II. — Définition des Porismes

Simson dit que « la définition de Pappus étant trop générale, il la remplacera par une autre. » Il ne dit pas de laquelle des deux définitions il veut parler. Mais nous pensons que c’est de celle des Anciens. Dans cette opinion, que nous justifierons plus loin, nous mettrons d’abord sous les yeux du lecteur cette définition telle que Simson nous paraît l’entendre dans sa version du texte de Pappus :

« Le Porisme est une proposition dans laquelle on a à chercher la chose proposée ( 1 ). »

Cette chose, que l’on a à chercher, Simson l’appelle donnée, comme Pappus et Euclide.

Cela posé, voici sa propre définition du Porisme :

« Porisma est Proposi tio in qua proponitur demonstrare » rem aliquam, vel plures datas esse, eui, vel quibus, ut et » cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed qua; » ad ea quæ data sunt eandem habent ralionem, convenire » ostendendum est aHectioncm quandam communem in » Propositionedescriptam.il

Nous dirons, en cherchant à exprimer la pensée de l'auteur ;

( 1 ) « Diieruntf Vcleres), Thcorema esse quo aliquid proposition est domonstrandum ; Problema vero, quo aliquid proposition est construcndum ; Porisma veto este quo aliquid propositum est investira itdum. » ( De Porismatibus, clc. t p. 347*)

Le Pomme est une proposition dans laquelle on demande de démontrer qu’une chose ou plusieurs sont données , qui , ainsi que l’une quelconque d'une infinité d'autres choses non données, mais dont chacune est avec les choses données dans une même relation , ont une certaine propriété commune, décrite dans la proposition,

La chose ou les choses qui sont données , c’est-à-dire qui sont des conséquences de l’hypothèse , peuvent être des grandeurs ou quantités, comme des lignes ou des nombres, ou bien ce peut être la position d’une ligne considérée comme lieu , ou bien encore la position d’un point par lequel passent une infinité de droites qui sont les choses variables, ou la position d’une courbe à laquelle sont tangentes toutes ces droites.

Cette définition de Simson comporte naturellement une forme d’énoncés particulière aux Porismes et qui caractérise ces propositions.

Cette forme technique, dont nous allons donner des exemples, est précisément celle des deux Porismes d’Euclide que Pappus nous a transmis complets.

III. — Exemples de Porismes conformes à la définition précédente.

I. Le Porisme complet cité par Pappus satisfait, dans son énoncé original, à la définition de Simson, puisqu’il s’agit de déterminer la position d’une droite et d’un point dont l’existence est annoncée.

II. Il en est de même du Porisme des quatre droites, et de la proposition générale de Pappus, puisque Simson admet que la chose à déterminer dans un Porisme peut être la position d’un lieu dont la nature est connue et annoncée dans l’hypothèse.

III. Trois droites étant données de position, si de chaque point de V une on abaisse des perpendiculaires p, q, sur

les deux autres, on pourra trouver une ligne a et une raison X telles, que la perpendiculaire j) plus la ligne a sera à la perpendiculaire q dans la raison X.

C’est-à-dire qu’on aura toujours p -4- a

IV. Une droite étant donnée de position, et un cercle étant donné de grandeur et (le position, il existe un point tel, que toute droite menée par ce point rencontre la droite et. le cercle en deux points dont le produit des distances au point en question sera donné.

V. Si par deux points donnés on mène à un autre point deux droites telles, que leurs longueurs soient entre elles dans une raison donnée, ce point est situé sur une circonférence de cercle donnée de grandeur et de position.

En d’autres termes, le lieu d’un point dont les distances à deux points fixes sont entre elles dans une raison donnée, est une circonférence de cercle.

Cette proposition est un lieu, conséquemment un Polis me (i).

VI. Deux droites parallèles étant données de position, et sur ces droites deux points A, B, si l’on mène une troisième droite qui rencontre ces deux premières en deux points m, m’, tels, que le segment Am, plus une ligne donnée a, soit au segment Bm' dans une raison donnée X,

c est-à-dire que l’on ait ^ ^ / a droite mm’ passera

1 Bm

par un point donné.

VII. Deux couples de points a, a' et b, b' étant donnés sur une droite, il existe un autre point O sur cette droite et

(i) Celle proposition sc trouve parmi celles des lieux plans d’Apollonius, citées par Pappus. Eutocius la donne aussi comme exemple d’une proposition de lieu dans son Commentaire sur les Coniques d’Apollonius.

une ligne p, tels , t/ue, quel que soit le point ni que Ion prenne sur la même droite , la somme ou la différence des deux rectangles ma . ma', mb . mb' sera toujours égale au rectangle p . m O ( i ) .

Dans chacune de ces propositions il faut trouver ce qui est annoncé ou proposé ; ce sont donc des Parûmes, conformément à la définition que Pappus attribue aux Anciens.

Ainsi nous avons pu dire que c’est cette définition que Simson a eue en vue et qu'il a prise pour base de sa doctrine des Porisnics. Duc autre raison suffirait encore pour montrer que telle a été l’intention de Simson : c’est qu’il approuve Pappus d’avoir censuré la définition des Modernes, comme nous le dirons dans le paragraphe suivant.