26) deviennent

hu hv hw ç.

hx^ hy '^ hF ^ '

ï7j cos (N\, x) + v^ cos (Np y) + w^ cos (Np z) -f v^ cos (N2, x) -\- v^ cos (Ng» y) + ^^^2 cos (Ng, z) ^ 0

ou bien, en vertu des égalités (23) et (24),

A l'intérieur d'un corps isolant continu ou à la surface de contact de deux corps isolants différents, la distribution électrique est invariable. On postulera alors, en général, que les deux densités sont égales à 0 :

A la vérité, ce postulat ne se trouve pas explicitement énoncé dans les écrits de Maxwell, mais on peut dire qu'il s'y trouve implicitement ; à chaque instant, Maxwell, nous l'avons vu, répète que la charge électrique, effet résiduel de la polarisation, ne se fait pas sentir à l'extérieur du diélectrique, mais seulement à la surface de contact du conducteur et du diélectrique; d'ailleurs nous avons cité des passages de Faraday et de Mossotti où ces auteurs exprimaient une opinion semblable. On interprétera donc la pensée de Maxwell sans la fausser en exprimant que les deux densités électriques sont nulles en tout milieu isolant.

Dans la théorie classique, il convient de le remarquer, on est obligé d'introduire un postulat qui a des analogies avec le précédent ; là, à côté de la polarisation diélectrique et de la charge électrique fictive qui lui est équivalente, on considère une charge électrique vraie; sur un corps non conducteur, cette dernière affecte une distribution invariable que, dans chaque problème, on doit regarder comme donnée ; et, dans la plupart des cas, on suppose que la charge électrique vraie est nulle en tout point des corps isolants que l'on considère; mais cette hypothèse ne préjuge rien sur l'électrisation fictive et sur la polarisation à laquelle elle équivaut.

Dans le système de Maxwell, on ne rencontre .plus de charge électrique vraie à côté de la charge électrique apparente qui équivaut à la polarisation diélectrique ; cette dernière seule existe. C'est à elle qu'appartient, sur les corps mauvais conducteurs, le caractère d'invariabilité, attribué par la théorie classique, à la charge électrique vraie ; c'est elle qui doit être regardée comme une donnée.

Si l'on égale à 0 les densités e, E, les égalités (103) et (104) de la première partie se transforment en l'égalité

vérifiée en tout point d'un milieu isolant continia, et en l'égalité

vérifiée à la surface de séparation de deux milieux isolants distincts.

On obtient ainsi des équations propres à déterminer la fonction Y; et qui plus est, ces équations sont celles qui serviraient à déterminer la fonction potentielle électrostatique, selon la théorie classique, dans un système où chaque diélectrique aurait un pouvoir inducteur spécifique proportionnel à K.

L'analogie entre la théorie de Maxwell et la théorie classique est complète, dans le cas où des conducteurs sont plongés dans un seul diélectrique homogène. Dans ce cas, la fonction Y, constante à l'intérieur de chaque conducteur, doit vérifier dans l'espace interposé l'égalité AV = 0; une fois déterminée par ces conditions, la fonction Y détermine à son tour la densité superficielle à la surface de chaque conducteur par l'égalité (104) de la première Partie, qui devient

bNe K •

Il est clair, dès lors, que l'on peut écrire

l'intégrale s'étendant à toutes les surfaces électrisées. L'énergie électrostatique a alors pour valeur

"VEdS

ou bien

"=ii

"-iIJ?-'«'«'-

Comparons ces formules avec celles que donneraient les théories classiques, dont les principes sont rappelés au Chapitre P"* de la première Partie.

Supposons que, dans un milieu impolarisable, deux charges électriques q et q\ séparées par la distance r, se repoussent avec

une force e ^ . Désignons par F le coefficient de polarisation du

milieu diélectrique et par V la fonction potentielle électrostatique totale que désigne, au Chapitre indiqué, la somme (V + V). Soit Z la densité superficielle réelle de l'électricité; elle correspond à une densité totale, tant réelle que fictive,

1 + 4Tr€F

La fonction V, constante sur chaque corps conducteur, est harmonique au sein du diélectrique ; il en est évidemment de même

de la fonction -. — ; — -, — ^ .

1 + 47Teb

On a d'ailleurs, à la surface de contact d'un conducteur et du diélectrique,

ce qui peut s'écrire

5 eV 4TTe

6N, 1 + 4TTeF (1 + 47T6F)

Enfin, l'énergie électrostatique a pour valeur

V^l^^^dSdS',

ce qui peut s'écrire

U = ,, ,, .^ ,.,, { { — dS dS'. 2 (1 + 47TeF)2 J J r

On voit que l'on passera des formules de Maxwell à celles-ci si l'on remplace

E par Z,