CHAPITRE m

La théorie électromagnétique de la lumière

§ 1. La vitesse de la lumière et la propagation des actions électriques; recherches de W, Weber et de G. Kirchhoff.

C'est à Wilhelm Weber qu'il faut remonter pour trouver la première mention, dans l'étude des phénomènes électriques, du nombre qui mesure la vitesse de la propagation de la lumière dans le vide.

La première étude publiée (*) en 1846 par W. Weber, sous le titre : Elektrodynamische Maassbestimmungen, contenait un appendice ainsi intitulé :

Ueber die Zusammenhang der elektrostatischen und der éléktrodijnamischen Erscheinungen nebst Anwendung auf die elektrodynamischen Maassbestimmungen.

Cet appendice renfermait la célèbre loi de Weber.

Un fil parcouru par un courant électrique est en réalité le siège de deux flux de direction opposée; l'un, dirigé dans le sens du courant, charrie de l'électricité positive; l'autre, dirigé en sens contraire, charrie de l'électricité négative ; lorsque le courant est uniforme, ces deux flux ont un égal débit.

D'autre part, la loi d'action mutuelle de deux charges électriques énoncée par Coulomb est une loi incomplète ; elle ne s'applique qu'à des charges qui sont en repos relatif; si deux charges électriques e, e\ sont séparées par une distance r variable avec le

(*) W. Weber, Elektrodynamische Maassbestimmungen, Leipzig, 1846.

temps t, ces deux charges se repoussent par une force dont l'expression est

ee

" a ^ fdr

Ï6 \dt

ar d^ "^ 8 ^' dt'

Appliquée au calcul des actions électrodynamiques, cette loi redonne la loi élémentaire d'Ampère; appliquée aux phénomènes d'induction, elle en formule la loi mathématique.

La constante a figure dans chacune de ces lois. Voyons, en particulier, comment elle figure dans la loi d'Ampère.

Deux éléments de courants uniformes ds^ ds' sont en présence ; dans le premier, le flux d'électricité positive et le flux d'électricité négative ont une valeur commune i ; dans le second, ces deux flux ont une valeur commune i'; e est l'angle des deux éléments, r la distance qui les sépare, 6, 0' les angles que font ces éléments avec la droite qui va d'un point de l'élément ds à un point de l'élément ds\ Ces deux éléments se repoussent avec une force

ids i'ds'

cos € — 7^ cos 9 cos 0'

Les intensités J, J' des deux courants sont liées aux débits partiels i, i' par les relations

La force précédente peut donc encore s'écrire

«2 Jdsrds' f 3 ^ ^,

-J- ; COS e — -T cos 0 cos 0

Aujourd'hui, on écrit habituellement cette formule de la manière suivante :

^,, -^dsl'd^ f 3 ^ A

— 2A^ 2 ( cos e — -^ cos 0 cos 0 j ,

A^ étant la constante fondamentale des actions électromagnétiques

— iSl — .

évaluée en unités électrostatiques. La constante a^ de Weber est, on le voit, liée à cette constante A^ par la relation

W. Weber, d'ailleurs, changea bientôt la forme de sa loi, quMl écrivit

ee' ri

r 1 fdrX^ 2 d^rl

La nouvelle constante c^ ainsi introduite était liée à la constante a^ par l'égalité

1 Cfc

et, partant, en vertu de l'égalité (112), elle est liée à la constante A^ par l'égalité

Il est clair que c est une grandeur de même espèce qu'une vitesse.

Imaginons que la vitesse avec laquelle les deux charges e, e' s'approchent ou s'éloignent l'une de l'autre, vitesse dont la valeur

absolue est celle de ;t7, soit une vitesse uniforme; -rr^ sera égal

dt

dt'

à 0 et les deux charges se repousseront avec une force

ee'

Si l'on a

■ 1 (dry c" [dt

dr

ces deux forces se détruiront ; la force électrodynamique

1 ee' /^drV ee'

-TT j fera équilibre à la force électrostatique -^ .

Cette constante c, W. Weber et R. Kohlrausch, dans un mémoire demeuré classique (*), en ont déterminé expérimentalement la valeur ; ils ont trouvé que cette valeur, évaluée en millimètres par seconde, était :

Ils font suivre simplement ce résultat de la réflexion que voici :

" Cette détermination de la constante c prouve donc que deux masses électriques devraient se déplacer avec une très grande vitesse l'une par rapport à l'autre, si l'on voulait que la force électrodynamique fît équilibre à la force électrostatique; savoir avec une vitesse de 439 millions de mètres ou de 59 320 milles par seconde; cette vitesse surpasse notablement celle de la lumière. „

L'année suivante, G. Kirchhoff (**) se proposa de déduire de la théorie de Weber les lois suivant lesquelles l'induction électrodynamique se propage dans un fil conducteur.

Il fit observer que la résistance du fil figurait dans les équations obtenues, mais divisée par un facteur constant dont la valeur numérique est extrêmement grande ; de sorte que dans un fil de cuivre de quelques mètres de longueur, de quelques millimètres de rayon, les lois de variation du courant électrique étaient sensiblement les mêmes que si le fil avait une résistance nulle. Dans ce cas limite, oii le fil est supposé sans résistance, l'intensité J du courant électrique qui parcourt un conducteur fermé s'exprime, à l'instant t, par la formule suivante :

s étant la longueur du fil depuis une origine donnée jusqu'au point considéré, h une constante et f une fonction arbitraire.

(*) R. Kohlrausch et W. Weber, EleTctrodynainische Maassbestimmungen, inabesondere Zuruckfuhrung der Stromintensitàts-Messungen auf mechanische Maass, Leipzig, 1856.

(**) fi. Kirchhoff, Ueber die Bewegung der Elektricitât in Drâhten (Poggendorff's Annalen, Bd. G, 1857).

Ce courant peut être regardé comme le résultat de la superposition de deux autres courants d'intensités respectives

ou de deux ondes amorties qui se propagent en sens contraire avec une vitesse —7= .

" La vitesse de propagation d'une onde électrique, dit Kirchhoff, se trouve d'après cela égale à -=, ; elle est donc indépendante de la

section du fil, de sa conductibilité, enfin de la densité électrique; sa valeur est de 41 950 milles par seconde; elle est partant très voisine de la vitesse avec laquelle la lumière se propage dans un espace vide. „

L'analyse du mouvement de l'électricité dans un fil, qui avait conduit G. Kirchhofî à cette remarquable conséquence, se trouvait peu après étendue (*) par le même auteur aux conducteurs dont les trois dimensions sont finies.

Le résultat obtenu par G. Kirchhoff ne pouvait manquer de frapper Weber. Il entreprend de soumettre les oscillations d'un courant électrique variable en un fil conducteur à une étude théorique et expérimentale approfondie (**). Cette étude confirme les recherches de Kirchhoff. Moyennant certaines hypothèses, au nombre desquelles se trouve la petitesse de la résistance du fil, on

reconnaît que * —j-^ est la limite vers laquelle tendent toutes les

vitesses de propagation, et pour la valeur donnée de c

«onjirrk .^.millimètre

seconde

{*) G. Kirchhoff, Ueber die Bewegung der Elektricitât in Leitern (Poggendorff's Annalen, Bd. Cil, 1857).

(**) Wilhem Weber, Elektrodynamische Maasshestimmungen, insbesondere Ûber elektrische Schwingungen^ Leipzig, 1864.

cette limite a pour valeur

millimètre seconde

c'est-à-dire une vitesse de 41 950 milles en une seconde. „

* G. Kirchhoff a déjà trouvé cette expression pour la vitesse de propagation des ondes électriques et il a remarqué " qu'elle est y, indépendante de la section du fil, de sa conductibilité et de la „ densité électrique; que sa valeur, qui est de 41 950 milles par „ seconde, est très voisine de la vitesse de la lumière dans le vide „. Si cette concordance approchée entre la vitesse de propagation des ondes électriques et la vitesse de la lumière pouvait être regardée comme l'indice d'une relation intime entre les deux doctrines, elle mériterait le plus grand intérêt ; car la recherche d'une semblable relation a une grande importance. Mais il est évident qu'il faut considérer avant toutes choses la Véritable signification qu'a cette vitesse en ce qui concerne l'électricité ; et cette signification ne paraît pas être de nature à favoriser de grandes espérances. „

" En effet, comme nous l'avons montré ci-dessus, pour que la véritable vitesse de propagation s'approche de cette limite qui coïncide avec la vitesse de la lumière, il faut non seulement que le fil conducteur soit très délié, eu égard à sa longueur, mais encore que ce fil long et fin ait une très petite résistance. Il est bien évident que la vitesse réelle ne s'approchera que très rarement de cette valeur limite et que, très souvent, elle en sera fort éloignée. „

§ 2. ha vitesse de la lumière et la propagation des actions électriques; recherches de B. Riemann, de C, Neumann, et de L. Lorenz.

L'égalité, au moins approchée.

où V désigne la vitesse de la lumière dans le vide, n'en est pas moins une conséquence des expériences deWeber et deKohlrausch

et, malgré les approximations auxquelles était soumise la proposition démontrée par G. Kirchhoff, cette égalité était trop frappante pour qu'on n'y vît pas la marque d'une relation intime entre la lumière et l'électricité. Dès ce moment, les physiciens tentèrent d'introduire dans les théories électriques l'idée d'une propagation qui se produirait à travers l'espace avec la vitesse même de la lumière.

Le 10 février 1858, Bernhard Riemann lisait à la Société des Sciences de Goettingue une note intitulée : Ein Beitrag zur Electrodynamik; cette note ne fut publiée (*) qu'après la mort de l'illustre analyste.

Le point de départ adopté par Riemann est le suivant.

Supposons qu'un point M porte, à l'instant ^, une charge électrique variable avec t, q{t). On admet ordinairement qu'en un point M', dont r est la distance au point M, cette charge électrique engendre une fonction potentielle dont la valeur, au même instant

t, est — . A l'instant f, la fonction potentielle au point M' est

Riemann admet qu'à l'instant ^, la fonction potentielle engendrée en M' par la charge du point Mest-^U \ a étant

une constante positive ; la fonction potentielle en M' à l'instant t est

On peut évidemment énoncer cette hypothèse en disant que la fonction potentielle électrostatique, au lieu de se propager instantanément dans l'espace, comme on l'admet habituellement, s'y propage avec la vitesse finie a.

(*) Bernhard Riemann, Ein Beitrag zur Elehtrodynamik, Poggkndorfp's Annalen, Bd. CXXXI. — Bernhard Riemann^ s gesammelte mathematische Werke, p. 270; 1876.

Or, de cette hypothèse, Bernhard Riemanri déduit pour le potentiel électrodynamique mutuel de deux systèmes, une formule qui coïncide avec celle que W. Weber a donnée, pourvu que l'on prenne

D'après la détermination de Weber et de Kohlrausch, on a

, millimètre

seconde

* Il en résulte que a est égal à 41 949 milles géographiques par seconde, tandis que les calculs de Busch, prenant pour point de départ les observations d'aberrations faites par Bradley, donnent pour vitesse de la lumière 41 994 milles, et que Fizeau, par une mesure directe, a trouvé 41 882 milles. „

Riemann pouvait donc résumer de la manière suivante sa contribution à l 'électrodynamique :

" J'ai trouvé que l'on pouvait expliquer les actions électrodynamiques des courants électriques en supposant que l'action d'une masse électrique sur une autre ne se produit pas instantanément, mais se propage avec une vitesse constante; cette vitesse est d'ailleurs égale, aux erreurs d'expérience près, à la vitesse de la lumière. „

Malheureusement, selon une remarque de Clausius (*), l'analyse de B. Riemann était certainement inexacte ; l'éditeur des œuvres de Riemann, M. H. Weber, suppose avec vraisemblance que l'erreur avait été reconnue par Riemann et l'avait empêché de livrer sa note à l'impression.

En 1868, alors que l'écrit de Riemann était encore inconnu, l'Université de Bonn fêtait son jubilé cinquantenaire ; comme Gratulationsschrift de l'Université de Tubingue, M. Garl Neumann présenta un écrit intitulé : Theoria nova phœnomenis electricis applicmida ; cet écrit contenait le résumé d'une théorie qui fut.

(*) R. Clausius, Poggendorff's Annalen, Bd. GXXXV, p. 606 ; 1869.

plus tard, publiée in extenso sous ce titre (*) : Diè Principien der Mektrodynamik.

L'hypothèse fondamentale de M. Cari Neumann concordait essentiellement avec celle de Riemann ; l'auteur l'énonçait en ces termes : " Nova introducitur suppositio, statuendo, causam illam motricem, quam potentiale vocamus, ab altéra massa ad alteram non subito sed progiediente tempore transmitti, atque — ad instar lucis — per spatium propagari celeritate quadam permagna et constante. Quam celeritatem denotabimus litera c. „

" Ista suppositio, conjuncta cum hac altéra, principium Hamiltonianum normam exprimere supremam ac sacrosanctam nullis exceptionibus obviam,fit suppositio in theoria nostrafundamentalis, ex qua (absque ulla ulteriore suppositione) leges illse notissimse a ceV^ Ampère, Neumann, Weber, condilse sua sponte emanabunt. „

Mais si l'hypothèse essentielle admise par M. Garl Neumann concorde avec celle qu'avait émise B. Riemann, elle s'en sépare immédiatement lorsque son auteur la traduit en formules.

Considérons, dit-il, deux points M, M', portant des charges électriques et agissant l'un sur l'autre; soit r leur distance à l'instant t. D'après ce que nous avons dit de la propagation du potentiel, nous devons distinguer deux espèces de potentiel : le potentiel émissif et le potentiel réceptif.

Le potentiel émissif du point M est le potentiel qui est émis par le point M à l'instant ^, et qui ne parvient au point M' que quelque temps après ; il a pour expression

eë

Wq = —

Quant au potentiel réceptifs M. Garl Neumann le définit en ces termes : " Potentiale receptivum vocabimus id, quod utrumque punctum recipit tempore t, aliquanto antea ab altero puncto emissum. Unde elucet potentiale receptivum respectu dati temporis

(*) G. Neumann, Die Principien der Elektrodynamik, Mathematische Anna- LEN,Bd.XVII,p. 400.

cujuslibet formatum idem esse ac potentiale emissivum respecta temporis cujusdam prioris formatum. „

Par des considérations qu'il serait trop long d'exposer ici, mais que l'on trouvera dans l'écrit intitulé : Die Principien der Elektrodynamih^ M. Cari Neumann parvient à l'expression .du potentiel réceptif u) que donnent les égalités suivantes :

UJ

du

ee:

\ rdry

^ c' \dt

TT

ee'

f\o^ r 1 dr

\~c W~ ~dt

De cette expression du potentiel émissif, l'emploi du principe de Hamilton permet de tirer l'expression de la force que chaque point subit à l'instant t ; cette force est dirigée suivant la droite qui joint les deux points, elle est répulsive et a pour grandeur

ee