CHAPITRE II

La première électrostatique de Maxwell

§ 1. Rappel de la théorie de la conductibilité de la chaleur

Avant d'aller plus loin et d'aborder l'exposé des idées de Maxwell, il nous faut arrêter un moment à l'étude de la conductibilité de la chaleur.

Considérons une substance, homogène ou hétérogène, mais isotrope.

Soient : {x, y, z) un point pris à l'intérieur de cette substance ;

T, la température en ce point;

k^ le coefficient de conductibilité calorifique en ce point.

Le flux de chaleur en ce point aura pour composantes suivant les axes de coordonnées :

/oo\ 7 ^T , bT , bT

^ ' hx hy hz

Considérons une partie continue d'un conducteur; un élément de volume

rfuj = dx dy dzj

découpé dans cette région, renferme une source de chaleur qui dégage, dans le temps dt, une quantité de chaleur j dii) dt ; nous pouvons nommer j ïintensité de la source. Nous aurons^ d'après cette définition,

bu bv ^^ biv .

bx '^ by '^ bz ~ ^'

ou bien, en vertu des égalités (33),

Soit maintenant S la surface qui sépare deux substances, 1 et 2, de conductibilités différentes. L'élément dS de cette surface renferme une source de chaleur superficielle qui, dans le temps dt^ dégage une quantité de chaleur 3 dSdt; J est Vintensité swperft" cielle de la source. Nous aurons alors

u^ cos (Ni, X) + v^ cos (N^, y) + w^ cos (N^, z) + ^2 cos (Ng, x) + ^'2 cos (N^, y) + t^'g cos (N^, z) = i

ou bien, en vertu des égalités (33),

Telles sont les équations fondamentales, données par Fourier, qui régissent la propagation de la chaleur par conductibilité. On sait comment l'œuvre de G. S. Ohm, complétée plus tard par G. Kirchhoff, a permis de les étendre à la propagation du courant électrique au sein des corps conducteurs. Pour passer du premier problème au second, il suffit de remplacer le flux de chaleur par le flux électrique, la conductibilité calorifique par la conductibilité électrique, la température T par le produit eV de la constante des lois de Coulomb et de la fonction potentielle électrostatique ; enfin

de substituer à ^ et à J les rapports —, — , O", Z désignant les

densités électriques solide et superficielle.

Une extension analogue des équations de la conductibilité calorifique peut servir à traiter de la diffusion d'un sel au sein d'une dissolution aqueuse, selon la remarque bien connue de Fick.

Une analogie analytique peut aussi être étabhe entre certains problèmes relatifs à la conductibilité de la chaleur et certains problèmes d'électrostatique.

Considérons, par exemple, le problème suivant :

Un corps C est plongé dans un espace E. Le corps C et l'espace E sont tous deux homogènes, isotropes et conducteurs, mais ils ont

— sodés conductibilités différentes ; h^ est la conductibilité du corps G ; k^ est la conductibilité de l'espace E. Le corps G est supposé maintenu à une température invariable, la même en tous ses points, que nous désignerons par A ; les divers éléments de l'espace E ne renferment point d'autre cause de dégagement ou d'absorption de chaleur que celle qui provient de leur chaleur spécifique T ; chaque élément c?uj, de densité p, dégage donc, dans le

wv temps dt, une quantité de chaleur — p f^iu y -rr dt, en sorte que

dT

enfin, l'état de ce milieu E est 'supposé stationnaire ; T y a, en chaque point, une valeur indépendante de ^, ce qui transforme l'égalité précédente en

Gomment, pour réaliser un semblable état, faut-il distribuer les sources de chaleur à la surface du corps G ? Quelle sera, aux divers points de l'espace E, la valeur de la température T ?

La température T, continue dans tout l'espace, devra prendre, en tout point du corps G et de la surface qui le termine, la valeur constante A; en tout point de l'espace E, elle devra vérifier l'équation