SB. SA

la droite mm' passera par un point donné.

Ce point est à l’intersection des deux droites AA', BB'. C’e*st un résultat direct du Lemme X \1 (proposition 142).

Porisme XLIII. — Étant données deux droites fixes SX, SX', autour d’un point fixe p on fait tourner une droite qui les rencontre en deux points m, m'; et de deux

autres points donnés P. Q on mène les droites Pin, Qm

géométriques. (Voir Journal de Mathématiques de Crelle; t. VIII, p. /jo8, année i83?.. — Aperçu historique, p. 655.)

Nous ajouterons ici, puisque l’occasion s’en présente si naturellement, que le Porisme d’Enclide a «on analogue dans l’espace. En voici l’énoncé:

Étant donnés un angle trièdre dont tes arêtes sont Sa, S b, Sc et trois droites p Q f ]\ situées dans un mente plan passant par le sommet S de l’angle trièdre ; si de chaque point M d’un plan donné dans V espace on mène trois plans passant par les droites P, Q, R et rencontrant , respet tivement, les droites Su, S b, Sc en a, b, c: le plan abc passera toujours par un même point p.

Réciproquement : Si un plan transversal tourne autour d'un point p donné dans l’espace et rencontre, dans chacune de ses positions, les trois arêtes de V angle trièdre , en a, b, c : les plans menés par ces points et les droites P, Q, R respectivement , se couperont en un point situé sur un plan donné de position. (Voir Aperçu lii, torique,

qui coupent les droites fixes SX, SX' en n et n' : la droite nn' passera par un point donné.

Qu’on forme le parallélogramme SApB', on aura, par les triangles semblables,

AS pra' B ni

Qu’on mène PA qui rencontre SX' en a', et par le point Q une parallèle à SX', qui coupe SX en a. Puis, qu’on mène QB' qui rencontre SX en b, et par le point P une parallèle à SX, qui coupe SX' en b' . La droite nn' passera par le point de concours des deux droites an', bb' .

F.n effet, les trois droites, menées par le point P, savoir, Pa', Pi' et Pn' coupées par les deux SX et SX', donnent, d’après le Lrmme XI,

A ni a' n' b' n'

7\s = 7 7 s‘ Fs"

On a de mèmej à l’égard des trois droites Qa, Qi, Q/< menées par le point Q,

B ' m bn nn

iFs ~ îiS'aS'

Or

A ni B' S AS B' ni'’

an. b S a'n'.b' S

bn.a S è'u'.rt'S

Ce qui prouve, d’après le Lemmc XVI, que les trois droites an', bb' et nn' passent par un même point.

Donc, etc.

Porisme XLIV. — Trois droites SA, SB et SC, issues d’un même point S, sont données de position, et rencontrent une autre droite, aussi donnée de position, en

trois points A, B et C; par chaque point M de la droite

SC, on mène la droite MB qui rencontre SA en a, et une parallèle à AB qui rencontre SB en b; la droite menée de ce point au point A rencontre SC enc: la droite

ac passe par un point donné.

Cela résulte du Lemme XVIII (proposition 1 44) • car ce Lemme prouve que la droite ca rencontre AB en un point U déterminé par l'équation

CB