IV. — Porismes cités par Diophante

Diophante ne parle pas expressément des Porismes, comme Proclus, et n’a pas à les définir. Mais il cite dans ses Questions arithmétiques, sous le titre de Porismes, des propositions extraites d’un ouvrage, apparemment d’un Recueil de Porismes, qui ne nous est pas parvenu.

Ces propositions, auxquelles je crois que l’on n’avait jamais fait attention, du moins à titre de Porismes dans le sens d’Euclide, avant que nous les eussions signalées dans l’ Aperçu historique, se rapportent aux propriétés des nombres; et ce qui a de l’intérêt ici, c’est que, sous le nom de Porismes, elles ont dans leurs énoncés la forme des Données, la même que nous attribuons aux Porismes.

Faisons remarquer d’abord, d'une manière générale, qu’effeclivement la plupart des propositions de la théorie des nombres peuvent être considérées connue des Données. Car elles expriment que telle fonction" de tels nombres, ou telle relation entre tels nombres, donne lieu à telle autre relation -, en d’autres termes, que telle relation est une conséquence implicite de telle autre.

Par exemple l’identité

(a* -h b') (a* -t-6 , ) = (na±tê) 1 + (n6;pia) , ;

si on l’énonce textuellement, sera un théorème proprement dit, ou théorème complet. Mais si, sans préciser la composition des deux carrés qui forment le second membre, on dit simplement que : Le produit de la somme de deux carrés par la somme de deux autres carrés s’exprime de deux manières par la somme de deux carrés, cet énoncé aura une certaine analogie avec ceux des Données.

Il en est de même des propositions suivantes :

Le produit de deux nombres donnés s’exprime par la

différence des carrés de deux autres nombres, divisée par 4 .

Tout nombre premier de la forme 4 11 -+- 1 s’exprime par ta somme de deux carrés.

Le produit de la somme de quatre carrés par lu somme de quatre autres carrés s'exprime par la somme de quatre carrés .

Etc., etc.

Toutes ces propositions sont des théorèmes non complets, daps le sens que nous entendons, de même que les Données et les Porismes.

Revenons aux Porismes cités par Diophante. Ils se trouvent dans les Questions III, V et XIX du V e Livre.

On lit dans la Question 111 : « Puisqu’on a dans les » Porismes : Si deux nombres sont tels, que chacun d'eux » augmenté d'un même nombre donné soit un carré et » que leur produit augmenté du même nombre soit aussi » un carré, ces nombres proviennent de deux carrés » consécutifs. »

C’est-à-dire que G'étanl un nombre donné, si deux autres nombres A, B, sont tels, qu’on ait

À -|- G = carré,

B ■+- G = carré,

AR -t- G = carré,

les deux nombres A, R proviennent de deux carrés consécutifs.

En effet, prenant arbitrairement un nombre a tel, que a' soit ]> G, il suffit de prendre ensuite A = «’ — G et R = -l-i)’ — G. Car il en résulte

AB -+- G = [0 (a ■+■ 1) — G]*.

Tel est le sens que comporte l’énoncé de Diophante, qui

de nos jours peut paraître quelque peu obscur, puisqu’il n’y est pas dit comment les nombres proviennent ou sont formés de deux carrés consécutifs.

Si cet énoncé ne présente pas au premier aspect une analogie suffisante avec les Données, on voit aussitôt que la proposition, tout eu restant la même, reçoit le caractère d’une Donnée ou d’un Porisme , en admettant l’énoncé suivant : Deux carrés consécutifs étant donnés, ainsi qu’un nombre, on peut trouver deux autres nombres tels, que chacun d’eux et leur produit, augmentés du nombre donné, soient des carrés.

Dans la Question V , Diophante dit : « On a encore dans » les Porismes : Étant donnés deux nombres carrés con- » sècutifs, on peut trouver un troisième nombre égal au » double de la somme de ces deux premiers plus 2, tel, » que le produit de deux de ces nombres augmenté , soit de » la somme des deux mêmes, soit du troisième nombre, » fasse un carré. »

C’est-à-dire que si A et B sont deux carrés consécutifs et qu’on forme le nombre C = a(A-j-B)-t-a, chacun des six autres nombres

[AB -t- (A -t- B )], [AB -f- C],

[AC -+■ (A -f- C)] , [AC -i- B],

' [BCh-(B + C)], [BC -t- A],

sera un carré.

Cet énoncé constitue un théorème non complet, puisqu’on n’y donne pas la forme des six carrés dont on annonce l’existence.

Cette proposition a donc de l’analogie avec les Données et les Porismes, comme les précédentes.

Il en est de même encore de la proposition suivante,qu’on trouve dans la Question XIX : « Nous avons dans les Po-

StMINArvL’.- “ w