Définition des Purismes tirée de Proclus

Deux autres faits qui ont de l’analogie avec celui que vient de nous offrir le Traité des Connues géométriques , et que nous puisons chez les Grecs mêmes, dans Diophante et dans Proclus, contribueront encore à corroborer notre sentiment sur l’origine des Porismcs et leur analogie avec les Données.

Citons d’abord Proclus, dont le texte que nous avons à invoquer est bien connu, mais a toujours paru fort obscur et n’a pas été entendu dans le sens que nous devons lui donner.

Il s’agit de la Notice sur les Porismes d’Euclide, que le célèbre philosophe platonicien a insérée dans son commentaire sur le I er Livre des Éléments. 11 dit que ces Porismes sont un genre de propositions où il y a quelque chose à trouver, et qui n’ont pas pour objet, cependant, ni une simple construction, ni une simple démonstration.

(1) 11 est permis d’espérer que si enfin l’on explorait Ie9 manuscrits arabes qui existent encore en grand nombre dans plusieurs grands dépôts, notamment dans la bibliothèque de l’Eçcuria), on trouverait dans d’autres ouvrages, comme dans celui de Hassan ben Haithem, des traces de la doctrine des Porismes qui seraient d’un véritable intérêt. On ne doutera pas, en effet, que les manuscrits sur lesquels Casiri a donné des notices précieuses dans son grand ouvrage ( Bibliotheca arabico-hispana Escurialcnsis ) ne puissent contenir souvent plusieurs autres pièces confondues sans titres distincts, et que ce savant auteur n’a pas décrites.

(q) V. Nouveau journal asiatique ; mai X S34 • Et Matériaux pour servir à Vhistoire comparée des sciences mathématiques chez les Grecs et les Orientaux. Paris, 18'p, t. I er , p. 378-400.

Il revient |>lus loi ii sur la meme idée en ajouiant que les Porismes tiennent, en quelque sorte, le milieu entre les problèmes et les théorèmes; qu’en effet il ne s’agit pas, dans ces propositions, de choses que l’on ait à construire ou à considérer théoriquement, mais de choses qu’il faut prendre et montrer aux yeux ; c’est-à-dire dont il faut déterminer la manière d’être, telle que la position ou la grandeur.

On peut reconnaître, nonobstant la concision et l’obscurité de celte sorte de délinition, qu’elle concorde avec celle des Anciens rapportée par Pappus et entendue dans le sens bien défini que nous lui avons donné. Cet accord forme déjà une présomption favorable à notre système sur la doctrine des Porismes.

Mais ce qui nous parait surtout offrir de l’intérêt ici, c’est que Proclus cite, comme exemples de Porismes, deux propositions sous forme de problèmes, lesquelles ne sont que de simples données, car les voici ; Un cercle étant donné, trouver son centre. Deux grandeurs commensurables étant données, trouver leur plus grande commune mesure.

Il est évident que dans chacune de ces questions, la chose demandée est une conséquence implicite de l’hypothèse; ce qui est le caractère des Données. Or il n’y a rien de variable dans ces propositions ; elles sont donc de celles qui apparliennentà la classe des Données proprement dites. Ainsi quand Proclus les cite comme exemples des Porismes d’Euclide, on doit nécessairement en conclure qu’il a considéré ces Porismes comme des propositions du même genre que les Données, de même que l’a fait, 5 oo à 600 ans plus tard, le géomètre arabe Hassan ben llaithem.

C’est surtout le rapprochement entre ces deux faits qui nous a mis sur la voie de l’explication qui nous semble maintenant si naturelle, du passage de Proclus dont l’interprétation avait toujours paru fort difficile.