RP PQ
rk — Ië 7 ‘
Donc le point R est déterminé.
Donc, etc.
Pojusme XL. — On donne deux points A, B sur une droite, et deux points a, b sur une autre droyfp qui rencontre la première en C ; autour de ce point C on fait tours ner la droite ab, et Von mène les
deux droites Aa, Bb qui se rencontrent en un point S; parce point on mène une parallèle SO à la droite ab : cette parallèle passera par un
point donné.
Cela résulte du lemme XI (proposition 137), d’après lequel les trois droites SA, SB, SO, coupées par les deux CAB, C ab, donnent l’égalité,
RA OA bu
BC ' ÔC — ÎC 7 ou
OA RA J bu OC ~ BC ' bC
Ce qui détermine le point O.
Donc, etc.
Remarque. On a dans les triangles semblables SAO,
«AC
OS Ca
ÔÏ-CÂ’
OS
OA.Ca
CA
const.
Ce qui montre que: Quand la droite Cab tourne autour
du point C, le point S décrit une circonférence de cercle dont le centre est en O.
Porisme XLI. — Étant donnés deux droites SA, SB et deux points fixes P, Q en ligue droite avec le point de concours S de ces droites ; si de ces deux points fixes on mène à chaque point M d'une droite LM donnée de position j des droites qui rencontrent, respectivement., SA, SB en m et in' : la droite mm' passera par un point, donné.
Soient a, b les points d’intei’ 9 eetion de la droite LM par les deux droites données SA, SB; les droites Pi, Qa se rencontrent en un point p qui est le point cherché.
C’est une suite naturelle du Lemme XV (proposition 141) quand la droite LM est parallèle à la base PQ; et du Lemme XVII quand LM a une direction quelconque.
Ce Porismc est un de ceux que Simson a rétabli^ (i).
(i) Prop. XXXIV. ■ Quæ est Porisma, unum scilicet ex iis inter Poris- » mata Lib. I Euclidis, quæ Pappus tradit hisce vérins : Quod hœc ad m dal uni punctum vergit. »
Ce Porisme donne lieu à une observation qui fait ressortir un nouveau point de contact entre la Géométrie moder/ie et le Traité des Porismes d’Euclide, ouvrage si original à tous égqrds, et qui se distingue si profondément des autres traités mathématiques des Grecs, par sa conception comme parles matières fécondes qu’il renfermait.
A chaque droite LM correspond un point p, d’après le Porisme. Mais une conséquence qui s’offre, à la simple vue, c'est que si ces droites passent toutes par un meme point M, les points p sont tous sur une meme droite mm'. De sorte qu’il y a entre deux figures qui seraient formées, l’une par des droites quelconques LM, et l’autre par les points p qui correspondent à ces droites, des relations de réciprocité analogues à celles des pôles et polaires dans la théorie des coniques. C’est-à-dire que ce Porisme d’Euclide fournit un mode de transformation des figures analogue à la méthode des polaires réciproques.
Cette remarque curieuse est due à l’auteur même de cette célèbre méthode . M. le général Poncelet l’a insérée dans son Mémoire sur Y Analyse des Transversales appliquée hla recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces
PoRlSME XI >11 . — Si sur fieux droites AB, A' B' qui se coupent en S, on prend deux points m, va' liés entre
eux par la relation
ni A ^ m' A'
