PR — PQ

Donc le point R est fixe; et par suite, le lieu du point m est la droite fixe RI parallèle à SA. * c. q. f. d.

Observation. C’est fe Porisme qu’on peut regarder, dans la Géométrie moderne, ainsi que nous l’avons dit ei-dessus (p. 1 13), comme un cas particulier de la proposition gé-

uéra le des quatre droites, celui où l’une des droites données SA, SB sur lesquelles se coupent les droites tournantes est à l’infini.

Porisme XXIV . — Étant donnés un angle ASB et deux points P, Q en ligne droite avec le sommet S ; si autour et un autre point donné p on fait tourner une droite qui rencontre les deux côtés de l'angle en a et b, et qu'on mène les deux droites Pa, Qb qui se coupent en un point m : ce point sera situé sur une droite donnée de position .

Qu’on mène des droites du point p aux deux points P, Q: elles rencontrent les deux côtés de l’angle SB, SA, respectivement en C et D; c’est sur la droite CD que se trouve toujours le point m.

Cela ressort immédiatement des Lemmes XII et XIII (propositions i38 et i3 9 , où le point E représente le point p de la figure actuelle) ; du Lemme XII quand la transversale menée par le point p est parallèle à la basePSQ; et du Lemme XIII quand cette droite-a une direction quelconque.

Corollaire 1. Considérons trois transversales pab, pa'b\ pa"b" menées par le point p. On a, d’après le Lemme III, l’équation

Sa , a " a S b % b" b Sa.n'a' S b .b" b'

Su' "a" a' ~ Sb' * b"b'' ° U Sa', a" a ~ S b', b" b'

Et réciproquement, d’après le Lemme X, quand cette équation a lieu, les trois droites «ù, a' b', a" b" concourent toujours en un même point. On conclut donc, du Porisme précédent, ce théorème : *

Étant pris sur deux droites SA, SB deux systèmes de trois points a, a', a" et. b, b', b", ayant entre eux la

relation

Sa'. a" a S b', b" b'

si de deux points P, Q, en ligne droite avec de point S, on mène les droites Pa, Qb qui se coupent en m; Pa', Qb' qui se coupent en m', et P a", Qb" qui se coupent en m" : ces trois points m, m', m" seront en ligne droite.

Corollaire II. Si l’on conçoit une droite S' B' parallèle à SB, qui rencontre les droites QS, Qb, Qb', Qb", en S', c, d, c", les segments S 6, b" b\... sont proportionnels à S 'c, c" d de sorte qu’on a l’équation

Sa .a" a' S'c.cV Sa'. a" a ~ S'd.c"c‘

De là ce théorème, qui présente, dans l’hypothèse, quelque chose de plus général que le précédent énoncé :

Étant pris sur deux droites deux systèmes de quatre points S, a, a', a" et S', c, d, c" entre lesquels a lieu l'équation

S a.a'a' S'c.c'V Sa', a" a = SVTê^c 5

si de deux points P, Q pris arbitrairement sur la droite SS' on mène les droites Pa, Pa', Pa" et Qc, Qc', Qc" les premières rencontreront, respectivement, les secondes en trois points m, m'. m" situés en ligne droite.

Corollaire III. Les droites Qb,Qb', Qb", dans le Corollaire I, rencontrent la droite SA en trois points d, d' ,d" . On a par le Lemmo III, entre ces points et b, b', b ",

. S b. b" b' S d.d'cf S b' .b" b ~ S (f d" H

L’équation du Corollaire I devient donc-

Sa .a ' a' S d.d"<t

Sa 1 . a" a S d . d’ d

On en conclut que :

Si l'on prend sur une droite SA, deux systèmes de trois points a, a', a", et d, d', d". entre lesquels ait lieu l'èquation

Sa.a'V S d.d"d’ Sa’. a" a S d ( .d" d

( ifL ■ — ^fL d " d \

puis, que de deux points quelconques P, Q en ligne droite avec le point S , on mène les droites Pa, Pa', P a" et Qd, Qd', Qd" : les trois premières de ces droites rencontrent , respectivement, les trois autres en trois points situés en

ligne droite.

Porisme XXV. — Autour de deux points fixes A, B on fait tourner deux droites dont le point de concours M est toujours sur une droite fixe LM ; ces droites rencontrent une autre droite fixe CX en deux points a, b; si de deux points P, Q donnés sur la droite LM, on mène les droites Pa, Qb qui se coupent en un point m : ce point est situé sur une droite donnée de position .

En effet, concevons qu’on ait mené par les points A et B trois couples de droites se coupant, deux à deux, en M, M' et M" sur la droite I.M, et rencontrant la droite CX en a , a! , a" et b , b\ b". Soit D le point de rencontre des deux droites LM et CX ; on a, parle Lemine III, eDtre M, M', M"

f ff 1 2 •

et a, a , a ,

DM' MM' Da' au'

DM' 7 ' MM' 7 ~ Da" ' an"'

et île même, pour les trois points b , b', b",

DM' MM' DA' bb'