I. — Analogie entre les Porismes et les Données

Il existe entre les Porismes et les Données une analogie profonde, à laquelle il ne parait pas que l’on ait fait attention, et dont cependant il nous semble qu’il faut se pénétrer pour entendre dans son sens primordial et le plus intime la doctrine des Porismes.

Nous trouvons cette analogie sous toutes les faces que présente la question. Elle existe non-seulement dans la pensée d’où dérivent les deux classes de propositions, mais aussi dans leur but commun, dans les définitions qui leur sont propres et dans la forme même de leurs énoncés (i). Quelques éclaircissements vont nous en convaincre.

Les Données sont des propositions dans lesquelles une ou plusieurs des choses dont il esl question n’ont pas, dans

(i) U m’a paru, depuis longtemps, que c’était là le véritable point de vue sous lequel il fallait considérer les Porismes. Cette opinion se trouve dans Y Aperçu historique , en ces termes : « La conception des Porismes nous pa- » ralt dériver de celle des Données : telle a été, selon nous, son origine dans

• l’esprit d’Euclide. — Les Porismes étaient, par rapport aux propositions » locales, ce que les Données étaient par rapport aux simples théorèmes des » Éléments. De sorte que les Porismes formaient avec les Données un com- » plémcnt des Éléments de Géométrie, propre à faciliter les usages de ces

* Éléments pour la résolution des problèmes. » ( Aperçu , rtc., p. 275.)

1 énoncé de la proposition, la détermination, de grandeur ou de ]M)sition, qui leur est propre eu vertu de l'hypothèse, détermination qui se trouverait dan» l’énoncé d'un théorème proprement dit.

La proposition consiste à affirmer que cette détermination est. comprise implicitement dans l’hypothèse, qu’elle en est une conséquence nécessaire et qu'on peut l’cllectuer. C’est ce qu’Euclide exprime en disant que la chose annoncée est donnée^ il faut entendre est donnée virtuellement, c’est-à-dire est comprise implicitement dans l'hypothèse et peut s’en déduire.

Par exemple, prenons la proposition 6 du livre des Données, que nous exprimerons ainsi en langage moderne :

Si deux grandeurs a et b ont entre elles une raison donnée 1, la grandeur composée des deux aura avec chacune d'elles une raison donnée.

Si Euclideeùt voulu fairede cette proposi tion un théorème proprement dit, il aurait indiqué dans l’énoncé la valeur de la raison de la somme ( a-\-b ) à chacune des deux grandeurs

a et A, savoir : — - — pour — - — > et (A -+- 1 ) pour — - —

D’après ces remarques , on peut dire que les propositions appelées Données par Euclide étaient des théorèmes non complets , en ce qu’il y manquait la détermination, en grandeur ou en position, de certaines choses annoncées comme conséquence de l’hypothèse.

Ce caractère spécial des Données est accusé par la forme même de leurs énoncés qui se terminent toujours, comme dans l’exemple ci-dessus, par cette affirmation, que telle chose est donnée.

Les Porismes peuvent aussi être considérés comme des théorèmes non complets. Car la détermination des choses qu’ou demande de trouver complétera le théorème, c’est-àdire qu’on obtiendra une proposition dans laquelle toutes

choses auront la détermination, de grandeur et déposition, qui leur appartient.

Les Porismes ont encore avec les Données une autre analogie manifeste. C’est la forme de leurs énoncés, où il est toujours dit que telles choses sont données de grandeur ou de position.

Cette forme se trouve dans les Lieux plans d’Apollonius dont Pappus nous a conservé les énoncés et qui sont des Porismes; comme il le dit expressément : elle se trouve dans le Porisme complet, énoncé le premier de ceux qui se rapportent au I er livre d’Euclide, lequel n’est pas un lieu , et semble présenter, à beaucoup d’égards, le type général des Porismes. On reconnaît la môme forme technique dans tous les autres énoncés de Porismes donnés par Pappus, bien que ces énoncés concis n’expriment que les conséquences d’hypothèses sous-entendues (i).

Ainsi il ne peut exister aucun doute sur l’identité de contexture des énoncés tant des Porismes que des Données.

Enfin la définition ancienne des Porismes convient aux Données , puisque (^ins celles-ci, comme dans les Porismes, l’objet de la proposition est de trouver ce qui est annoncé.

Ces considérations concourent toutes à nous autoriser à regarder les Porismes comme dérivant, dans l’esprit d’Euclide, de la conception môme des Données.

Ce genre de théorèmes non complets, comme nous l’avons dit, n’est appliqué dans le livre des Données qu’aux théorèmes ordinaires tels que ceux des Éléments. Euclide a voulu l’étendre, dans les Porismes, aux propositions locales, et plus généralement aux propositions où l’on considère

(i) On trouve les mêmes formes «l’énoncés dans tics propositions de nombres appelées Porismes par Diophante, comme nous 1o dirons plus loin.

des choses variables suivant une même loi , comme, par exemple, desdroilcs qui passent par un même point, ou qui enveloppent un cercle ou une autre courbe.

II. — Traité tics Connues géométriques tl 'Hassan ben Hailhem.

Les mathématiques arabes nous oilrent à ce sujet un document d’un grand intérêt, qui prouve qu’en eflet à une certaine époque on a considéré les Données, les Deux et les Porismes comme formant uu même genre de propositions qu'on pouvait réunir sous un même titre. Du moins, il existe un ouvrage arabe intitulé : Traité des Connues géométriques , qui est un recueil de propositions ayant toutes la même forme d’énoncés, et qui sont des Données proprement dites, des iÂcux ou des Porismes. Seulement le terme donné , employé par les Grecs dans ces trois genres de propositions, est remplacé dans cet ouvrage par celui d c connu.

Ainsi, l’on y lit que telle droite est connue de grandeur et de position; que tel point (variable) est sur un cercle connu de grandeur cl de position ; que le rapport de telle droite (variable) à telle autre, ou de tel rectangle (variable) à tel carré, est un rapport connu, etc.; propositions qui manifestement sont ou des données comme celles d’Euclide, ou des lieux comme ceux d’Apollonius, ou des Porismes comme ceux d'Euclide d’après le sens que nous avons attribué à la Notice de Pappus , conformément au sentiment de Simson (i).

Le titre unique de Connues géométriques appliqué par l’auteur à ces trois classes de propositions que les Grecs distinguaient sous les trois noms dillérents de Données, Lieux cl Porismes, prouve qu’il les considérait toutes trois

(i) Nous donnons plus loin les énoncés mêmes de quatre propositions du Livre des Connues géométriques, dans lesquelles nous reconnaissons des Purismes.

comme étant du même genre ou dérivant d’une même idée (i).

Cet ouvrage arabe, dont on doit la connaissance et la traduction au savant orientaliste M. L. A. Sédillot, est du géomètre et astronome Hassan ben Haithem, qui florissait vers l'an 1009 et mourut au Caire en io38 ( 2 ).