CHAPITRE ONZIÈME

Application des théories logiques aux divers ordres de sciences, et premièrement aux mathématiques, ou appréciation de la Mjanp^êe ae9 emMewM:

Sommaire. — La logique de Condillac remarquable surtout par ses applications. - D'où vient l'attrait de la Langue des calculs ? — Quelle en est l'utilité pour l'étude des mathématiques? — Observations judicieuses de Condillac sur l'arithmétique et l'algèbre. ~ Côtés défectueux de la Langue des calculs^ soil au point de vue philosophique, soit au point de vue mathématique.

logique Jusqu'à présent, nous avons considéré en elles-mêmes jrquabie Jes théories logiques de notre auteur. Mais Condillac brille

ses apph- . .

^' surtout dans les applications. S'il est souvent sec et artificiel dans le pur philosophique, on aime à le voir porter son esprit ingénieux et son beau talent d écrivain sur les mathématiques, la physique, la grammaire, lart d'écrire, etc. Il y a du vrai dans cet éloge que lui donne Laromiguière, de n'avoir pas imité ces logiciens d'autrefois qui interrogeaient une philosophie étrangère à nos besoins, à nos plaisirs et propre tout au plus à satisfaire une vaine curiosité, mais d'avoir consulté la nature (fabord qui nous donne les premières leçons, puis les grands poètes et les grands écrivains qui Vont prise pour modèle (Ij, et, pourrait-on ajouter, les grands physiciens et

[\)L^vorcï'\%mQVQ^ Leçons de philosophie.

les grands mathématiciens, les Newton, les d'Aleintert, les Tjagrange.

Etudions donc ces applications dont lexamen ne pourra manquer de compléter utilement les discussions précédentes. Nous insisterons plus longuement sur les rapports avec la philosophie et les lettres que sur les applications scientifiques, parce que, dans les sciences proprement dites, nous sommes moins sur notre terrain. Cependant Condillac ne se perd jamais dans des hauteurs inaccessibles au commun des lecteurs, et, dans toute la suite de ses ouvrages, il ne se trouve rien qu'un esprit cultivé ne puisse comprendre et apprécier.

Parlons d abord des mathématiques. On sait toujours les mathématiques, suivant Condillac, ou du moins, dans cette science on tire ce que Ion ignore de ce que Ton connaît, et il est moins nécessaire de savoir que d'être apte à étudier (1). On a donc le droit de parler des inathéinaliques, môme sans en avoir fait une étude spéciale.

Les réflexions qui vont suivre ne sont qu'une appréciation de la Langue des calculs. Nous n'avons pas oublié qu'il y a de la géométrie dans VJrt de raisonner et de l'algèbre dans la Logique. Mais dans la Langue des calculs^ l'auteur ne se borne pas à emprunter aux matliématiques quelques exemples particuliers; c'est le corps entier de la science dés nombres qu'il étudie en philosophe et qu'il cite à l'appui de ses théories.

Ce qui plaît Si l'ou cherche à se rendre compte du plaisir que l'on (à^liUc^sf^ éprouve à la lecture de ce singulier ouvrage, on voit que ce qui en fait le charme, c'est un mélange original de choses qui semblent s'exclure. C'est de l'esprit, de la philosophie et de la grannnaire sur les mathématiques ; c'est

(i) Langue des calculs, passim.

surtout cette heureuse idée de donner pour modèle à nos méthodes mcertaiues et à nos langues imparfaites la science la plus avancée de toutes, et la plus sûre de sa langue et de sa méthode. Déjà Pascal et Malebranche avaient eu la même idée ; mais ils n'y avaient consacré ^ que quelques pages, Condillac y consacre un livre entier.

Sans doute, les personnes peu versées dans les études mathématiques n'ont pas toujours la patience ou le loisir de suivre lauteur dans les détails techniques où il s'engage. Car, comme l'observe Condillac lui-même, on n'étudie bien que ce que l'on a besoin de connaître. Mais sans s'astrehidre à tout voir, encore moins à tout retenir, il est facile de saisir d'abord la pensée générale et le plan de l'ouvrage. Plus tard, on peut revenir à loisir sur telle ou telle partie, bien sûr de retrouver partout le même intérêt philosophique et les mêmes idées fondamentales. ftiiitédecet Quelle est maintenant l'utilité de la Lans^ue des calculs

ffage pour .

Ddcdesma- par rapport aux études mathématiques? Elle est double à mon avis, suivant que Ion considère l'ensemble ou les détails de l'ouvrage. Ce qu'il y a d'excellent dans l'ensemble, c'est le sentiment partout présent de la simplicité des signes et des méthodes, et l'analogie constante qui en est la loi et qui les détermine. Sans doute, comme nous le verrons plus loin, cela ne donne qu'une idée insuffisante de la méthode d'invention et de celle d'exposition. Mais nous sommes convaincu que si, après avoir puisé ailleurs la notion exacte de ces méthodes, on' aborde l'étude des mathématiques avec l'esprit qui a inspiré la Langue des calculs^ on n'hésitera jamais sur la marche à suivre. La plus simple, la plus analogue, voilà celle que l'on adoptera invariablement.

Observations Veut-on connaitre en détail les services rendus par

)uaicieuses r

l'arithmétique ^ondiUac à la science des nombres? On peut en voir et l'algèbre, j'énumération dans le Discours sur le raisonnement de Laromiguière. Après avoir résumé la partie mathématique de la Langue des calculs, cet auteur s'exprime ainsi : « il n'est pas une de ces pages où l'on ne trouve quelque instruction, et surtout où Ton n'apprenne à s'instruire soi-même. L'esprit d'analogie qui en a tracé le plan, et qui a trouvé les dialectes et leurs diverses méthodes, se montre jusque dans les moindres éléments de ces dialectes (1). » Laromiguière insiste ensuite sur trois points principaux :

1® Condillac refait et corrige souvent avec succès la langue des mathématiques. 11 fait ressortir les vices d'un dialecte où l'analogie des opérations disparait sous des expressions qui elles-mêmes manquent d'analogie. Ainsi le mot démultiplication^ employé au lieu du mot diifision^ préviendrait bien des erreurs. Il explique les expressions nombre^ multiplier^ dimser^ quotient, puissance; il \ bannit les quantités concrètes^ complexes et incomplexes ; il dénonce au bon goût les parties aliquotes et aliquantes; il montre plus nettement que ne l'avait fait aucun mathématicien que les signes algébriques ont l'avantage de distinguer les opérations que l'on fait sur les quantités, et les quantités sur lesquelles on opère. « Cette distinction est un trait de lumière qui éclaire tout à coup une théorie jusque-là inexplicable (2). » Au lieu de quantité négatii^e^ il aime mieux dire quantité en moins^ quantité à soustraire ou soustraction.

2® Condillac explique très-bien, par la nature et lana-

(i) Laromiguière . Leçons de philosophie, t. 1, p. Syo. — (2) Ibid., p. SjS.

logie, 1 origine de la progression décuple, et, par conséquent, les diverses méthodes qui en découlent. En effet, la nature fait exprimer aux doigts des unités simples, 1 analogie leur fait exprimer des unités de différents ordres. 11 y a mieux, la nature seule suffirait pour conduire à ce résultat. Que Ion ait eu, par exemple, à exprimer le nombre onze mille cent onze, en employant le dialecte des doigts; au lieu de n employer qu'un seul doigt qu'il aurait fallu ouvrir et fermer cinq fois de suite, ce qui aurait pu tout confondre, on aura dit une dizaine de mille en ouvrant le pouce ou le petit doigt, un mille en ouvrant le doigt suivant, et ainsi de suite. Or les cinq doigts étant ouverts, et le premier représentant une unité simple, le second une unité de dizaine, et les autres successivement, les ordres suivants, l'expression de la progression décuple était sous les yeux, « il n'y avait qu'à regarder (1). »

3* Condillac explique l'origine des chiffres et des signes algébriques. Les chiffres romains I, II, III, IV sont les images visibles d'un, de deux, de trois, de quatre doigts levés, etc. Quant à l'origine de l'algèbre^ Condillac la trouve dans le calcul avec des cailloux, lorsque l'usage de quelques caractères se fut introduit. On se servit de ces caractères pour distinguer les cailloux. On dit donc, le caillou <2, le caillou i, le caillou c ; bientôt, pour abréger, on dit simplement a, b^ c.

Tels sont, suivant Laromiguière, les principaux services rendus par Condillac aux sciences mathématiques. Ces observations de l'auteur des Leçons de philosophie nous semblent tout à fait justes. Nous ajouterons même que ce qu'il y avait de mieux à faire pour expliquer l'ori-

(i) Laromiguière, Leçons de philosophie^ p. 377.

gine de larithmétique et de l'algèbre, et pour ôter aux. langues qu elles parlent cet air étrange qui nous rebute quelquefois, c'était de montrer l'analogie qui existe entre les dialectes des doigts, des mots, des chiffres et des lettres.

Pour rendre complète justice à la Langue des calculs, il faudrait faire connaître ces nombreux passages où Condillac exprime, avec son rare talent d'écrivain, quelqu'une de ces vérités qui sont de tous les temps et de tous les lieux. Qu'on lise, par exemple, le commencement du chapitre XV de la première partie. Quel admirable morceau de critique ! Quelle foule d'excellents aperçus ! Quel style à la fois familier et noble, simple et piquant! Il faudrait • citer des pages entières; nous ne pouvons qu'y renvoyer le lecteur.

Mais après avoir hautement reconnu les qualités qui recommanderont toujours la ZflAzg^we des calculs à l'attention des esprits cultivés, nous ne pouvons en dissimuler les côtés défectueux, soit au point de vue philosophique, soit au point de vue mathématique.

Défauts de Le philosophe, désireux de tout savoir, aime a être in-

la Langue des . . .

calculs y au troduit dans le sanctuaire de la science par excellence, des

point de vue t^ '

philosophique mathématiques; il sait donc bon gré à l'auteur de la Langue des calculs des connaissances que celui-ci lui domie ou lui rappelle. Mais la partie philosophique lui fait éprouver de fréquentes déceptions.

Nous ne reviendrons pas sur les erreurs que nous avons déjà signalées, telles que la théorie de l'identité, la fausse assimilation de toutes les sciences aux mathématiques, la prédominance du signe sur la pensée, etc. Bornons-nous à une remarque générale. On parle quelquefois de l'unité rigoureuse de la Langue des calculs et de l'enchaînement

des parties dont elle se compose. Il y a ici une équivoque. 1. enchaînement "rigoureux que Ton trouve dans cet ouvrage n'est que le progrès même des vérités mathématiques. Quant aux vues logiques, elles sont disséminées çà et là, sauf dans deux ou trois chapitres, et quand Laromiguière veut en former un ensemble (1), il est bien obligé dy mettre du sien; et encore n'y réussit-il qu'à demi. Au fond, il est difficile de distribuer dans un ordre bien déterminé ces propositions paradoxales qui ressemblent plutôt à des traits d'esprit qu'à des formules scientifiques.

Mais ce qui choquera surtout un philosophe dans la doctrine de Condillac, c'est sa faiblesse comme métaphysique du calcul. Suffit-il donc, pour approfondir la nature (les vérités mathématiques, de montrer la génération des dialectes divers, d'y faire quelques rectifications de grammairien, de répéter le mot nature, sans désigner par là autre chose que la numération avec les doigts ou l'emploi des cailloux?

Nous avons déjà vu de quelle manière superficielle et fausse Condillac explique l'origine des idées de nombre et d unité (2). L'insuffisance de son point de vue métaphysique ne se montre pas moins clairement dans ce qu'il dit pour établir la portée universelle des démonstrations. Il se fait à lui-même cette objection que « ce qui est démontré d'une proportion, n'est pas démontré de toutes ; car on ne peut pas conclure du particulier au général (3). » A cela que répon:l Condillac? Il répond que nous pouvons fort bien conclure du particulier au général, que nous y sommes forcés même, puisque les vérités générales ne sont pas les premières qui viennent à notre connais-

(i) Voir le Discours sur le raisonnement» Leçons de philosophie^ 1. 1, p. 382. — (2) Voy. ci-dessus, part. II, ch. IV. — (3) Langue des calculs^ p. 1 12.

sance (1), et que la démonstration est sans défaut quand les cas sont tout à fait semblables. « Une propriété qui constitue une proportion arithmétique est donc une propriété qui les constitue toutes; autrement il faudrait supposer qu'il y a des proportions arithmétiques qui ne sont pas des proportions arithmétiques. » En définitive, Condillac nous donne comme explication dernière son éternelle notion d'identité. Reste à savoir comment il pourra établir l'identité d'une proposition générale et d'une proposition particulière. Nous aimons mieux Malebranche parlant de la vérité universelle et distinguant le nombre idéal du signe que l'on a sous les yeux. Mais le système de Condillac excluait de telles considérations.

Autre remarque. On sait que notre auteur n'a pas eu le temps d'aborder le calcul infinitésimal. Laromiguière le regrette vivement. Nous le regrettons aussi; mais pour d'autres raisons. Voici, en effet, ce qu'on lit dans \Art de penser (2) . « La science mathématique est mieux démontrée que les autres sciences, parce qu'elle est appuyée sur des principes plus sensibles, et sur des idées qui sont naturellement déterminées. Quand^ pour s'éleuer à Vinfini^ elle perd de viie ces principes et ces idées ^ elle déifient incertaine^ et elle s'égare soiwent dan^ des paralogismes, » En lisant cette dernière phrase, on se demande comment Condillac s'y serait pris pour traiter du calcul infinitésimal, et c'est une nouvelle raison de regretter la dernière partie de la Langue des calculs^ qui aurait pu donner quelques éclaircissements à cet égard. Mais, à dire le vrai, nous doutons que notre auteur eût réussi, sans modifier sa méthode générale, à exposer les principes du calcul différentiel et intégral. En effet, dans ces hautes

(I) Langue des calculs^ p. 1 13. — (2) Art de penser ^ p, 228.

questions, où il semble que l'esprit se meuve plus librement, on ne trouve plus ce mécanisme inflexible qui, dans les mathématiques élémentaires, conduit la pensée sans !ui permettre le moindre écart.

Défauts Telles sont les réflexions que fait naître dans l'esprit

x miSîéma- d'uu philosoplie la lecture de la Langue des calculs. Quant ^^ aux mathématiciens, ce qui les séduit à première vue, ce

n'est pas la seconde partie, sur laquelle ils sont compétents, mais bien la première, où se trouvent des inductions philosophiques dont ils peuvent difficilement apprécier la valeur. Us aiment à voir un philosophe de profession demander à la science des nombres le modèle de la langue et de la méthode philosophiques ; ils approuvent les remarques de détail et les corrections grammaticales ; ils admirent la beauté du style et lart parfait de lexposition. Mais aucun d'eux n'ira chercher une méthode mathématique dans la Langue des calculs.

Il y a, en mathématiques, deux méthodes très-distinctes : l'analyse, ou méthode de réduction^ et la synthèse, ou méthode de déduction (1). La première consiste k ramener un tliéorème énoncé dont on cherche la démonstration à une suite d'autres théorèmes, ou un problème posé dont on cherche la solution à une suite d'autres problèmes, jusqu'à ce qu'on arrive à une proposition certaine dont la première soit la conséquence, ou à un problème facile à résoudre, dont la solution entraine celle du premier. La déduction suit une marche inverse.

Telle est la double méthode qui a été décrite en termes plus ou moins exacts par beaucoup de mathématiciens philosophes. Or, il n'y a rien de tout cela dans Condillac. La Langue des calculs a été faite d'après la fausse méthode

(i) G. f. Duhamel, De la méthode dans les sciences de raisonnement.

'2Qii APPRÉCIATION DE LA LANGUE DES CALCULS.

expérimentale du Traité des sensations. De même que lauteur a donné à la statue douée du sens de lodorat bien des facultés qui ne sortent pas de la sensation, de même ici il commence par nous réduire arbitrairement au calcul avec les doigts, et dès lors les observations qu'il fait ont un caractère purement hypothétique. Bien plus, l'auteur, en traitant du calcul avec les doigts, est bien obligé d'employer des mots, et quand il s'impose pour règle de n'employer que des mots, le lecteur qui le suit ne peut s'empêcher de se représenter des chiffres. A chaque instant on craint, en prenant à la lettre tout ce qu'on lit, d'être le jouet d'une illusion. Que dis-je ? L'auteur évidemment se fait illusion à lui-même. Non, le calcul n'était pas aussi facile à trouver que Condillac veut bien le dire (1). Quand on lit son exposé, tout paraît aller de soi ; un signe appelle un autre signe ; une première opération en fait trouver une seconde. Mais cette facilité apparente, ces liaisons d'idées si naturelles, viennent d'une longue habitude de méditer sur des choses que l'on a déjà apprises. Condillac a l'air de dire que nous trouvons avec lui les méthodes et toute la série des théorèmes. Le fait est que nous ne trouvons rien, ni lui non plus. Il se souvient de ce qu'il a lu dans MM. d'Alembert et de Lagrange, et, quoi qu'il en dise, au lieu d'observer il enseigne. Concluons que la Langue des calculs ne nous offre pas une image exacte des méthodes d'invention et d'exposition applicables aux sciences mathématiques.

Terminons cette critique par une observation qui semble ne porter que sur la composition de l'ouvrage, mais qui a peut-être son importance au point de vue philosophique. En calculant tour à tour avec les doigts, avec des

(i) Langue des calculs, p. 37.

mots, avec des chiffres, etc., Condillac n'entend pas nous exposer chaque fois toute la série des opérations du calcul. Avec le dialecte des doigts, il ne va que jusques à la quatrième règle de Tarithmétique ; avec celui des noms, il recommence pour aller un peu plus loin, et ainsi de suite. Quelle est donc la règle qu'il suit dans la distribution des matières? A l'entendre, il n'abandonne un système de signes que lorsque le besoin d'un système plus simple se fait sentir. Mais, malgré cette déclaration, plus d'une fois la manière dont les opérations, sont groupées nous a paru tout à fait arbitraire, ou réglée seulement par les lois de la composition. Or, nous avons lait la même remarque en lisant le Traité clés sensations. Là, Condillac part successivement des divers sens, de l'odorat, de la vue, du goût, etc., et, comme toutes nos idées et nos facultés ne sont qu'une première sensation transformée, il n'y a pas de raison pour ne pas retrouver une psychologie complète à la suite de chaque sens. Mais -ce serait tomber dans les redites les plus fatigantes. Condillac prend donc le parti, après avoir tout dit à propos de l'odorat, de passer rapidement sur le goût, la vue et l'ouïe, tandis qu'en bonne logique, il ne faudrait pas plus insister sur un sens que sur les autres. Ainsi, voilà deux cas où notre auteur substitue une méthode artificielle et purement littéraire à ces rapports précis et bien déterminés qui doivent exister entre les différentes parties d'un ouvrage philosophique. Faut-il donc regarder comme authentique ce mot qu'on lui attribue : appliquez- ^ous à bien écrire^ le reste importe peu?