CA BA

X= BC 61 « U = 5 t -BC-

Ainsi le Porisme est démontré.

Observation. L’équation (i) donne, comme conséquence, en supposant que le point B soit à l’infini, celle-ci :

Et, en effet.

Doue

A m -+- CA = Cm.

Cm = x Cm'.

Ce qui est l'hypothèse.

ni.

Porisme LX1I. — Quand deux points variables in, in' divisent, deux droites en parties proportionnelles, un point A étant donné sur la première, un point B' sur la seconde, et une raison À étant, aussi donnée : on pourra trouver un point C' sur la deuxième droite et une raison «, tels, que pour tous les points m situés entre le point. A et un certain point r B qu’on saura déterminer, ou bien pour tous les points pris hors du segment formé par ces deux mêmes points A et B, on aura toujours la relation

Am + l.B'm'

En effet, soient A' le point qui sur la seconde droite correspond au point A de la première, et at le rappoi t entre

deux ligues homologues sur les deux droites, de sorte que Ain = ».A'm'. L’équation devient

x A' m' -4-X. . W m' = u. Cm’ ; ou

AW 4 - - .HW = - .C'm'.

Mais la relation déjà signalée entre les reel angles des segments formés par quatre points donne

.x CM MM p.

% B'C'* Ct B'C' a*

La première de ces deux équations fait connaître la position du point G, ct ensuite la seconde donne la valeur de la raison jx, dans le cas où le point .m" doit être pris entre A' et B', de même que dans le cas où ce point doit être pris en dehors du segment A' B.

Il est clair que le point B qui fixe les régions du point ni sur la première droite Am, correspond au point donné B' de la seconde droite A' ni'.

Ainsi le Porisme est démontré.

Porisme LXIII. — Quand deux points variables in, m' divisent deux droites en parties proportionnelles , un point A étant donné sur la première et deux points B' et G sur la seconde : on peut trouver un troisième point A' sur cette droite et deux raisons X et p, tels, que pour tous les points m! situés entre A! et B' quand le point G se trouve au dehors B m c du segment A' B', ou bien pour tous les points in' situés hors du segment. A' B' quand le. point C' est entre A' et B', on aura toujours la relation