IE

ht '

Les fonctions F, G, H, qui figurent dans ces formules, sont les composantes de Vétat électrotonique, déjà considéré par Maxwell dans son mémoire : On Faraday' s Lines of Force. Quant à Y (*), " c'est une fonction d'^e, i/, z^ t qui est indéterminée en ce- qui concerne la solution des équations primitives, mais qui d'ailleurs est déterminée, dans chaque cas particulier, par les circonstances du problème. La fonction M^ doit être interprétée physiquement comme la tension électrique en chaque point de l'espace. „

Dans un système où le régime permanent est établi, F, G, H ne dépendent plus du temps ; les égalités (82) se réduisent à

Les composantes du champ électromoteur sont respectivement égales aux trois dérivées partielles d'une fonction dont la forme analytique demeure absolument inconnue. C'est l'un des fondements de la deuxième électrostatique de Maxwell (**). En exposant ce calcul, Maxwell remarque fort justement (***)

(*) Dans l'étude de l'induction en un système immobile, Maxwell a oublié les

b¥ b¥ bY

termes en — r-- , — ,-- , — r— ; mais il les a rétablis dans les formules ox oij oz

relatives à l'induction au sein d'un système en mouvement.

(**) Voir 1" Partie, Chapitre III.

(***) J. Glerk Maxwell, Sgientifig Papers, vol. I, p. 476, égalité (57).

que les équations (80) ne peuvent être écrites que si l'on a en tout point

Rapprochée de l'égalité (61), cette dernière égalité devient

Les équations (80) ne peuvent donc être écrites que si la matière fictive magnétique a partout une densité nulle. La théorie de l'état électrotonique développée ici par Maxwell est incompatible avec l'existence du magnétisme ; c'est une restriction que Maxwell va oublier dans son mémoire : A dynamical theory ofthe electromagnetic field.

§ 5. L'état électrotonique et V énergie électromagnétique dans le mémoire : A dynamical theory of the elegtromagnetig field.

Dans l'écrit intitulé : On phgsical Lines of Force, Maxwell s'est efforcé de créer un assemblage mécanique dont les propriétés pussent être regardées comme l'explication des phénomènes électriques. Dans ses écrits ultérieurs, tout en continuant à admettre que les actions électriques et magnétiques sont d'essence mécanique, il ne cherche plus à construire le mécanisme qui les produit; selon le conseil de Pascal, il continue à " dire en gros : cela se fait par figure et mouvement „ ; mais il ne s'efforce plus " de dire quels et de composer la machine. „ Former l'expression de l'énergie électrostatique et de l'énergie électromagnétique ; montrer qu'à ces expressions on peut rattacher les lois des phénomènes électriques, en imitant la méthode de Lagrange, qui tire les équations du mouvement d'un système des expressions de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique du système ; tels sont les objets du mémoire : A dynamical theory ofthe electromagnetic field et du Traité d' Electricité et de Magnétisme.

La troisième partie du mémoire : A dynamical theory of the electromagnetic field, qui nous intéresse particulièrement ici, offre,

sous une forme extrêmement concise, la réunion des principales formules qui régissent les phénomènes électriques.

L'une des grandeurs que Maxwell introduit tout d'abord est le moment électromagnétique (*) ; ce vecteur dont il désigne par F, G, H les composantes, joue exactement le rôle qu'il attribuait, dans ses précédents mémoires, à Vétat électrotonique; il admet d'emblée, en effet, que les composantes E'^, E'y, E[ du champ électromoteur d'induction en un système immobile sont données par les égalités

De ces grandeurs F, G, H, Maxwell ne donne aucune expression analytique; mais il les relie aux composantes a, p, y du champ magnétique. Désignant par |Lia, |up, \i^ les composantes de Vinduction magnétique, il écrit les trois relations (**)

6H bG

5G bF __ bx by ~ ^'^'

Ces égalités, vérifiées dans tout l'espace, sont exactement les mêmes que les égalités (80); mais aux égalités (80) se joignait la relation

en sorte que les fonctions F, G, H se trouvaient déterminées ; dans le mémoire que nous analysons en ce moment, Maxwell n'admet

(*) J. Clerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 555. (**) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 556.

plus l'exactitude de l'égalité (81); bien au contraire, il écrit (*)

^^^ f bx ^ by ^ bz

et il traite la quantité J comme une grandeur inconnue, généralement différente de 0.

Dès lors, les grandeurs F, G, H ne sont plus déterminées; on peut leur ajouter respectivement les trois dérivées par rapport à X, y, X d'une fonction arbitraire des variables a?, y, z, t.

Lors donc que Maxwell écrit (**) les composantes du champ électromoteur au sein d'un système immobile

il peut, en toutes circonstances, substituer à Y n'importe quelle fonction d'à?, y, z, t; la fonction Y est absolument indéterminée et l'on ne saurait logiquement souscrire à l'affirmation suivante (***): " La fonction V est une fonction d'x, y, z, t^ qui est indéterminée en ce qui concerne la solution des équations précédentes, car les termes qui en dépendent disparaissent dans une intégration étendue à un circuit fermé. Toutefois, la quantité y peut toujours être déterminée, dans chaque cas particulier, lorsqu'on connaît les conditions actuelles de la question. Y doit être interprété physiquement comme représentant le potentiel électrique en chaque point de l'espace. „

En outre, lorsque Maxwell, dans son mémoire : Onphysical Lines of Force, avait écrit les équations (80), il avait eu soin de remar-

(*) J. Glerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 578. (**) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 558 et p. 578. (***> J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 558.

~Tt'

ôG

^y- by

bt'

'' bz

quer qu'elles seraient absurdes si l'on n'avait pas, dans tout l'espace, l'égalité

Dans le présent mémoire, il néglige de faire cette remarque et, qui plus est, il raisonne comme si l'égalité (84) était fausse; nous en verrons tout à l'heure un exemple.

A la suite de considérations (*) que leur extrême brièveté ne permet guère de regarder comme un raisonnement, Maxwell admet (**) que l'énergie électromagnétique est donnée par la formule

(85) ^ ^l{ (^^^ + Gv -l Ew) du),

où w, v^ w représentent les composantes du flux total et où l'intégrale s'étend à tout l'espace.

Cherchons à préciser les considérations qui conduisent Maxwell à cette expression.

Dans le temps dt, le système dégage, selon la loi de Joule, une quantité de chaleur donnée en unités mécaniques par l'expression

\ r (W2 + ^2 | ^2) fl^jj^

où r est la résistance spécifique du milieu; en vertu de la loi de Ohm, cette quantité de chaleur peut encore s'écrire

\ (E^u + EyV -\- E^iv) d\x}.

Si le système, isolé et immobile, est soumis exclusivement aux actions électromotrices que produisent, par induction, les variations du flux électrique, cette quantité de chaleur dégagée dans le

(*) J. Glerk Maxwell, Scientifig Papers, vol. I, p. 541, (**) J. Glerk Maxwell, loc, cit., p. 562.

temps dt est exactement égale à la diminution de l'énergie électromagnétique pendant le même temps ; on a donc l'égalité

dl^ -[- dt { {E^u + EyV + E^w) duj = 0.

En même temps, les composantes E^.Ey, E^ du champ électromoteur sont données par les égalités (82^''), en sorte que l'égalité précédente devient

^, f AF , 6G , 5H ^ , ^

Le terme

r— W+ r — V A- T— iV ] d^

peut s'écrire

hw hy ' hz

Il est donc égal à 0 si l'on considère seulement des flux uniformes pour lesquels

hu hv ^^ n hx hy hz ~~ ' On a donc

(86) .E = <.*j'(gu+^.+f.)...

Cette égalité est-elle compatible avec l'expression de E que fournit l'égalité (85)? Celle-ci donne l'égalité

,„ 1 ,, f fhY bG bH \ ^

1 1 /^ r ^Ti ^î^ r^ ^V „ hw\ ,

Pour que cette égalité soit compatible avec l'égalité (86), il faut et il suffit que l'on ait l'égalité

Cette égalité est-elle vérifiée? Il est impossible de le décider puisque, dans le mémoire que nous analysons, Maxv^^ell n'attribue aucune expression analytique déterminée aux fonctions F, G, H.

Acceptons l'égalité (85). Les égalités (30) lui donneront la forme

qu'une intégration par parties changera en

1 f TAH bG\ , /bF bm ^ , fbG bF\ ^ ^ = -8sJ [[bi-bF)^-^[j^-b^)^+[M~^)^^

Les égalités (80^^') donneront alors

(73) E = -^ I M (a^ + P^ + T^) dixi.

L'énergie électromagnétique, déterminée, dans le mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Field, par des considérations électriques reprend ainsi la forme que, dans le mémoire : On physical Lines of Force, lui avaient attribuée des hypothèses mécaniques.

L'accord est plus malaisé à établir entre ces formes de l'énergie électromagnétique et celle à laquelle Maxwell a été conduit, en son mémoire : On Faraday' s Lines of Force, à partir de la théorie du magnétisme.

Cette dernière forme est donnée par l'égalité

(44) ^ = i* ^P ^^ ~ ("(^^ + ^^ + Hw;) c?u).

La densité magnétique p est liée aux composantes de l'induction magnétique par Tégalité (61)

5jf^a + ^MP + ^RT = 4Trp

ou bien, en vertu des égalités (SO''^"),

L'égalité (44) se réduit donc à

E = — r (Fw + Gt; + YLw) duj.

Cette expression de l'énergie électromagnétique diffère de l'expression (85) de la même quantité à la fois par la présence du signe — et par l'absence du facteur ^ . A la vérité, comme nous l'avons remarqué au § 2, l'absence du facteur l provient d'une omission, et ce facteur pourrait être aisément rétabli. Mais la contradiction que la nature du signe introduit entre les deux expressions de l'énergie électromagnétique ne peut être évitée.

Elle disparaîtrait, cependant, si, dans la définition de la densité magnétique, donnée par l'égalité (32), on changeait le signe de p; ce changement de signe, Maxwell l'a fait accidentellement dans le mémoire : On Faraday' s Lines of Force, puis normalement dans ses mémoires ultérieurs.

L'expression (73) de l'énergie électromagnétique s'accorde-t-elle avec les lois connues à.\\ magnétisme ? Que le système renferme ou non des courants, Maxwell admet qu'il existe une fonction 0 (*) qu'il nomme potentiel magnétique, telle que l'on ait

(♦) J. Clerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 566. En réalité, Maxwell nomme Potentiel magnétique la fonction — 0.

— 168 ^ L'expression (73) devient alors

ou, en intégrant par parties,

(90) èj^^Cè^^ + è^p + è^^)^-

Sans pousser plus loin le calcul, Maxwell aurait dû remarquer que les égalités (80^'') donnent immédiatement

ce qui transforme l'égalité (90) en

L'énergie électromagnétique serait ainsi identiquement nulle en toutes circonstances ; une telle conséquence lui aurait révélé que l'on ne peut accepter en même temps les égalités (80^'') et les égalités (89). D'une telle contradiction, Maxwell ne s'embarrasse pas. Il introduit dans ses calculs la quantité p définie par l'égalité

il traite cette quantité p comme si elle n'était pas identiquement nulle et remplace l'égalité (90) par l'égalité

De cette expression, par un raisonnement dont nous avons déjà vu plusieurs exemples, Maxwell se propose de tirer là loi des actions qui s'exercent entre deux pôles d'aimants.

Pour y parvenir, Maxwell suppose implicitement que |lx a la même valeur dans tout l'espace ; que la fonction O est la somme

de deux fonctions T\, Fj, qui sont respectivement les fonctions potentielles de deux masses aimantées 1 et 2. La fonction F^ satisfait dans tout l'espace à l'équation

sauf à l'intérieur du corps 1 où elle satisfait à l'équation

4ttPi

AF, =-

La fonction V^ satisfait, en tous les points de l'espace, à l'équation

AF, = 0, sauf à l'intérieur du corps 2 où elle satisfait à l'équation

4ttp2

AF,

L'énergie magnétique E peut s'écrire

E = -l ^(F. 4-F,) (AF, +AF,, Mais, selon le théorème de Green,

On peut donc écrire :

E = - ^ JF. AF. rfu, - 1^ I F, AF, rfu, - A |f. AF, ciu,

OU bien, en vertu des propriétés de la fonction Fg,

E = -^ (^1 V,AV,d^ + j F,AF,c/iu) + JF.p.c^iu.

Supposons que l'aimant 1 demeurant invariable d'aimantation et de position, l'aimant 2 se déplace comme un solide rigide, en

entraînant son aimantation ; on pourra dire également qu'il entraîne avec lui sa fonction potentielle F^. Les deux intégrales

étendues à tout l'espace, garderont visiblement des valeurs invariables. Si l'on désigne par dx^, dy^^ dz^ les composantes du déplacement d'un point de l'élément d[)ô^^ appartenant au corps 2, on aura

dEi est d'ailleurs égal au travail interne accompli dans la modification considérée, changé de signe. Tout se passe donc comme si sur chaque élément d[Xi^ du corps 2, le corps 1 exerçait une force ayant pour composantes

D'ailleurs, les caractères analytiques attribués à la fonction V^ exigent que l'on ait

; = 1 {^-id^,.

Les composantes de la force exercée par l'aimant 1 sur un élé-

ment c^Wg de l'aimant 2 sont donc

X = - - P2 c^uj, A r El dixi, ,

Y = — 77 P2 C?UJ2

- Po aujo r^

Z = P2 d^Jôç, -r— \ — d^. .

Elles sont les mêmes que si deux masses magnétiques m^ = p^ c^uu^

et m^ = P2 c?uJ2, séparées par une distance r, se repoussaient avec une force

1 Wi mg

Cette proposition semble s'accorder avec les lois connues du magnétisme ; en réalité, il y a lieu de reproduire ici la remarque que nous avons déjà faite : la théorie précédente est intimement liée à une hypothèse inadmissible ; elle suppose que le coefficient )n a la même valeur pour tous les corps, aussi bien pour les aimants que pour le milieu tel que Tair au sein duquel on les plonge.

§ 6. La théorie du Magnétisme dans le Traité d'Électricité ET DE Magnétisme.

" Dans ce traité, dit Maxwell (*), je me propose de décrire les plus importants de ces phénomènes (électriques et magnétiques), de montrer comment on peut les soumettre à la mesure et de rechercher les relations mathématiques qui existent entre les quantités mesurées. Ayant ainsi obtenu les données d'une théorie mathématique de l'électromagnétisme et ayant montré comment cette théorie peut s'appliquer au calcul des phénomènes, je m'efforcerai de mettre en lumière, aussi clairement qu'il me sera possible, les rapports qui existent entre les formes mathématiques de cette théorie et celles de la science fondamentale de la Dynamique ; de la sorte, nous serons, dans une certaine mesure, préparés à définir la nature des phénomènes dynamiques parmi lesquels nous devons chercher des analogies ou des explications des phénomènes électromagnétiques. „

L'objet de l'ouvrage étant ainsi nettement déterminé, le problème suivant y doit jouer un rôle essentiel :

Des lois fondamentales de l'électricité et du magnétisme, tirer l'expression de l'énergie électrostatique et de l'énergie électromagnétique ; montrer que ces deux énergies sont susceptibles de

(*) J. Clerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, Préface de la !'• édition; 1. 1, p. IX de la traduction française.

se mettre sous la forme que le mémoire : On physical Lines of Force a attribuée à l'énergie potentielle et à la force vive du milieu dont les déformations mécaniques imitent ou expliquent les phénomènes électromagnétiques.

Gomment est réalisée la partie de ce programme qui concerne l'énergie électrostatique, nous l'avons déjà vu (*). Examinons maintenant la détermination de l'énergie électromagnétique.

Maxwell parvient à l'expression de cette énergie par deux méthodes différentes; l'une de ces méthodes fait appel aux lois de l'électromagnétisme, tandis que l'autre, restreinte aux systèmes qui ne renferment pas de courants, repose exclusivement sur la théorie du magnétisme.

Le Traité df Électricité et de Magnétisme, en effet, expose une théorie complète du magnétisme. Cette théorie forme la troisième partie de l'ouvrage.

La théorie du magnétisme exposée par Maxwell est la théorie classique créée par les travaux de Poisson, de F. E. Neumann, de G. Kirchhoff, de W. Thomson, la théorie dont nous avons résumé précédemment (**) les propositions essentielles. Il y considère, en particulier, Vintensité d^ aimantation, définie comme nous l'avons fait au passage cité.

Les composantes A, B^ G de cette intensité d'aimantation servent, pour Maxwell comme pour Poisson (***), à définir la fonction potentielle magnétique par la formule

A cette fonction, les composantes a, p, y du champ sont liées par les relations

(*) !■■* partie, Chapitre IV, § 2.

(♦*) 1" partie, Chapitre I, §1.

(***) 1" partie, égahté (1). — J. Clerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, trad. française, t. II, p. 10, égalité (8).

Cette fonction potentielle peut s'exprimer également au moyen des deux densités, solide et superficielle, p et cr, du fluide magnétique fictif par l'égalité

r = JEirfu., + l^rfs,

et ces densités sont liées aux composantes de l'aimantation par les égalités (*)

bx "* by "■ bz

(95) A cos (Ni, x) -^ B cos (N,, y) + C cos (N,-, ^) = — c,

déjà données par Poisson.

A côté de l'intensité d'aimantation, mais sans la confondre avec elle, comme il semble l'avoir fait en ses premiers écrits, Maxwell considère (**) Vinduction magnétique. Les composantes A, B, G de cette grandeur sont définies par les égalités

!A = a + 4tt^, B = p + 47Ti^, G = Y + 4ttC,

que les égalités (93) permettent également d'écrire

A = 4tt^ — B = 4tt^ —

C =. 4ttC' -

5F bx '

bV by '

bV bz '

En restituant à l'induction magnétique son sens propre, Maxwell laisse tomber la relation que, sous deux formes différentes et

(*) 1" partie, égalités (2) et (3). — J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 11. (♦*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., n^ 400, p. 28.

incompatibles, il avait voulu établir entre les composantes de l'induction magnétique et la densité de la matière magnétique fictive. Par là, il renie implicitement tous les raisonnements, si essentiels en ses précédents écrits, qui invoquaient cette relation. En tout point d'un milieu continu, on a (*)

bc^ '^ by"" "^ bz^ [bx "^ by "^ bz

En vertu des égalités (97), cette égalité devient (**)

(^^^ bx ^ by ^ bz ~ ^'

De cette dernière égalité, il résulte que l'on peut trouver trois fonctions F, G, H, telles que l'on ait

bR ^G .

57 "■ bF "" ^'

bG bF ç bx by

Maxwell écrit ces équations (***) et donne le nom de potentiel vecteur de Vinduction magnétique à la grandeur dont F, G, H sont les composantes. A ce sujet, il nous faut répéter l'observation que nous avons déjà faite touchant les égalités (80^'') : les égalités (99) ne suffisent pas à déterminer les fonctions F, G, H, tant qu'on laisse indéterminée la valeur de la somme

bF bG bH bx by bz '

(*) 1" partie, égalité (4).

(**) J. Glerk Maxwell, loc cit., p. 57, égalité (17).

(***) J. Glerk Maxwell, loc. cit., n» 405, p. 32, égalités (21). Dans le Traité de Maxwell, le signe des seconds membres est changé par suite d'un choix différent des axes de coordonnées.

Dans un corps parfaitement doux où la fonction magnétisante se réduit à un coefficient h indépendant de l'intensité d'aimantation, on a

(100) A = lca, B = A:p, C = h^.

Les égalités (96) deviennent alors

Entre les composantes de l'aimantation et les composantes de l'induction magnétique, on retrouve les relations (59). Si l'on pose

(101) M = 1 + 4ttI-,

les égalités (96) et (100) donnent les égalités (*)

A = |ua,

B = mP,

qui, dans les précédents écrits de Maxwell, servaient à définir l'induction magnétique.

Venons à la détermination de l'énergie magnétique.

Un aimant 1, dont {x^^ y^, z^ est un point et dud^ un élément, se trouve en présence d'un autre aimant dont V^ est la fonction potentielle magnétique; ces deux aimants sont des solides rigides et, à chacun de leurs éléments, est invariablement liée une intensité d'aimantation; tandis que l'aimant 2 demeure immobile, l'aimant 1 se déplace; les actions de l'aimant 2 sur l'aimant 1 effectuent un certain travail; selon les doctrines classiques du

(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 57, égalités (16).

magnétisme, ce travail est égal à la diminution subie par la quantité

Maxwell démontre cette proposition (*), qui est universellement acceptée.

Prendre cette proposition pour point de départ et en conclure que l'énergie d'un système quelconque de corps aimantés est donnée par l'expression

OÙ V est la fonction potentielle magnétique du système entier et où l'intégrale s'étend à tout le système, c'est évidemment faire une hypothèse; cette hypothèse, les progrès récents de la thermodynamique montrent qu'elle n'est pas justifiée; mais elle devait sembler naturelle à l'époque où Maxwell écrivait ; aussi Maxwell radopte-t-il (**).

Dès lors, une transformation classique permet d'écrire

OU bien, en vertu des égalités (93),

(104) E = ^ r (a^ + p'-î + f^) dvj.

Telle est l'expression de l'énergie magnétique à laquelle parvient Maxwell (***).

Cette expression ne coïncide pas avec l'expression (73) qu'il désirait retrouver; le facteur )u fait défaut sous le signe d'intégra-

(*) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 18, égalité (3).

(**) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 304, expression (6).

(*♦*) J. Clerk MaxwelUoc. cit., p. 305, égalité (11).

tion. Pour retrouver Texpression de l'énergie électromagnétique à laquelle il désire parvenir, Maxwell devra faire appel à la théorie de l'électromagnétisme.

§ 7. La théorie de V électromagnétisme dans le Traité d'Électricité et de Magnétisme. " '

Résumons brièvement la théorie de l'électromagnétisme, telle que Maxwell l'expose dans son Traité.

Il introduit tout d'abord un vecteur, de composantes F, G, H, auquel, dans un système immobile, mais d'état électrique variable, les composantes E'^^ E'y, E'^, du champ électromoteur d'induction devront être liées par les égalités (*)

Ce vecteur est donc ce qu'il avait nommé, dans ses précédents écrits, Vétat électrotonique ou le moment électromagnétique; il le nomme maintenant quantité de mouvement électrocinétique (**) ; puis, aussitôt, il émet cette affirmation (***) ;

* Ce vecteur est identique à la quantité que nous avons étudiée sous le nom de potentiel vecteur de l'induction magnétique. „

A l'appui de cette affirmation, Maxwell esquisse un commencement de preuve (iv). Les expressions (105) du champ électromoteur d'induction, appliquées à un fil fermé et immobile, donnent l'expression suivante pour la force électromotrice totale d'induction qui agit dans ce fil :

ht ds "^ ht ds "^ ht ds^

Dans cette expression, l'intégrale s'étend à tous les éléments linéaires ds en lesquels le fil peut être partagé.

(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 267 et p. 274, égalités (B).

(**) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 267.

(***) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p 267.

(ivj J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 268, a» 592.

Prenons le fil pour contour d'une aire dont dS est un élément ; soit N une normale à l'élément c?S, menée dans un sens convenable ; on sait que l'expression précédente pourra s'écrire

dS,

l'intégrale s'étendant à l'aire considérée.

Mais, d'autre part, si le fil est placé dans un milieu non magnétique, on sait depuis Faraday que cette force électromotrice est liée à la variation du champ magnétique par la formule

- J [g cos (N, X) + ^5 cos (N, y) + g cos (N, ^)] ^S.

Les égalités (105) s'accorderont donc avec les lois de l'induction en un circuit fermé, au sein d'un milieu non magnétique, si l'on a

,,. 6H 5G bF 5H ' bG bF

(1^^) b7-bF=-«' bF-bF=-P' b^-b^=-^-

Ces égalités (106) peuvent être regardées comme des cas particuliers des égalités

^H bG / l A 4\ A

Elles ne les justifient pas, mais elles rendent acceptable l'hypothèse que fait Maxwell en adoptant (*) les égalités (99''^').

(♦) J.Glerk Maxwell, loc. ciL, p. J68, égalités (A).

bH by

- mP,

MTi

Dans le cas où le milieu magnétique est parfaitement doux et où la fonction magnétisante de ce milieu se réduit à un coefficient indépendant de l'intensité d'aimantation (*), on a

(102) A = na, B = mP, g = |LiT

et les égalités (99^'^) prennent la forme

déjà donnée dans le mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Fiéld. Jointes aux égalités (**)

les équations (80^^') forment le groupe, aujourd'hui célèbre, d^ès six équations de Maxwell.

Les fonctions F, G, H qui figurent dans les équations (80''^') /ne sont pas entièrement déterminées ; deux fois déjà nous en avons fait la remarque; pour achever de les déterminer, il faudrait connaître la valeur de la quantité (***)

(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 289, n. 614.

(**) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. !286, éjçalités (E) et p. 290.

(**») J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 290, égalité (2).

Or cette quantité a une valeur inconnue, ce qui jette quelque embarras dans le calcul suivant (*) :

Les égalités (80^^') et (31) donnent sans peine les relations

AF = g - 4TT^ (u + w), AG = ^ — 4TT^ {v + v), AH = s— — ^W ('^' + ^)- Si donc on pose

(107) { G' = j tl>i hia rf.„ H' = (■ M!£L±iL} rfuj,

(108) X = - ^ J ^7^ dw„ <

formules où les intégrations s'étendent à tout l'espace, on aura

(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 290, n» 616. — Ce calcul se trouvait déjà presque textuellement dans le mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Field (J. Glerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 581).

* La quantité Xi ajoute Maxwell (*), disparaît des équations (80^") et n'a rapport à aucun phénomène physique. Si nous supposons qu'elle soit nulle, J est aussi nul en tout point, et les équations (107) donnent, en supprimant les accents, les vraies valeurs des composantes „ du potentiel vecteur.

La quantité x, assurément, disparaît des égalités (80'^'') ; mais elle figure aux égalités (105) ; est-il donc, dès lors, si évident qu'elle n'ait aucune influence sur aucun phénomène physique ? Sans doute, la force électromotrice totale qui agit dans un circuit fermé

• fbF dx \ht ds

dz-

ds^

aussi

bien s'écrire

dx ds

5G' ht

bR'

dz ds

et sa valeur sera indépendante de la détermination attribuée à la fonction x ; niais il n'en résulte pas que celle-ci n'intervienne dans aucune discussion de physique ; l'affirmer, serait taxer d'absurdité un passage que Maxwell écrit (**) tout auprès du précédent.

La force électromotrice qui agit dans un] circuit fermé étant donnée par l'expression

5F dx bt ds

bGdyi bt ds

"-JZ + ^zn -\- ^:n]ds,

bRdz

bt ds

Maxwell en conclut que le champ électromoteur a pour composantes en chaque point

bt'

Ey-

by bt ' ' bz bt

puis il ajoute : " Les termes comprenant la nouvelle quantité V ont été introduits pour donner de la généralité aux expressions de

(*) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 291. (**) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 274.

^^, Ey, E^. Ils disparaissent quand l'intégrale iest prise tout le long d'un circuit fermé. La quantité Y est donc indéterminée, du moins en ce qui concerne le problème actuel, où nous nous proposons d'obtenir la force électromotrice totale qui agit le long d'un circuit. Mais nous verrons que, quand on connaît toutes les conditions du problème, on peut assigner à Y une valeur déterminée qui est le potentiel électrique au point {x, y^ z). „

Si la fonction Y joue un rôle dans l'analyse de certains problèmes d'électricité, pourquoi la fonction x n'en jouerait-elle aucun ?

Ce sont les deux groupes d'équations (80^^^) et (31) qui vont fournir à Maxwell l'expression de l'énergie électromagnétique qu'il veut obtenir, cela par un calcul presque semblable à celui qui est donné dans le mémoire : A dynamical Theory of ihe electromagnetic Field et que nous avons exposé au § 5.

Cette énergie, selon Maxwell, a pour première expression (*)