IV. — Opinion de Playfair sur les Porismes

Playfair, professeur de Mathématiques à l’université d’Kdimbourg, a traité la question des Porismes dans un Mémoire intitulé On the origin and investigation of Porisms (2), qu’on peut considérer comme faisant suite à l’ouvrage de Simson. Mais l’auteur s’y est proposé principalement de rechercher l’origine probable des Porismes, c’est-à-dire les vues qui ont pu conduire les anciens géomètres à ce genre de propositions. Il pense que, de même

(1) Dans la géométrie moderne où l’on donne dos signes aux segments, ce Porisme s’exprime, d’une manière générale, par l’équation

ma . ma ' — mb . mb' H- p.mo = o.

(V. Géom. sup. p. i53.)

Cette proposition a été connue des Anciens; on la trouve dans les Leinmcs de Pappus sur le second livre de la Section déterminée, où elle est démontrée dans douze Lemmes (Propositions 45 à 56) à raison des différents cas auxquels donnent lieu les positions relatives des différents points de la figure.

(2) Lu à la Société royale d’Edimbourg, le 2 avril 1792, et inséré dans les Transactions de cette Société.

que ce sont les cas d'iinpossibilitéou de limitation des solutions, dans les problèmes, qui ont donné lieu aux questions de maxima ou minima, de même ce sont les cas où les problèmes deviennent indéterminés ou susceptibles d’un nombre iniini de solutions, qui ont conduit à la doctrine des Porismes.

D’après celte idée, et trouvant la détinilion des Porismes de Simson fort obscure, il donne celle-ci :

Un Porùme est une proposition qui affirme la possibilité rie trouver ries conditions qui rendent, un certain problème indéterminé ou tusceplible d'un nombre illimité de solutions (i).

Il ajoute que cette théorie sur l’origine des Porismes, ou du moins la justesse des notions qui en dérivent, sont confirmées par les propres vues de Dugald Stewart : « Ce savant professeur, dit-il, dans un Essai sur le même sujet, lu devant la Philosophie al Society il \ a quelques années, définit le Porisme : Une proposition affirmant la possibilité de trouver une ou plusieurs des conditions qui rendent un théorème indéterminé. Il faut entendre par théorème indéterminé, un théorème qui exprime une relation entre certaines quantités déterminées et certaines autres qui sont indéterminées en grandeur et en nombre. »

Cette manière de considérer les Porismes, connue exclusivement sous le nom dePlayfair, quoique, comme on voit, le célèbre philosophe écossais Dugald Stewart, alors professeur de Mathématiques ( 2 ), en ait eu le premier l’idée,

. (1) From thisaccoiint of the origin ofPnrisms, it follows, that a Porism may bedefined, A proposition affïrminç the possibilité of Jinding suc h conditions as will rendre a certain problem indeterminate , or capable of innumerable solutions.

(2) Dugald Stewart, nommé d’abord suppléant, en 177Q.de Matthew Stewart, son père, flans la chaire de mathématiques d’Fdimbourg, réunit à cet enseignement, en *778, la suppléance d’Adam Ferguson dans la chaire de Philosophie morale. Il lui arrivait dans le mémo temps de joindre bénévo-

a été adoptée par la plupart des géomètres qui ont adhéré à la divination de Simson sur la forme des énoncés des Porismes. Ainsi J. Leslie, dans sa Geometrical Analysis , dit : « Le Porisme a pour objet de démontrer qu'on peut trouver une ou plusieurs choses telles , qu'une certaine relation déterminée ait lieu entre ces choses et une infinité d’autres assujetties à une loi donnée.

» La nature du Porisme consiste à affirmer la possibilité de trouver des conditions qui rendent un problème indéterminé , c’est-à-dire susceptible d'une infinité de solutions (i). »

Disons tout de suite ici que, malgré l’assentiment assez général qu’a obtenu l’idée de Playfair, elle ne nous parait pas fondée.

En effet, la recherche des conditions qui rendent un problème indéterminé conduit à certaines relations entre les données de la question, et il peut résulter de là un théorème : mais c’est un théorème ordinaire, c’est-à-dire dans l’énoncé duquel il ne reste rien d’inconnu. Ce théorème peut sans doute, comme lotit autre, être transformé en un Porisme, ainsi que nous l’expliquons pins loin (§ VI, n) :

lement h ces doubles fonctions l’enseignement de l’astronomie, et même de la langue grecque et des belles-lettres, par obligeance pour scs collègues. Devenu professeur titulaire de Mathématiques, en 1780, a la mort de son père, il ne larda pas h échanger cette chaire contre celle de Philosophie que résignait Ferguson, et qui convenait mieux à scs admirables et rares talents de parole. Dès lors, il ne remplit plus qu'une chaire et il se livra exclusivement h l’étude des questions de philosophie, dans lesquelles il devait apporter avec tant de succès et d éclat, les procédés de raisonnement des sciences mathématiques.

(i) À Porism proposes to deinonstrate that one or more things may lie fotindy between wliich and innunierablc olhcr objects assumed after sonie given luw, a certain spevitied relation is to be shown to exist.

The nature of a Porism consists in aflirming the possibilily of finding such conditions, as will rénder a problcm indetrnninatc, or capable of inuutnerable solutions.

mais il est à croire, il nous parait même certain, que le théorème s’est présenté à l’esprit du géomètre avant le Porisme qui n’en est qu'un corollaire ou une expression différente.

En d’autres termes, la forme d’énoncé qui caractérise le Porisme n’est pas la conséquence immédiate ni nécessaire de la discussion d'un problème.

Il semble donc que la manière de concevoir l’origine du Porisme proposée par Playfair n’est pas fondée.

Assurément Euelide u’a pas eu besoin de résoudre des problèmes pour former ses 171 Porismes; il lui a sufli de prendre des théorèmes et d’en changer la forme. Ce qu'il a fait dans une vue tout autre que celle d’exprimer les conditions qui rendent un problème indéterminé.

Il faut observer d’ailleurs que non-seulement la recherche des conditions qui rendent un problème indéterminé ne conduit pas immédiatement ni nécessairement à un Porisme , mais qu’en outre on n’aperçoit point, en général, dans un Porisme le problème qui aurait donné lieu, par celte recherche des conditions d’indéterminaliou , à ce Porisme.

§ VI. — Réflexions sur quelques passages de Pappus. — Éclaircissements sur la nature et l’origine des Lieux et des Porismes. — Différence et point de contact entre les Porismes et les Corollaires. — Accord des deux définitions des Porismes, sauf l'insuffisance de la seconde.

I. — Différences entre le théorème local , le lie u et le problème local. — Origine de9 Lieux.

Pappus, comme nous l’avons vu (§ III), dit que les Lieux sont des Porismes. Or à l’égard des Lieux il n’y a pas de mystère; la forme de leurs énoncés nous est parfaitement connue par les nombreuses propositions des Lieux plans d’Apollonius que Pappus nous a transmises.

Les Lieux doivent donc nous offrir les moyens de vérifier la définition donnée précédemment des Porismes et de rechercher, jusqu’à un certain point, la nature de ces propositions. Pour cela nous allons préciser les différences et . les points de contact qui nous paraissent exister entre le théorème local , le lieu et le problème local.

Le théorème local est une proposition qui exprime une propriété commune à tous les points d’une même ligne, droite ou courbe, complètement définie. Exemple :

Étant pris sur le diamètre AB d'un cercle deux points

C, D tels, que l’on ait la relation ^ les distances

de chaque point m de la circonjèrence à ces deux points sont entre elles dans le rapport constant

Le lieu est une proposition dans laquelle on dit que tels points soumis à une même loi connue, sont sur une ligue (droite, circulaire ou autre) dont on énonce la nature, et dont il reste à trouver la grandeur et la position. Exemple :

Deux points étant donnés , ainsi qu’une raison, le lieu d’un point dont les distances à ces deux points sont entre elles dans celte raison, est une circonjèrence de cercle donnée de grandeur et de position.

Enfin dans le problème local ou question de heu, on demande de trouver la nature, la grandeur cl la position d’un lieu, c’est-à-dire la courbe, lieu commun d’une infinité de points soumis à une loi commune. Exemple :

Deux points étant donnés, ainsi qu’une raison X, quel . est le lieu d' un point dont les distances à ces deux points sont entre elles dans la raison X ?

La solution, ou réponse à la question, constitue une vérité complète, c'est-à-dire un théorème, qui est ici le théorème local que nous venons de ci 1er.

Ces exemples suffisent pont établir la distinction précisa

et le# points (le contact qui existent entre les trois propositions qui se rapportent aux lieux : le théorème local, le lieu proprement dit, et le problème local.

Le lieu est différent du théorème local et du problème local ; mais il participe de l'un et de l'autre, puisqu’on s’y propose de démontrer une vérité énoncée, savoir que tel point soumis à une loi connue est, par exemple, sur un cercle, ce qui constitue utj théorème, et qu’il faut en outre déterminer la grandeur et la position de ce cercle, ce qui touche au problème.

Origine des Lieux. — Un théorème provient toujours de plusieurs autres propositions dont il est une déduction, mais avec lesquelles il n’a pas en général de ressemblance ou de connexion apparente.

La solution d’un problème résulte, comme la conuaissance d'un théorème, de raisonnements formés sur plusieurs vérités connues; et cette solution constitue, au fond, un théorème.

Une proposition appelée lieu résulte, en général, soit d’un théorème connu avec lequel ce lieu a des rapports manifestes, soit de la solution d’un problème, solution qui, comme nous venons de le dire, équivaut à un théorème.

Le lieu exprime donc la même chose que le théorème, mais d’une manière moins explicite et qui laisse quelque chose à compléter.

Telle nous parait être la seule origine que nous puissions attribuer aux propositions qui par leur forme sont des lieux.

II. — Différence* entre les Porismes, les Théorèmes et les Problèmes. — Comment les Lieux sont des Purismes. — Origine des Porismes . — De la signification qu’Euclide a voulu attribuer au terme Porismc. — Rapprochement entre les Porismes et les Corollaires.

Pappus dit que les Porismes ne sont, quant à la forme, ni des théorèmes, ni des problèmes; qu'ils constituent un

genre intermédiaire; mais ijue parmi beaucoup de géomètres, les uns les regardent comme des théorèmes et d’autres comme des problèmes.

On conclut de là que les Porismes devaient participer tout à la fois des théorèmes et des problèmes, puisque beaucoup de géomètres s’y méprenaient, oit du moins se croyaient en droit de ne pas les distinguer de ces deux sortes de propositions.

Or les Porismes, entendus selon la définition de Simson, dont nous avons donné ci-dessus des exemples (§ V, ud, satisfont à cette condition, c’est-à-dire qu’ils ont le double caractère des théorèmes et des problèmes.

En effet, les théorèmes sont des propositions où l’on doit démontrer une vérité connue et énoncée.

Les problèmes sont des propositions où l’on a à découvrir une chose inconnue.

Et les Porismes sont des propositions où l’on a tout à la fois à démontrer une vérité énoncée et à trouver la qualité ou la manière d’être, comme la grandeur ou la position, de certaines choses mentionnées dans l’énoncé de cette vérité.

D’après cette manière de concevoir le Porisme, qui est le commentaire rigoureux de la définition de Simson, on peut dire que le Porisme participe du théorème et du problème. Ce qui s’accorde avec ce que rapporte Pappus des opinions différentes des géomètres de son temps.

A notre sens, le Porisme se rapproche plus du théorème que du problème ; car il faut, comme dans le théorème, démontrer une vérité énoncée ; et quant à la chose à trouver, elle n’est pas absolument inconnue comme dans le problème proprement dit; elle se reporte à la vérité énoncée, elle en est une conséquence qui le plus souvent résulte de la démonstration même, sans exiger aucune recherche.

Comment les Lieux sont des Porismes. — Le double caractère du Porisme , de participer du théorème et du pro-

blême, c'esl-i-dire d’avoir à démontrer cl a trouver, est précisément aussi le caractère des Lieux, comme nous l’avons vu ci-dessus. INous sommes donc amené à conclure que les Lieux sont des Portâmes, lors même que nous ne saurions pas que I’appus ledit formellement.

Origine des Porismes. — Il y a encore sur un autre point une identité parfaite entre les Porismes cl les Lieux : nous voulons parler de l’origine même des uns et des autres. En effet, ce que nous avons dit précédemment de l’origine des Lieux s’applique de soi-même aux Porismes. Un Porisme est la conséquence d’un théorème ou de la solution d’un problème, qui elle-même constitue un théorème. Le Porisme exprime la même chose que le théorème dont il se déduit, mais sous une autre forme et d’une façon moins complète et qui laisse quelque chose à déterminer.

L’exemple que nous avons donné d’un lieu comparé au théorème locnl auquel il se rapporte, s’applique aux Porismes de même qu’aux Lieux. Ainsi nous conclurons que l’origine d’un Porisme est un théorème proprement dit.

La transformation des théorèmes en Porismes tendait à simplifier les énoncés des propositions en les débarrassant de certaines déterminations complémentaires qui n’étaient pas toujours nécessaires. On reconnaîtra, je pense, dans cette conception la sagacité d’Euclide et sa profonde intelligence des besoins de la science, quand nous aurons dit, dans un des paragraphes suivants, combien ses Porismes louchent de près, par leur forme même, à celle de la plupart des propositions de la géométrie moderne.

De la signification qu’Euclide a voulu attribuer au terme Porisme. — Rapprochement entre les Porismes et. les Corollaires. — Euelidc exprime par le même mot zcpiGga les corollaires des Eléments et les propositions de ses trois livres de Porismes. Pour les corollaires, le terme grec, dont la signification d’après Proclus serait ici gain.

acquisition (\ . ci-dessous § MI, vi), est bien choisi. Mais pour les propositions dont il s’agit, le sens qu’il faut attribuer à ce terme Ttopiiuz a toujours été une énigme; parce que n’ayant pas une idée précise de la nature intime des Purismes, on ignorait surtout l’origine de ces propositions.

Il nous semble que les considérations précédentes jettent enfin du jour sur cette question; car elles conduisent à un rapprochement naturel entre les Porismes et les corollaires, ces propositions si différentes au fond.

• En effet, d’une part, les corollaires sont des propositions qui se concluent immédiatement soit de l’énoncé d’un théorème, soit d’un passage de la démonstration de ce théorème, soit d'un raisonnement qui a conduit à la solution d’un problème. Mais, en général, ces corollaires constituent des proposi lions différentes des théorèmes d’où on les conclut, et dont ils ne sont pas la reproduction sous une autre forme, comme ou le voit, par exemple, dans lès Eléments d’Euclidc (i ) .

D’autre part, les Porismes prennent leur origine dans des théorèmes déjà connus, mais dont on change la forme pour en faite des Porismes; de sorte qu’on peut dire que les Porismes sont des conséquences immédiates de théorèmes; qu ils en sont une sorte de corollaires.

Telle a pu être la raison qui a porté Euclide à donner

(i) Exemples, Luclide, après avoir démontré que la perpendiculaire menée tlu sommet de l’angle droit d’un triangle rectangle sur l'hypoténuse divise lu triangle en deux triangles semblables, ajoute, sous le titre de corollaire. » Il suit de là que dans un triangle rectangle la perpendiculaire menée de » l’angle droit sur la base est moyenne proportionnelle entre les segments » de la base, et que chaque cAté de l’angle droit est moyen proportionnel *» entre la base et le serment qui lui est contigu. » (Liv. VI, prop. 8.)

A la suite de ce problème : « Trouver le centre d’un cercle », qui forme la I re proposition du Livre III, on trouve ce corollaire : « De là il suitévi- *» demmenl que si, dans un cercle, une corde en coupe une autre en deux »* parties égales, en faisant avec elle deux angles droits, le centre du cercle n est placé sur la corde sécante. »

à ce nouveau genre de propositions qu’il introduisait dans la Géométrie, le nom môme des corollaires de ses Eléments.

Mais en constatant cette analogie partielle et secondaire entre les Porismes et les corollaires, répétons qu'il existe entre les deux genres de propositions une différence fondamentale. Les corollaires, qui sont, comme ledit Proclus, un gain trouvé en passant et dont profite le géomètre, diffèrent, en général, des fhéorèmesqui ont procuré ce gain, et sont des propositions de même forme; tandis que les Porismes, sous une autre forme qui leur est propre, ne sont que les théorèmes qui les ont produits. Ce sont, si l’on veut, des corollaires, mais d’un autre ordre que les corollaires proprement dits.

III. i— Explication de la seconde définition des Porismes. — Accord des deux définitions. — Dans quel sens il faut entendre le blùme de Pappus à l’égard de la seconde. — Origine de cette définition.

Pappus, après avoir donné la définition des Porismes des Anciens, en fait connaître une seconde introduite plus tard.

Tl dit que des géomètres modernes, nonobstant la définition ancienne et les propositions mêmes, donnèrent des Porismes, d’après une circonstance particulière, cette définition : Ce qui constitue le Porisme est ce qui manque à F hypothèse d'un théorème local; en d'autres termes : le Porisme est inférieur , pur F hypothèse , au théorème local.

Cette brève définition, à laquelle Pappus n’ajoute aucun développement, parait signifier que : Quand quelques parties d’uuc proposition locale n’ont pas dans l’énoncé de la proposition la détermination, de grandeur ou de position, qui leur est propre et qui se trouverait dans l’énoncé d’un théorème local proprement dit, cette proposition n’est pas regardée comme un théorème et devient un Porisme.

Prenons pour exemple cc théorème local déjà cité :

Un point C étant donné sur le diamètre AB d’un cercle,

si l'on prend un second point D tel, que l'on ait ^ ,

les distances de chaque point de la circonférence à ces

CA

deux points seront entre elles dans le rapport — •

Que l’on n’indique pas la position du point D, ni la valeur du rapport des distances de chaque point de la circonférence aux deux points C et D, on pourra encore exprimer la même proposition, mais sous un énoncé trèsdifférent qui en change le caractère, savoir :

Un point C étant donné sur le diamètre AB d’un cercle, on pourra trouver un second point D et une raison X tels, que le rapport des distances de chaque point de la circonférence au point C et à ce point D sera égal à la raison X.

C’est là un Porisme conforme à la définition des Anciens, puisqu’il faut trouver ce qui est annoncé comme conséquence de l'hypothèse, savoir la position du point I) et la valeur de la raison X.

Ce Porisme dilïère du théorème local en ce que ces deux choses qu’il faut trouver sont déterminées de position et de grandeur dans le théorème.

Il satisfait donc à la seconde définition des Porismes. De sorte que les deux définitions n’ont rien de contradictoire.

Cependant Pappus semble dire que « les géomètres modernes qui ont introduit dans la géométrie leur définition auraient dû être arrêtés par la définition ancienne et par les propositions mêmes. »

On est induit à conclure de ces paroles que la définition moderne impliquait quelque idée ou quelque condition que ne comportait pas la première. Et, en effet, Pappus ajoute que « celte définition est fondée sur une circonstance accidentelle » ; ce qui signifie quelle ne s'applique qu’à une classe de Porismes.

On reconnaît sans difficulté cette circonstance : c'est que la définition implique l’idée ou la condition d une proposition locale; de sorte qu’elle ne s’applique qu’aux Pommes qui se rapportent à de telles propositions, comme les Porismes I, II, III, IV , V précédents (§ V), et qu’elle exclut conséquemment un grand nombre d’autres Porismes, comme les VI e et V1P.

C’est ainsi que Sitnson a entendu le blâme de Pappus et le défaut delà définition des Modernes; blâme qu’il approuve(i).

Les deux définitions des Anciens et des Modernes ne sont donc point contradictoires, à part le défaut de généralité de la seconde.

Cet accord devait se présumer. Car Pappus ne dit pas que la nouvelle définition fût la base d'une nouvelle sorte ou d’un nouveau genre do Porismes, loin delà : il dit formellement, au commencement de sa Notice, qu’on n’a pas ajouté de Porismes nouveaux à ceux d’Euclide. La définition des Modernes se rapportait donc à une classe des Porismes d’Euclide, et, dans cette limite, ne pouvait avoir rien d’inexact et devait s'accorder avec l’ancienne.

Lne raison bien simple a pu donner lieu à la nouvelle définition. Quelques géomètres, voulant traiter succinctement, soit dans leurs leçons, soit dans leurs livres, de la doctrine des Porismes, auront fait un choix de propositions appropriées à leur enseignement et les auront prises dans l’ouvrage d’Euclide parmi celles qui se rapportaient aux lieux, parce que les lieux plans ( lieux à la droite et au cercle) formaient les premières matières cultivées à la suite des Éléments proprement dits. Dès lors ces géomètres ont

(i) Ex hisexemplis manilestiim est milita esse Porismata qua* a Theoremate Locali hypothesi deficiunt, alia nutem quæ ex Locis nullatenus pendent. Merito igitur juniorcs Pappus reprehendit, quod Porisma ex accidente défi ni ver u lit) ex quadam sc. requæ quihusdam quidem non omnibus Porismatibus inest. * { Opéra quœdam, etc, ,p. 344.)

dù approprier la définition des Porismes d’une manière précise mais restreinte, à cette classe particulière de Porismes qui se rapportent aux Lieux, sans être nécessairement cux-mômes des Lieux. Telle nous parait être l’origine de cette définition dont Pappus a fait mention pour en signaler l’insuffisance.

§ VU. — Analogie entre les Porismes et les Données d’Euclide. — Identité d’origine de ces deux classes de Propositions. — Traité des Connues géométriques du géomètre arabe Hassan ben Ilaithem. — Notice de Proclus sur les Porismes. — Passages de Diophante.