VO

: ÿc'

°" C a.nb ~

Donc le point d’intersection des deux droites Pn', Qn décrit une droite (Porisme XXIV).

Cette droite est évidemment a' b. Car si le point n coïncide avec b , n' coïncide avec b'. Par conséquent le point d’intersection des deux droites P b' et Qb, c’est-à-dire b,

se trouve sur la droite, lieu du point m; et il en est de même du point a'.

Ainsi le Porisme est démontré.

Plus brièvement . Les deux rayons PlM, QM forment deux faisceaux homographiques (i) ; par suite, les deux points n, n' forment deux divisions homographiques; et les deux rayons P«', forment deux faisceaux homographiques : leur point d’intersection décrit une droite, parce que les deux ravons coïncidents PC' et QC se correspondent (2). Dorfc, etc.

Porismf. XXIX. — Étant donnés deux angles ABF, ADF, si par leurs sommets B et D on mène deux droites quelconques, dont la première rencontre les deux côtés de l'angle D en M et C, et la deuxième les côtés de l’angle B en K et E : les deux droites MK et CE concourent en un point G situé sur une droite déterminée de position.

Ce Porisme résulte immédiatement, de même que le Porisme XXIX , des femmes XII et XIII; savoir : du Lemme XII quand les côtés BA et DF des deux angles sont parallèles; et du Lemme XIII quand la position des deux angles est tout à fait arbitraire.

Porisme XXX. — Théorème général de Pappus ( 3 ).

Soient 0 , P, Q, . . . , 11 les pôles li^es et en ligne droite autour desquels tournent n droites variables, de manière q UC ( n — de leurs points d’intersection glissent sur autant de droites fixes.

Dans l’hypothèse particulière par laquelle Pappus com-

(1) Géom. sup., art. lo/j.

(?.) Ibid., art. 105 .

( 3 ) Voir ci dessus p. 17 cl

mence l’énoncé de la proposition, ces ( n — i) points appartiennent à une môme droite tournante, par exemple à celle qui tourne autour du point p. Alors il est évident que la proposition ne dit rien déplus que celle d’Euclide.

Passons donc au cas général, ou les (h — 1) points qui glissent sur les droites fixes, sont pris d’une manière quelconque parmi le nombre total des points d’inter-

section des droites tournantes, pourvu toutefois que chaque droite ait toujours au moins un de ses points de concours avec les autres droites mobiles, sur une des droites fixes.

Concevons, indépendamment des droites tournantes et des droites fixes, un axe L mené arbitrairement, et qui rencontre la droite des pôles en un point S. Considérons deux droites tournantes, dont le point de concours soit sur une des droites fixes, les deux qui tournent autour des deux points p et P; soient a, a', a" les points où elles se coupent sur la droite fixe, dans trois de leurs positions successives; ces droites rencontrent l’axe L en des couples de points que nous appellerons a, b dans la première position ; a', b' dans la seconde position; et a ", b" dans la troisième position .

Soit A le point où la droite fixe rencontre la droite des pôles ; on a, d’après le Corollaire I dù Lenime III (p. 82),

Sa' ' a" a' A a' a" a'

S T' * VF = TJ * VJ'

Doue

Sa' * a" a' S b’ * b" b'

La droite qui tourne autour du point p détermine les positions successives de celle qui tourne autour du point P.

Pareillement., celle-ei détermine les positions suci'essives d’une troisième qu'elle rencontre sur une des droites fixes, par exemple de celle qui tourne autour du point Q; soient c, c 1 , c" les points dans lesquels cette droite, dans les trois positions qu’elle prend, rencontre l'axe L; on aura, comme ci-dessus,

S J' * Vb' ~ S? 1 7F

Et de même, à l’égard de la quatrième droite tournante dont les positions sont déterminées parla troisième,

Sr # c" c Sd d" d

S? ’ 77 ~ Sd' * d^d''

11 existe donc autant d’équations moins une que de droites tournantes. Or, on voit que tous les membres de ces équations sont égaux entre eux. Par conséquent, on a une équation semblable entre les points marqués sur l’axe L par deux quelconques des n droites tournantes, par exemple l’équation

S a a” a S d d" d Sa' ’ «"«' S d' ' d" d 1 '

relativement à la première et à la quatrième droite tournante.

Mais celte équation prouve, d’après le Corollaire III du Porisme XXIV, que les points d’intersection des deux droites tournantes considérées dans leurs trois positions respectives sont en ligne droite. Ce qui démontre le Porisme.

Plus brièvement . Deux droites tournantes, dont le point d’intersection glisse sur une des droites données, forment deux faisceaux homograpliiques qui ont deux rayons homologues coïncidents suivant la droite des pôles (t); il s’ensuit que les faisceaux formés par deux droites tour-

(i) G rom. su//., p. 71, art. io/j.

liantes quelconques, non consécutives, sont aussi hornographiques entre eux , et ont deux rayons homologues coïncidents suivant la droite des pôles. Par conséquent le point d’intersection de ces deux droites décrit une droite (t). Ce qui démontre le théorème.

III e Genre.

Le rapport de telle droite à telle autre droite est donné.

PotusME XXXI. — Si de chaque point M d' une droite LM donnée de position, on abaisse sur deux autres droites AX, A'X' des obliques Mm, Mm' sous des angles donnés ; le point A étant donné sur AX : on peut trouver le point A' sur A'X! et une raison X, tels, que le rapport des segments Am, A'm' soit toujours égal à la raison X.

Soit a le point de la droite L dont l’ohlique abaissée sur AX tombe en A, et soit A' le pied de l’oblique abaissée de ce point a sur A'X' : A' est le point cherché. Quant à la raison X, soit E le point où la droite L rencontre la droite AX,et EE' l’oblique abaissée de ce point sur A' X', on aura

En effet,

ÂË

A' ni

D’où

A m A' ni

Donc etc.

(i) Gvom. sup., art* io5.

PoilISME XXXII.

— Si de deux points fixes P, Q pris sur les côtés CB, CA d'un parallélogramme CASB, en ligne droite avec le sommet S, on mène des droites à chaque point M d'une droite fixe LC passant par le sommet C du parallélogramme : ces droites f ormeront , respectivement , sur les deux côtés SA , SB, deux segments S ni, Sm', dont le rapport est déterminé.

Menons par les points P et Q les parallèles à la droite LC, lesquelles rencontrent les deux droites SA, SB en a et en b.

Les quatre droites PC. PS, PM, Pn, partant du point P, et coupées par LC et AS donnent, d’après le Corollaire I du Leinme III (p. 82),

S m R M S « CM

On a de même, en considérant les quatre droites qui aboutissent à l’autre point Q, et les transversales LC, BS,

S m' RM ~Sb ~ CM

Donc

S 1/1 S m' S/n Sa

Sa S b UU S m' S b

Le second membre est constant. Ce qui démontre le' Porisme.

IV' Genre.

Le rapport m* telle droite à telle abscisse est donné.

Porisme XXXIII. — Si de chaque point M d’une droite LE on abaisse sur une autre droite AX des obliques Mm, M m' sous des angles donnés, il existe sur cette droite AX

un point E tel, que l ’on a la relation E m

, t= cohst.

Ce point E est celui où la droite LE. rencontre AX. En effet, d’un point B, qui avec le point E détermine la droite LE, menons les obliques B b, B b'.

Ou a par les triangles semblables

~bV'

Ce qui démontre le Purisme.

Porisme XXXIV . — Si autour de deux points P, Q on Jait tourner deux droites se coupant sur une droite donnée de position LE, ces droites rencontrent, une deuxième droite fixe AX parallèle à la droite donnée LE, en deux points m, et il existe sur la droite AX un point Y tel, quon a la relation constante

— - = const. = A.

Cela résulte du Lemme XI (pioposition 1 4o ) ; car les quatre droites ME, MF, MP, MQ coupées par les deux FPQ, FX, donnent, d’après ce Lemme,

F/n FP QP mm' FE QF.

Donc, etc.

Porisme XXXV . — Si autour de deux points fixes P, Q on fait tourner deux droites qui se coupent sur une droite

donnée de position LE, et rencontrent une autre droite donnée AX parallèle à la base PQ en deux points m,

m' : il existe un point F sur AX et une raison X, tels, que l'on a

mm'

Le point demandé F est le point d’intersection des deux droites données LE, AX. Et la raison X est égale au rapport QE

— j E étant le point où la droite LE rencontre la base PQ.

En etlél, on a par les triangles semblables = — •

mm PQ

V e Genre.

lelle droite est donnée de position.

Porisme XXXVI. — Si autour d’un point p on fait tourner une transversale qui rencontre deux droites données

SA, SA' en deux points a, a', et que d’un point P donné sur la droite p S, on mène lès deux droites Pa, Pa': on pourra déterminer de position une droite L telle, que le segment intercepté par les droites variables Pa, P a' sur cette droite L, soit

de longueur donnée p..

Que l’on inscrive dans l’angle aPa! une droite aa! de la longueur donnée p, parallèle à p S : celte droite satisfera à la question.

Il faut prouver que si par le point p on mène une droite quelconque p bb\ les deux droites Pù, P b' intercepteront sur la droite qu’on vient de déterminer un segment 66' égal à ja'j ou bien que l’on aura 6a = 6 V.

Prouvons que celte égalité a lieu sur toute droite AA! parallèle» p S, quelle que soit la longueur du segmeut v.ct! . On a dans le triangle A aa coupé par 6 b P

ê A b a Pi Sa b A P a

Or, à cause des triangles semblables, •

SA PS Pa pR

par conséquent

ba f R

De même

b' a' pR

8V ' jf? ~ 1 •

Donc

S b . êx . p a S b' . 6 a' . p a'

Maison a dans le triangle Saa', coupé par pbb

p a b' a' b S p a' b' S ba

Donc oa = ë'a'. Ce que nous nous proposions de prouver.

Donc etc.

Autrement. Les deux droites Pa, P a! sont les rayons homologues de deux faisceaux homographiquesdonl les rayons doubles coïncident suivant la droite PS. Donc les deux rayons Pa, Pa' interceptent sur une droite quelconque parallèle à PS, un segment de grandeur constante ( i ) . Donc on peut mener cette parallèle de manière que le segment soit de grandeur donnée.

(t) Groin su/t.j art. iyO.

Porismk XXXV11. — Quand deux droites tournent autour de deux points fixes P, Q en se coupant toujours sur une droite donnée LM, et que la première rencontre une droite donnée de position AX en un point m :

on peut déterminer une autre droite fixe BY que lu droite tournant, autour du point Q rencontrera en un point m', et qui soit telle, que le rapport des segments Am, Bm', comptés à partir des points où les deux droites AX, BY coupent la base PQ, ait une valeur constante.

Qu’on mène parallèlement à AX la droite Pa, qui rencontre la droite LM en a, puis la droite Qa, et parle point F où AX rencontre LM, la droite FB parallèle à Qa; ce sera la droi le "demandée .

Cela résulte du Lemme XI d’après lequel on a

Donc

ÂF