AC. AB

UB

ÜÂ'

Vil* Genre.

Telle droite a un rapport donné avec le segment compris entre tel point et un point donné.

Porismf. XLV . — Étant donnés trois droites parallèles LM, AX, A' Y et le point A sur l'une d’elles AX; si autour de deux points P, Q on fait tourner deux droites qui se coupent sur la droite LM, et rencontrent, respectivement, les deux autres en deux points ni, m' : on pourra trouver un point A' sur A'Y et une constante X, tels, que l'on aura toujours

A ni

Qu’on mène PA qui rencontre la droite LM en < 7 ; la droite Qa coupe la troisième droite au point demandé A',

et la raison X est égale à

En effet, on a, par les triangles semblables,

oM a F

km

ÂR

Donc

km

k'm'~ TT‘

AE

Donc, etc.

Porisme XLVI. — Si de chaque point d'une droite LE on abaisse des obliques, sous des angles donnés, sur deux droites parallèles, les pieds de ces obliques étant m et m'; et qu'un point A soit donné sur la première parallèle : on pourra trouver un point A' sur la deuxième, et une raison X, tels, que les deux segments Am, A'm' seront toujours dans cette raison.

Que par le point A on mène la parallèle aux obliques abaissées sur la première des deux droites parallèles; et par le point a où cette droite coupe la droite LE, la parallèle aux obliques abaissées sur la deuxième : le point A' de rencontre de ces deux dernières droites et la raison

AE.aE' aE. A'E' Car on a

satisfont à la question.

km

ÂF

Âl’

et

âl 7 '

D’où

km AE A'E' AE.aE'

A' ni a E ’ a E' a E . A' E'

Donc, etc.

Porisme XLY II. — Si de chaque point M d une droite LM on abaisse sur deux autres droites AX, A'X' et sous des angles donnés, des obliques dont les pieds soient m et m' : le point A étant donné sur la droite AX, on peut

déterminer le point A' sur A'X', et trouver une raison tels, que l'on aura toujours

Km’

Par le point donné A on mène une parallèle aux obliques abaissées sur AX, et par le point a où celte parallèle rencontre la droite donnée LM on abaisse l’oblique a A! sur A'X' : le pied A' de cette oblique est le point cherché.

Pour déterminer la raison X, on peut abaisser du point E où la droite LM rencontre AX, l’oblique EE' sur A'X': on aura

AE

afT' -

En effet, par les triangles semblables,

Am «M A 'ni ÂË~ ~ « Ë ~~ A' E' .

Donc

A’ ni = A' E''

Pokisme XLVIII. — Étant donnés deux droites SA, SB, le point A sur la première et un point O hors de ces droites : on pourra déterminer un angle il, une raison 1 et le point A' sur la deuxième droite, de manière que si l’on fait tourner V angle il autour du point O comme sommet, ses côtés rencontreront, respectivement, les deux Y droites en deux points m, ni', tels, que le Y rapport des deux segments Am, A'm' sera toujours égal à la raison X.

Que du point O on abaisse les perpendiculaires 0«, O a

sur les deux droites, l’angle aOa' formé par ces deux perpendiculaires est l’angle cherché fl; la raison 1 est le rapport des deux perpendiculaires; et pour trouver le point A' il suffit de faire tourner l’angle fl ou aOa! autour de son sommet O, de manière que le premier côté Oa passe par le point A ; le deuxième côté Oa' détermine le point A'. Si donc m et m' sont les points où l’angle tournant aOa', dans une de ses positions, rencontre les deux droites, on A m O a •

3Ura A' m' — Ôâ 7 ’

En effet, les deux trianglesOnm, Oa' m' sont semblables parce qu’ils sont rectangles et que leurs angles en O sont égaux. Donc

a ni O a

De même

VIII' Genre.

Telle droite a un rapport donné avec une autre droite abaissée de tel point.

PonisME XLIX. — Étant données deux droites SA, SA' et un /joint O, si de ce point on mène une droite Om A un point m de la droite SA et une autre droite A faisant avec celle-là un certain angle fl

/ \ et rencontrant la droitf SA! en un point

/ \ m . m' : on pourra déterminer cet angle fl et

1 couver une raison 1, tels, que le rapport A / ° \ , des deux lignes Om, Om ' soit toujours égal

à cette raison.

Que du point O on abaisse sur les deux droites les per-

pendiculaires O a, O a : l’angle fl qui satisfait à la question, est l’angle nOa'de ces deux perpendiculaires; cl la

raison X est égale à leur rapport ^ — ,•

En effet, les deux triangles rectangles ma O, m'a' O ont leurs angles m Oa, ni' O a' égaux, et par conséquent sont semblables : d’où résulte

O m Oa j O ni' Oa' .

Donc, etc.

Observation. Quand Euclide dit qvi une droite est abaissée d'un point, on doit entendre, abaissée sur une droite donnée de position et sous un angle donné. C’est ce que montre la définition XIII du Livre des Données, savoir : « Une droite est abaissée, quand on la mène par un point donné sur une droite donnée de position et sous un angle donné. »

Cela justifie le sens que nous attribuons au VIII' Genre, en proposant le Porisme ci-dessus.

Une autre considération peut encore nous autoriser à penser que ce Porisme satisfait à l’énoncé laconique de Pappus. C’est qu’il correspond à une proposition connue des Anciens, à un des cas de la première proposition des Lieux plans d’Apollonius rapportée par Pappus.

Porisme L. — Si de chaque point. M d’une droite LM on abaisse sur deux droites fixes OX, OY deux obliques M p, M q sous des angles donnés : on pourra trouver un point B sur la deuxième droite OY et une raison X, tels, que l’oblique Mp abaissée sur la première droite sera au segment Bq compris entre le point B et le pied de l’oblique abaissée sur la deuxième droite , dans ta raison X.

La droite donnée LM rencontre OX, OY en E et F respectivement.

Qu on mène par JepointEune parallèle aux obliques M^, laquelle rencontre OY en B, et par le point F une parallèle aux obliques Mp, laquelle rencontre OX eu G; le point B FG

et la raison— =: À satisfont à la question.

En effet, on a parles triangles semblables,

M p ME B 7 ME

FG~FE’ et BF — Fl'

Donc

Mp Kq Mp FG

FG ~ BF’ OU b 7~BF' ’

IX* Genre.

Tel rectangle a un rapport donné avec le rectangle construit sur telle droite et une droite donnée.

Poiusme LI. — Quand deux points variables m, in 'sur ileux droites ab, a ( b ( , sont liés par ta relation

am . a'm'

bm A b’m' ’

d existe entre ces points cette autre relation,

Cm .a.

c'est-à-dire que, si l'on prend arbitrairement un point C sur la première droite, et une ligne a. : on peut trouver un second point I sur cette droite, un point G' sur la deuxième, et une raison ft, tels, que cette relation ait toujours lieu.

Prenons pour C' le point qui sur la deuxième droite correspond au point C de la première, de sorte qu’on ait »C . a'C’

bc~ A 'Vc''

xSUNIVERSITElT b.,.;

' iîîE VOOR HOGFRE MEETKL •" '

el par conséquent l’équation

« . b C a' ni' . b' C

'■ l ' bm.aC b'm'.a'C

Qu’on approche l’une des droites de l’autre pour faire coïncider les deux points a, a'; soit alors S le point de concours des deux droites bb', CC'; il résulte de l’équation (i) que la droite mm! passera toujours par ce point, d’après le Porisme XLIII (ou, si l’on veut, d’après le Lemme XVI de Pappus).

Si maintenant on mène la droite SI parallèle à la deuxième droite a' b' m', on aura, d’après le Lemme XIV, les deux équations

al aC l/C!

bl bC~ a' C'’

I ni la C'a'

C ai C a Cm'

La première donne

al aC.b'C al

Fï èC.a'C' ° U bl

al =

\.ab

ce qui détermine le point I.

La deuxième équation s’écrit :

lin. Cm' la. C'a' lm.Cm'

= ou

Cm C a Cm. a

ce qui est l’équation qu’il fallait obtenir.

La valeur cherchée de (J. est donc

la. C'a' ï a/i. C'a'

‘ Ca.a (! — i).Ca. a

Ainsi le Porisme est démontré.

la. C'a'

— const. — ft;

Ca.a

Ou peut donner à la raison [x, celte expression plus siui-

pie fx = — — : de sorte qu’on a

I m. Cm' la . C'a' „

~ cJi c J~~ ’

J' étant le point déterminé par l’équation ^7 = ~ Car si

l’on mène la droite SJ' parallèle à ab , les trois droites S b, SC et SJ' coupées par les deux ab, a! b', donnent, d’après le Lemrae XI,

JC ~ Jlÿ ‘ b ' 1'

a' S' a’ C ^aC 1

ïô 7 = iïc’ : Je = T

Mais on a, par les triangles semblables,

la. C'a'

= cy.

Donc, etc.

Remarque. En considérant les trois droites S b, S m, SI,

011 trouve

Irn la b' a'

brn ’ ba b' m'

I m. b' m' la. b' a'

bm .a ba.a

Ce qui montre que le Porisme subsiste quand, au lieu de prendre les points C, C', on conserve les deux b , b'.

Porisme LU. — Quand deux droites tournent autour de deux points P, Q en se coupant toujours sur une droite LM, et rencontrant , respectivement, deux autres droites AX , A'X' en m et en m’ ; le point A étant donné sur la première de ces droites et une ligne a étant aussi donnée : on peut trouver un second point I sur la première

droite, le point A' sur la secondé, et une raison X, tels, qu'on ait toujours l’équation

I m . y m' A in . a

Qu’on mène la droite PA qui rencontre la droite LM eu n; la droite Qa rencontrera la droite A'X' au point cherché A'. Puis, que par les points P et Q on mène aux droites AX, A'X', respectivement, des parallèles qui rencontrent la droite LM en j et i ; la droite Pj marque sur AX le point cherché I; et la droite Q; rencontre la droite A'X' en un point J', qui fait connaître la raison A: car il faut prendre

De sorte qu il reste à prouver qu’on a toujours

1/// K' m' AT A m . a x

En elïel, les quatre droites menées par le point P. et coupées par LM et AX, donnent l'équation

I m / M ij

Km a M aj

Les quatre droites menées par le point Q, donnent pareillement

Donc,

A' J' ^ ti j ij

K' m' n M ’ iM

li» A'J' A m K' m'

Im . A m ....