AS

lat,on Fs :

(Ce qui est un des cas du problème bien

connu de la section de raison.)

Eu effet, par le Lemme XI, appliqué aux lignes pi, p A, pm coupées par les deux droites données SA, SA', on obtient l’égalité

Im.AS __ A' S .

IS . A m A' m'

nr ■ AS IS .

JMais nous supposons que — = — -, 1 équation devient

Ira A 'ni' et. Km

Ce qui démontre le Porisme.

Quant à la construction de la droite p AA', si l’on veut ne point invoquer le problème de la section de raison, on 1’riïeclucra bien simplement ainsi : on mènera par le point

p et parallèlement à SA une droite qui rencontrera SA' eu J'; puis on prendra le point A', tel, que l'on ait

Le point A s’ensuivra.

La démonstration de celte construction résulte encore du Lcmme XI.

En effet, concevons. qu’une droite menée arbitrairement par le point S rencontre les trois lignes p A, p I et p J' aux points a , i et y; on aura, en considérant les trois lignes coupées par SA et Su,

SA ( Lernme XI.)

IS iS.aj ' ’

Et, pareillement, en considérant ces trois mêmes lignes coupées par SA', Sa,

SA' Sa .ÿ

A' J' iS.aj

Donc

SA SA/ sa; IS

ÏS - ÂÔ 7 ’ OU SA' A 7 ! 7 *

Mais on a pris A'J' = X.a; il vient donc

SA IS SA 7 ' - a.x"

Observation. On peut donner l’un des deux points A, A', et demande» de déterminer la raison X. C’est ce que l’on fera au moyen de la relation, ci-dessus, A'J' = X.a.

Porisme LV. — Étant données deux droites LM et XX' dont e est le point d'intersection, si autour de deux points fixes P. Q on fait tourner deux autres droites qui se coupent sur la droite LM et rencontrent la droite XX en deux points m, m' : ou pourra trouver un point I sur

XX' et une ligne p, tels, qu'on aura toujours I m . cm'

En ellet, que j>ar les points P, Q on mène à la droite XX' des parallèles qui rencontrent LM en II et S; les deux droites PS et QR coupent XX' en deux points I cl J'. Le premier est le point demandé, et le segment eJ' est la ligne demandée p, c’est-à-dire que l’on a

I m . cm ' cm

= ei'.

Cela résulte du Porisme L1I, dans lequel on suppose que les deux droites AX , A'X' coïncident et que le point A soit en e sur la droite LM.

X' Genre.

Tel rectangle équivaut à un rectangle donné plus le. rectangle formé sur telle abscisse et sur une droite donnée.

Porisme LM. — Si l'on prend sur une droite IJ' un point fixe e et à partir du point 1 deux points consécutifs m, m' liés parla relation

e m m 1 \ni.eni= em.ej',

il existera entre res points une autre relation de la forme

v -f- \x.mm’ .

C’est-à-dire qu’on pourra trouver un rectangle v et une ligne p, tels, qu’on ait toujours cette équation.

F.n effet, les deux segments J' m , I ni empiètent l’un sur l’autre : par conséquent leur rectangle est égal à la somme

des deux rectangles J I.mm'et Im.J'm': ainsi, J' in . I ni — y I . mni -f- I m . J' ni ( i ) . Mais la relation donnée s'écrit aussi

loi (JW — J'e) = (le — ImJeJ\

Donc

J in J' ni = Ie.eJ .

y m. \ni = le.J'e + (a).

Il suffit dès lors de prendre v = le.J'e, et pt = J' I pour obtenir la relation demandée.

Porisme LV1I. — On donne un triangle CAB et un point P situe sur le prolongement de ta base AB; de chaque point M du côté BC on mène la droite MP et une parallèle à AB; ces droites rencontrent le côté AC en deux points m et ai :

on peut trouver deux points I et i' sur ce côté, un rectangle v et une droite p, tels, que le rectangle J'm.Im' sera égal à la somme des deux rectangles v et p . mm'.

Menons par le point P, parallèlement à BC, la droite PI qui rencontre AC en I; et parallèlement à AC, la droite PR qui rencontre BC en K; puis, par le point R parallèlement à AB la droite RJ' qui rencontre le côté AC en J' : les points

(i) Celte équation à laquelle donnent lieu quatre points quelconques en ligne droite, fait le sujet du Porisme LIX ci-après.

(a) Pour nous conformer à la Géométrie des Grecs, nous no supposons pas, dans cette démonstration, que les segments aient des signes; mais dans l’équation finale ainsi que dans l’équation donnée, nous écrivons les segments de manière que la règle des signes soit applicable, et que le Porisme démontré dans l’hypothèse où les points r t m', m, I ontles positions relatives qu’indique la figure, conserve un sens déterminé dans tous les autres cas.

I et J' seront les points demandés, le rectangle v sera égal à lA.J'A, et la ligue p, à J'1; de sorte qu’on aura toujours

J'm.lm = J'A .IA -+- J'I.mrri.

Il nous suffit de prouver que l’on a = AJ', car de

r 1 Am

cette équation résultera, d’après le Porisme précédent, celle qu’il s'agit de démontrer.

Or, menant la droite B/n’ parallèle à AC et qui rencontre PM et PJ en n et i, ou a, à cause des parallèles.

AJ' BK. n P ni m I TiPÎ ~~ BM nîi «B mA ’

I ni A ni ' Am

= AJ'.

Donc, etc.

Pokisme LV11I. — Étant donné un triangle ABC, si autour de deux points fixes P, Q pris sur la base AB on

fait, tourner deux droites dont le point de concours M soit toujours sur le prolongement du côté BC, ces droites couperont le côté AC en m et m', et l'on pourra trouver deux points I, J' sur ce côté, un rectangle v et une droite p, tels, que l’on aura

toujours

3' m.lin 1 = v p . ni ni.

F.n effet, qu’on mène par les points P et Q des parallèles à AC, qui rencontreront BC en « et j ; les droites P/, Qy couperont AC aux points cherchés I et J'; et l’on aura, d’après le Porisme LV,

C ni

Or, d’après le Porisme LM, celle équation donne lieu à la suivante :

}' m ,lm = J'C.IC -+- yi.mm'.

On a donc

v = J'C.IC et p = J'I.

Ce qui démontre le Porisme.

Observation'. La ligure présente le point M sur le prolongement du côté BC au delà du point C; mais il pourrait être pris aussi sur le prolongement au delà de B.

L’équation démontrée aurait encore lieu, si t le point M était pris entre les deux i et j ; parce que le segment mm! serait toujours dirigé dans le même sens que IJ'.

Mais pour d’autres positions du point M, soit sur le segment C/, soit sur Bé, le segment mm! aurait une direction contraire, et alors on démontrerait que le rectangle l'm.Ira' devient égal à la différence des deux rectangles. J'C.IC et J'I. mm’.

XI e Genre.

Tel rectangle seul ou avec un espace donné est l’autre a un rapport

donne avec telle abscisse.

Une lacune qui existe dans les manuscrits rend cet énoncé défectueux. Il nous parait inutile de chercher à le rétablir, puisque les autres énoncés de Pappus nous suffisent amplement pour faire connaître le caractère général des Porismes d’Euclide.

XII* Genre.

Telle droite, plus une autre avec laquelle telle autre droite e3t dans une raison donnée, a un rapport donné avec un serment formé par tel point à partir d’un point donné.

Chacune des équations suivantes satisfait à cet énoncé.

Am -h ^ • B m

»• 7^—7 =ft,

Cm 1

Am +X.B'/h'

,n - — cv — = P'

Porisme LIX. — Étant donnés deux points A, B sur une droite et une raison X, om />eu/ trouver un troisième point C et une raison p, te/s, que pour tout point m, pris sur la droite, entre A et B, on aura toujours

A ni H- X . B m Cm

Et si le point variable m est pris dans le prolongement de la droite AB (au delà de A ou de B, J c b ~ indifféremment ) , on pourra trouver un autre point C et une autre raison p, tels, • que la même équation subsistera.

Considérons le cas où le point m est sur le prolongement de AB. Si l’on détermine le point C sur cette droite même,

c’est-à-dire entre A et B, par l’expression — = X, et la rai-

son p = — 5

la relation à démontrer devient